ðåôåðàòû

Ðåôåðàòû

ðåôåðàòû   Ãëàâíàÿ
ðåôåðàòû   Êðàòêîå ñîäåðæàíèå
      ïðîèçâåäåíèé
ðåôåðàòû   Àðõèòåêòóðà
ðåôåðàòû   Àñòðîíîìèÿ
ðåôåðàòû   Áàíêîâñêîå äåëî
      è êðåäèòîâàíèå
ðåôåðàòû   Áåçîïàñíîñòü
      æèçíåäåÿòåëüíîñòè
ðåôåðàòû   Áèîãðàôèè
ðåôåðàòû   Áèîëîãèÿ
ðåôåðàòû   Áèðæåâîå äåëî
ðåôåðàòû   Áóõãàëòåðèÿ è àóäèò
ðåôåðàòû   Âîåííîå äåëî
ðåôåðàòû   Ãåîãðàôèÿ
ðåôåðàòû   Ãåîäåçèÿ
ðåôåðàòû   Ãåîëîãèÿ
ðåôåðàòû   Ãðàæäàíñêàÿ îáîðîíà
ðåôåðàòû   Æèâîòíûå
ðåôåðàòû   Çäîðîâüå
ðåôåðàòû   Çåìåëüíîå ïðàâî
ðåôåðàòû   Èíîñòðàííûå ÿçûêè
      ëèíãâèñòèêà
ðåôåðàòû   Èñêóññòâî
ðåôåðàòû   Èñòîðè÷åñêàÿ ëè÷íîñòü
ðåôåðàòû   Èñòîðèÿ
ðåôåðàòû   Èñòîðèÿ îòå÷åñòâåííîãî
      ãîñóäàðñòâà è ïðàâà
ðåôåðàòû   Èñòîðèÿ ïîëèòè÷èñêèõ
      ó÷åíèé
ðåôåðàòû   Èñòîðèÿ òåõíèêè
ðåôåðàòû   Êîìïüþòåðíûå ñåòè
ðåôåðàòû   Êîìïüþòåðû ÝÂÌ
ðåôåðàòû   Êðèìèíàëèñòèêà è
      êðèìèíîëîãèÿ
ðåôåðàòû   Êóëüòóðîëîãèÿ
ðåôåðàòû   Ëèòåðàòóðà
ðåôåðàòû   Ëèòåðàòóðà ÿçûêîâåäåíèå
ðåôåðàòû   Ìàðêåòèíã òîâàðîâåäåíèå
      ðåêëàìà
ðåôåðàòû   Ìàòåìàòèêà
ðåôåðàòû   Ìàòåðèàëîâåäåíèå
ðåôåðàòû   Ìåäèöèíà
ðåôåðàòû   Ìåäèöèíà çäîðîâüå îòäûõ
ðåôåðàòû   Ìåíåäæìåíò (òåîðèÿ
      óïðàâëåíèÿ è îðãàíèçàöèè)
ðåôåðàòû   Ìåòàëëóðãèÿ
ðåôåðàòû   Ìîñêâîâåäåíèå
ðåôåðàòû   Ìóçûêà
ðåôåðàòû   Íàóêà è òåõíèêà
ðåôåðàòû   Íîòàðèàò
ðåôåðàòû   Îáùåíèåýòèêà ñåìüÿ áðàê
ðåôåðàòû   Ïåäàãîãèêà
ðåôåðàòû   Ïðàâî
ðåôåðàòû   Ïðîãðàììèðîâàíèå
      áàçû äàííûõ
ðåôåðàòû   Ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå
ðåôåðàòû   Ïðîìûøëåííîñòü
      ñåëüñêîå õîçÿéñòâî
ðåôåðàòû   Ïñèõîëîãèÿ
ðåôåðàòû   Ðàäèîýëåêòðîíèêà
      êîìïüþòåðû
      è ïåðèôèðèéíûå óñòðîéñòâà
ðåôåðàòû   Ðåêëàìà
ðåôåðàòû   Ðåëèãèÿ
ðåôåðàòû   Ñåêñîëîãèÿ
ðåôåðàòû   Ñîöèîëîãèÿ
ðåôåðàòû   Òåîðèÿ ãîñóäàðñòâà è ïðàâà
ðåôåðàòû   Òåõíîëîãèÿ
ðåôåðàòû   Ôèçèêà
ðåôåðàòû   Ôèçêóëüòóðà è ñïîðò
ðåôåðàòû   Ôèëîñîôèÿ
ðåôåðàòû   Ôèíàíñîâîå ïðàâî
ðåôåðàòû   Õèìèÿ - ðåôåðàòû
ðåôåðàòû   Õîçÿéñòâåííîå ïðàâî
ðåôåðàòû   Öåííûé áóìàãè
ðåôåðàòû   Ýêîëîãè÷åñêîå ïðàâî
ðåôåðàòû   Ýêîëîãèÿ
ðåôåðàòû   Ýêîíîìèêà
ðåôåðàòû   Ýêîíîìèêà
      ïðåäïðèíèìàòåëüñòâî
ðåôåðàòû   Þðèäè÷åñêàÿ ïñèõîëîãèÿ

 
 
 

Ðàçâèòèå è âçàèìíîå âëèÿíèå ìàòåìàòèêè ôèëîñîôèè è èñêóññòâà


Ãîñóäàðñòâåííûé
êîìèòåò ïî
âûñøåé øêîëå
Ìîñêîâñêèé
Ãîñóäàðñòâåííûé
Èíñòèòóò Ýëåêòðîíèêè
è
Ìàòåìàòèêè
(Òåõíè÷åñêèé
Óíèâåðñèòåò)
ÐÅÔÅÐÀÒ
ÍÀ 
ÒÅÌÓ
ÐÀÇÂÈÒÈÅ
È ÂÇÀÈÌÍÎÅ
ÂËÈßÍÈÅ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ,
ÔÈËÎÑÎÔÈÈ
 È
ÈÑÊÓÑÑÒÂÀ
                                                   Êàôåäðà
êóëüòîðîëîãèè.
                                                   Ñòóäåíò:
Ôåðåíåö
Äìèòðèé
Àëåêñàíäðîâè÷
                                                   Ãðóïïà:
ÀÏ-41
                                                   Ïðåïîäàâàòåëü:
Òåðåõîâ
Àíàòîëèé
Ñåðãååâè÷
Ìîñêâà,
1995
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Âîïðîñ
î 
âçàèìîñâÿçè  ìàòåìàòèêè,
ôèëîñîôèè è
èñêóññòâà
âïåðâûå áûë
çàäàí
äîâîëüíî
äàâíî. 
Àðèñòîòåëü,
Áýêîí,
Ëåîíàðäî äà
叒֏ -
ìíîãèå âåëè­êèå
óìû
÷åëîâå÷åñòâà
çàíèìàëèñü
ýòèì âîïðîñîì
è äîñòèãàëè
âûäàþùèõñÿ
ðåçóëüòàòîâ.
Ýòî íå
óäèâèòåëüíî:  âåäü
îñíîâó
âçàèìîäåéñòâèÿ
ôèëîñî­ôèè
ñ 
êàêîé-ëèáî
èç íàóê
ñîñòàâëÿåò
ïîòðåáíîñòü
èñïîëüçîâàíèÿ
àïïà­ðàòà
ôèëîñîôèè
äëÿ ïðîâåäåíèÿ
èññëåäîâàíèé
â äàííîé
îáëàñòè;
ìàòåìà­òèêà
æå, 
íåñîìíåííî,  áîëåå âñåãî
ñðåäè
òî÷íûõ íàóê
ïîääàåòñÿ
ôèëî­ñîôñêîìó
àíàëèçó (â
ñèëó ñâîåé
àáñòðàêòíîñòè).  Íàðÿäó
ñ ýòèì 
ïðîã­ðåññèðóþùàÿ
ìàòåìàòèçàöèÿ  íàóêè 
îêàçûâàåò 
àêòèâíîå
âîçäåéñòâèå
íà
ôèëîñîôñêîå
ìûøëåíèå.
Èñêóññòâî
æå, âî âñå
âðåìåíà
ñëóæèâøåå
÷åëîâå÷åñòâó
êàê ïóòü
íðàâñòâåííîãî,
ýìîöèîíàëüíîãî
ìèðîîùóùåíèÿ
è
ìèðîïîíèìàíèÿ,
êîíå÷íî æå,
îêàçûâàëî è
ïðîäîëæàåò
îêàçûâàòü
íà ðàçâèòèå
íàó÷íîé
ìûñëè ñàìîå
íåïîñðåäñòâåííîå
âëèÿíèå.
Âñïîìíèì, ê
ïðèìåðó, òîãî
æå âåëèêîãî
õóäîæíèêà è
ó÷åíîãî - Ëåîíàðäî
äà Âèí÷è.
Ñîâìåñòíûé
ïóòü 
ìàòåìàòèêè  è
ôèëîñîôèè
íà÷àëñÿ â
Äðåâíåé Ãðå­öèè
îêîëî VI âåêà
äî í.ý. 
Íå
ñòåñíåííîå
ðàìêàìè
äåñïîòèçìà,
ãðå÷åñ­êîå
îáùåñòâî
òîé ïîðû áûëî
ïîäîáíî
ïèòàòåëüíîìó
ðàñòâîðó, íà
êîòîðîì
âûðîñëî ìíîãîå,  ÷òî
äîøëî äî íàñ
â ñèëüíî
èçìåíåííîì
âðåìåíåì
âèäå, îäíàêî
ñîõðàíèâ
îñíîâíóþ, 
çàëîæåííóþ
ãðåêàìè
èäåþ: 
òåàòð, 
ïîýçèÿ,
äðàìàòóðãèÿ,
ìàòåìàòèêà, 
ôèëîñîôèÿ.
 ýòîé
ðàáîòå ÿ
ïîïûòàëñÿ
ïðîñ­ëåäèòü
çà ïðîöåññîì
ôîðìèðîâàíèÿ,
ðàçâèòèÿ è âçàèìíîãî
âëèÿíèÿ
ìàòå­ìàòèêè,
ôèëîñîôèè è
èñêóññòâà â
èñòîðèè
÷åëîâå÷åñòâà,  à
òàêæå
ïðèâåñòè ðàçëè÷íûå
òî÷êè
çðåíèÿ íà
äâèæóùèå
ñèëû è
ðåçóëüòàòû
ýòîãî
ïðîöåññà. Â
òî æå âðåìÿ, íå
ïûòàÿñü
îáúÿòü
íåîáúÿòíîå,
ìíå ïîêàçàëîñü
èíòåðåñíûì
ðàññìîòðåòü
ëèøü “êîðíè” è
âåðøèíû”:
çàðîæäåíèå
åñòåñòâåííî-ôèëîñîâñêîãî
ìûøëåíèÿ â
Äðåâíåé
Ãðåöèè è ýñòåòè÷åñêèå
è
îáùåôèëîñîâñêèå
âîïðîñû, âîçíèêàþùèå
íà ïåðåäíåì
êðàå
ðàçâèòèÿ
ìàòåìàòèêè
- òåîðèè
ôðàêòàëîâ è
ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè.
×ÀÑÒÜ
ÏÅÐÂÀß..
ÈÑÒÎÊÈ
Ãëàâà 1
ÇÀÐÎÆÄÅÍÈÅ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ
Èçâåñòíî,
÷òî
ãðå÷åñêàÿ
öèâèëèçàöèÿ
íà íà÷àëüíîì  ýòàïå  ñâîåãî
ðàçâèòèÿ
îòòàëêèâàëîñü  îò  öèâèëèçàöèè
äðåâíåãî
Âîñòîêà.  Êàêîâî æå
áûëî
ìàòåìàòè÷åñêîå
íàñëåäñòâî,
ïîëó÷åííîå
ãðåêàìè?
Èç
äîøåäøèõ  äî  íàñ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
äîêóìåíòîâ
ìîæíî
çàêëþ÷èòü,
÷òî â
Äðåâíåì
Åãèïòå áûëè
ñèëüíî
îòðàñëè ìàòåìàòèêè,
ñâÿçàííûå ñ
ðå­øåíèåì
ýêîíîìè÷åñêèõ
çàäà÷.
Ïàïèðóñ Ðàéíäà
(îê. 2000 ã. äî í.ý.)
íà­÷èíàëñÿ ñ
îáåùàíèÿ
íàó÷èòü
ñîâåðøåííîìó
è
îñíîâàòåëüíîìó
èññëåäîâà­íèþ
âñåõ âåùåé, 
ïîíèìàíèþ
èõ ñóùíîñòåé,
ïîçíàíèþ
âñåõ òàéí”.
Ôàêòè­÷åñêè
èçëàãàåòñÿ
èñêóññòâî
âû÷èñëåíèÿ
ñ öåëûìè
÷èñëàìè è
äðîáÿìè,  â êîòîðîå
ïîñâÿùàëèñü
ãîñóäàðñòâåííûå
÷èíîâíèêè
äëÿ òîãî,  ÷òîáû
óìåòü
ðåøàòü øèðîêèé
êðóã
ïðàêòè÷åñêèõ
çàäà÷,
òàêèõ, êàê
ðàñïðåäåëåíèå
çà­ðàáîòíîé
ïëàòû ìåæäó
èçâåñòíûì
÷èñëîì ðàáî÷èõ,
âû÷èñëåíèå
êîëè÷åñòâà
çåðíà äëÿ
ïðèãîòîâëåíèÿ
òàêîãî-òî
êîëè÷åñòâà
õëåáà, 
âû÷èñëåíèå  ïî­âåðõíîñòåé
è îáúåìîâ è
ò.ä. 
Äàëüøå óðàâíåíèé
ïåðâîé
ñòåïåíè è
ïðîñ­òåéøèõ
êâàäðàòíûõ
óðàâíåíèé
åãèïòÿíå, ïî-âèäèìîìó,
íå ïîøëè. Âñå
ñî­äåðæàíèå
èçâåñòíîé  íàì
åãèïåòñêîé
ìàòåìàòèêè
óáåäèòåëüíî
ñâèäåòåëü­ñòâóåò,
÷òî
ìàòåìàòè÷åñêèå
çíàíèÿ åãèïòÿí
ïðåäíàçíà÷àëèñü
äëÿ 
óäîâ­ëåòâîðåíèÿ
êîíêðåòíûõ 
ïîòðåáíîñòåé 
ìàòåðèàëüíîãî
ïðîèçâîäñòâà
è íå ìîãëè
ñêîëüêî-íèáóäü
ñåðüåçíî
áûòü ñâÿçàííûìè
ñ
ôèëîñîôèåé.
Ìàòåìàòèêà
Âàâèëîíà,  êàê  è 
åãèïåòñêàÿ,  áûëà
âûçâàíà ê æèçíè
ïîòðåáíîñòÿìè
ïðîèçâîäñòâåííîé
äåÿòåëüíîñòè, 
ïîñêîëüêó
ðåøàëèñü çà­äà÷è,
ñâÿçàííûå  ñ
íóæäàìè
îðîøåíèÿ, 
ñòðîèòåëüñòâà, 
õîçÿéñòâåííîãî
ó÷åòà,
îòíîøåíèÿìè
ñîáñòâåííîñòè,
èñ÷èñëåíèåì
âðåìåíè. Ñîõðàíèâøèåñÿ
äîêóìåíòû
ïîêàçûâàþò,  ÷òî,
îñíîâûâàÿñü
íà 60-ðè÷íîé
ñèñòåìå
ñ÷èñëå­íèÿ,
âàâèëîíÿíå
ìîãëè
âûïîëíÿòü
÷åòûðå àðèôìåòè÷åñêèõ
äåéñòâèÿ,
èìå­ëèñü
òàáëèöû 
êâàäðàòíûõ  êîðíåé,  êóáîâ  è
êóáè÷åñêèõ
êîðíåé, 
ñóìì
êâàäðàòîâ è
êóáîâ,  ñòåïåíåé
äàííîãî
÷èñëà, 
áûëè 
èçâåñòíû 
ïðàâèëà
ñóììèðîâàíèÿ
ïðîãðåññèé. 
Çàìå÷àòåëüíûå 
ðåçóëüòàòû  áûëè
ïîëó÷åíû â îáëàñòè
÷èñëîâîé
àëãåáðû.  Õîòÿ âàâèëîíÿíå
è íå çíàëè
àëãåáðàè÷åñêîé
ñèìâîëèêè,
íî ðåøåíèå
çàäà÷
ïðîâîäèëîñü
ïî ïëàíó,
çàäà÷è
ñâîäèëèñü ê
åäèíîìó
íîðìàëüíîìó”
âèäó è çàòåì
ðåøàëèñü ïî
îáùèì
ïðàâèëàì,  ïðè­÷åì
èñòîëêîâàíèå 
ïðåîáðàçîâàíèé 
óðàâíåíèÿ”
íå
ñâÿçûâàëîñü
ñ êîíê­ðåòíîé
ïðèðîäîé
èñõîäíûõ
äàííûõ. 
Âñòðå÷àëèñü
çàäà÷è, 
ñâîäÿùèåñÿ  ê
ðåøåíèþ
óðàâíåíèé  òðåòüåé 
ñòåïåíè è
îñîáûõ
âèäîâ
óðàâíåíèé
÷åòâåð­òîé,
ïÿòîé è
øåñòîé
ñòåïåíè.
Åñëè
æå 
ñðàâíèâàòü 
ìàòåìàòè÷åñêèå  íàóêè
Åãèïòà è
Âàâèëîíà ïî
ñïîñîáó
ìûøëåíèÿ,  òî
íåòðóäíî áóäåò
óñòàíîâèòü
èõ îáùíîñòü
ïî òàêèì õàðàêòåðèñòèêàì,
êàê 
àâòîðèòàðíîñòü, 
íåêðèòè÷íîñòü, 
ñëåäîâàíèå
çà
òðàäèöèåé,
êðàéíå
ìåäëåííàÿ
ýâîëþöèÿ
çíàíèé.  Ýòè æå
÷åðòû îáíàðóæè­âàþòñÿ
è â
ôèëîñîôèè,
ìèôîëîãèè,
ðåëèãèè Âîñòîêà.
Êàê ïèñàë ïî
ýòîìó
ïîâîäó
Ý.Êîëüìàí, “â
ýòîì ìåñòå,
ãäå âîëÿ
äåñïîòà
ñ÷èòàëàñü
çàêîíîì, íå
áûëî ìåñòà
äëÿ ìûøëåíèÿ, 
äîèñêèâàþùåãîñÿ
äî ïðè÷èí è
îáîñíîâàíèé
ÿâëåíèé, íè
òåì áîëåå äëÿ
ñâîáîäíîãî
îáñóæäåíèÿ”.
Àíàëèç
äðåâíåãðå÷åñêîé 
ìàòåìàòèêè
è ôèëîñîôèè
ñëåäóåò
íà÷àòü ñ
ìèëåòñêîé
ìàòåìàòè÷åñêîé
øêîëû,
çàëîæèâøåé
îñíîâû
ìàòåìàòèêè
êàê äî­êàçàòåëüíîé
íàóêè.
Ãëàâà 2
ÌÈËÅÒÑÊÀß
ØÊÎËÀ
Ìèëåòñêàÿ
øêîëà - îäíà
èç ïåðâûõ äðåâíåãðå÷åñêèõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
øêîë, îêàçàâøàÿ
ñóùåñòâåííîå
âëèÿíèå íà
ðàçâèòèå
ôèëîñîôñêèõ  ïðåäñ­òàâëåíèé
òîãî 
âðåìåíè.  Îíà ñóùåñòâîâàëà
â Èîíèè â
êîíöå V - IV ââ. äî
í.ý.; 
îñíîâíûìè
äåÿòåëÿìè åå
ÿâëÿëèñü Ôàëåñ
(îê.  624-547
ãã. äî í.ý.),
Àíàêñèìàíäð  (îê.  610-546 
ãã. 
äî 
í.ý.) 
è 
Àíàêñèìåí
(îê. 585-525 ãã. äî í.ý.).
Ðàññìîòðèì
íà ïðèìåðå
ìèëåòñêîé
øêîëû îñíîâíûå
îòëè÷èÿ
ãðå÷åñêîé
íàóêè îò äîãðå÷åñêîé
è
ïðîàíàëèçèðóåì
èõ.
Åñëè
ñîïîñòàâèòü
èñõîäíûå
ìàòåìàòè÷åñêèå
çíàíèÿ
ãðåêîâ ñ
äîñòè­æåíèÿìè
åãèïòÿí è
âàâèëîíÿí,
òî âðÿä ëè
ìîæíî
ñîìíåâàòüñÿ
â òîì, ÷òî
òàêèå
ýëåìåíòàðíûå
ïîëîæåíèÿ, êàê
ðàâåíñòâî
óãëîâ ó
îñíîâàíèÿ
ðàâíî­áåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà, 
îòêðûòèå 
êîòîðîãî 
ïðèïèñûâàþò
Ôàëåñó Ìè­ëåòñêîìó,
íå áûëè
èçâåñòíû
äðåâíåé
ìàòåìàòèêå.
Òåì íå ìåíåå,
ãðå÷åñ­êàÿ
ìàòåìàòèêà  óæå â
èñõîäíîì ñâîåì
ïóíêòå
èìåëà
êà÷åñòâåííîå
îòëè­÷èå îò
ñâîèõ
ïðåäøåñòâåííèêîâ.
Åå
ñâîåîáðàçèå
çàêëþ÷àåòñÿ
ïðåæäå âñåãî
â ïîïûòêå
ñèñòåìàòè÷åñ­êè
èñïîëüçîâàòü
èäåþ
äîêàçàòåëüñòâà.  Ôàëåñ
ñòðåìèòñÿ 
äîêàçàòü  òî, ÷òî
ýìïèðè÷åñêè
áûëî ïîëó÷åíî
è áåç
äîëæíîãî
îáîñíîâàíèÿ
èñïîëüçîâà­ëîñü
â
åãèïåòñêîé
è
âàâèëîíñêîé
ìàòåìàòèêå. 
Âîçìîæíî, â
ïåðèîä íàè­áîëåå
èíòåíñèâíîãî
ðàçâèòèÿ
äóõîâíîé æèçíè
Âàâèëîíà è
Åãèïòà, 
â ïå­ðèîä
ôîðìèðîâàíèÿ
îñíîâ èõ
çíàíèé
èçëîæåíèå
òåõ èëè 
èíûõ 
ìàòåìàòè­÷åñêèõ
ïîëîæåíèé 
ñîïðîâîæäàëîñü 
îáîñíîâàíèåì
â òîé èëè
èíîé ôîðìå.
Îäíàêî, êàê
ïèøåò Âàí
äåð Âàðäåí,  “âî âðåìåíà
Ôàëåñà 
åãèïåòñêàÿ  è
âàâèëîíñêàÿ
ìàòåìàòèêà
äàâíî óæå
áûëè
ìåðòâûìè
çíàíèÿìè.  Ìîæíî
áûëî ïîêàçàòü
Ôàëåñó, 
êàê íàäî
âû÷èñëÿòü, íî
óæå
íåèçâåñòåí
áûë õîä ðàñ­ñóæäåíèé,
ëåæàùèõ â
îñíîâå ýòèõ
ïðàâèë”.
Ãðåêè
ââîäÿò
ïðîöåññ
îáîñíîâàíèÿ
êàê íåîáõîäèìûé
êîìïîíåíò  ìà­òåìàòè÷åñêîé
äåéñòâèòåëüíîñòè,
äîêàçàòåëüíîñòü
äåéñòâèòåëüíî
ÿâëÿåò­ñÿ
îòëè÷èòåëüíîé
÷åðòîé èõ
ìàòåìàòèêè. 
Òåõíèêîé
äîêàçàòåëüñòâà
ðàí­íåé
ãðå÷åñêîé
ìàòåìàòèêè
êàê â
ãåîìåòðèè,  òàê è â
àðèôìåòèêå
ïåðâî­íà÷àëüíî
ÿâëÿëàñü
ïðîñòàÿ
ïîïûòêà
ïðèäàíèÿ
íàãëÿäíîñòè. 
Êîíêðåòíûìè
ðàçíîâèäíîñòÿìè
òàêîãî 
äîêàçàòåëüñòâà
â
àðèôìåòèêå
áûëî
äîêàçàòåëü­ñòâî
ïðè ïîìîùè
êàìåøêîâ, â
ãåîìåòðèè -
ïóòåì
íàëîæåíèÿ. Íî
ñàì ôàêò
íàëè÷èÿ
äîêàçàòåëüñòâà 
ãîâîðèò  î 
òîì, 
÷òî 
ìàòåìàòè÷åñêèå
çíàíèÿ
âîñïðèíèìàþòñÿ
íå
äîãìàòè÷åñêè,  à â ïðîöåññå 
ðàçìûøëåíèÿ.  Ýòî,  â ñâîþ
î÷åðåäü,
îáíàðóæèâàåò
êðèòè÷åñêèé
ñêëàä óìà,
óâåðåííîñòü
(ìîæåò áûòü,
íå âñåãäà
îñîçíàííóþ),  ÷òî
ðàçìûøëåíèåì
ìîæíî
óñòàíîâèòü
ïðà­âèëüíîñòü
èëè
ëîæíîñòü
ðàññìàòðèâàåìîãî
ïîëîæåíèÿ,
óâåðåííîñòü
â ñè­ëå
÷åëîâå÷åñêîãî
ðàçóìà.
Ãðåêè
â 
òå÷åíèè
îäíîãî-äâóõ
ñòîëåòèÿ
ñóìåëè
îâëàäåòü
ìàòåìàòè­÷åñêèì
íàñëåäèåì
ïðåäøåñòâåííèêîâ, 
íàêîïëåííîãî
â òå÷åíèè
òûñÿ÷åëå­òèé,
÷òî
ñâèäåòåëüñòâóåò
îá
èíòåíñèâíîñòè,
äèíàìèçìå
èõ
ìàòåìàòè÷åñ­êîãî
ïîçíàíèÿ.
Êà÷åñòâåííîå
îòëè÷èå èññëåäîâàíèé
Ôàëåñà è åãî
ïîñëå­äîâàòåëåé
îò 
äîãðå÷åñêîé  ìàòåìàòèêè
ïðîÿâëÿåòñÿ
íå ñòîëüêî â
êîíê­ðåòíîì
ñîäåðæàíèè
èññëåäîâàííîé
çàâèñèìîñòè,
ñêîëüêî â
íîâîì
ñïîñîáå
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ìûøëåíèÿ. 
Èñõîäíûé
ìàòåðèàë
ãðåêè âçÿëè
ó ïðåäøåñò­âåííèêîâ,
íî ñïîñîá
óñâîåíèÿ è
èñïîëüçîâàíèÿ
ýòîãî
ìàòåðèàëà
áûë íî­âûé.
Îòëè÷èòåëüíûìè 
îñîáåííîñòÿìè
èõ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ
ÿâëÿ­þòñÿ
ðàöèîíàëèçì,
êðèòèöèçì,
äèíàìèçì.
Ýòè
æå 
÷åðòû
õàðàêòåðíû
è äëÿ ôèëîñîôñêèõ
èññëåäîâàíèé
ìèëåòñ­êîé
øêîëû.
Ôèëîñîôñêàÿ
êîíöåïöèÿ è
ñîâîêóïíîñòü
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ïîëî­æåíèé
ôîðìèðóåòñÿ
ïîñðåäñòâîì
îäíîðîäíîãî
ïî ñâîèì
îáùèì
õàðàêòåðèñ­òèêàì
ìûñëèòåëüíîãî 
ïðîöåññà, 
êà÷åñòâåííî 
îòëè÷íîãî  îò  ìûøëåíèÿ
ïðåäøåñòâóþùåé
ýïîõè. Êàê æå
ñôîðìèðîâàëñÿ
ýòîò íîâûé ñïîñîá
âîñïðè­ÿòèÿ
äåéñòâèòåëüíîñòè?
Îòêóäà
áåðåò ñâîå
íà÷àëî
ñòðåìëåíèå
ê íàó÷íî­ìó
çíàíèþ?
Ðÿä
èññëåäîâàòåëåé 
îáúÿâëÿåò 
îòìå÷åííûå  âûøå  õàðàêòåðèñòèêè
ìûñëèòåëüíîãî
ïðîöåññà  “âðîæäåííûìè
îñîáåííîñòÿìè
ãðå÷åñêîãî
äóõà”. Îäíàêî
ýòà ññûëêà
íè÷åãî íå
îáúÿñíÿåò, òàê
êàê
íåïîíÿòíî,
ïî÷åìó òîò
æå “ãðå÷åñêèé
äóõ” ïî
ïðîøåñòâèè
ýïîõè
ýëëèíèçìà
òåðÿåò ñâîè
êà÷åñò­âà.
Ìîæíî
ïîïðîáîâàòü
ïîèñêàòü
ïðè÷èíû òàêîãî
ìèðîïîíèìàíèÿ
â  ñîöè­àëüíî-ýêîíîìè÷åñêîé
ñôåðå.
Èîíèÿ,
ãäå
ïðîõîäèëà
äåÿòåëüíîñòü
ìèëåòñêîé
øêîëû, 
áûëà äîñòà­òî÷íî
ðàçâèòîé  â 
ýêîíîìè÷åñêîì
îòíîøåíèè
îáëàñòüþ.  Ïîýòîìó
èìåííî îíà
ïðåæäå
ïðî÷èõ
âñòóïèëà íà
ïóòü
íèçâåðæåíèÿ 
ïåðâîáûòíî-îáùèííîãî
ñòðîÿ è
ôîðìèðîâàíèÿ
ðàáîâëàäåëü÷åñêèõ
îòíîøåíèé.  Â VIII-VI ââ.  äî í.ý.
çåìëÿ âñå
áîëüøå
ñîñðåäîòà÷èâàëàñü
â ðóêàõ êðóïíîé
ðîäîâîé çíà­òè.
Ðàçâèòèå
ðåìåñëåííîãî
ïðîèçâîäñòâà
è òîðãîâëè
åùå â
áîëüøåé ìåðå
óñêîðÿëî ïðîöåññ
ñîöèàëüíî-èìóùåñòâåííîãî
ðàññëîåíèÿ.
Îòíîøåíèÿ
ìåæ­äó
àðèñòîêðàòèåé
è äåìîñîì
ñòàíîâÿòñÿ íàïðÿæåííûìè;  ñî
âðåìåíåì
ýòà íàïðÿæåííîñòü
ïåðåðàñòàåò
â îòêðûòóþ
áîðüáó çà 
âëàñòü. 
Êàëåéäîñêîï
ñîáûòèé âî
âíóòðåííåé
æèçíè, 
íå ìåíåå èçìåí÷èâàÿ
âíåøíÿÿ
îáñòàíîâêà
ôîðìèðóþò
äèíàìèçì,
æèâîñòü
îáùåñòâåííîé
ìûñëè.
Íàïðÿæåííîñòü
â 
ïîëèòè÷åñêîé
è
ýêîíîìè÷åñêîé
ñôåðàõ
ïðèâîäèò ê
ñòîëêíîâåíèÿì
â îáëàñòè
ðåëèãèè,
ïîñêîëüêó
äåìîñ , åùå íå
ñîìíåâàÿñü
â òîì,  ÷òî
ðåëèãèîçíûå
è ñâåòñêèå
óñòàíîâëåíèÿ
âå÷íû, 
òàê êàê
äàíû áîãàìè,
òðåáóåò,
÷òîáû îíè
áûëè
çàïèñàíû è
ñòàëè îáùåäîñòóïíûìè,
èáî
ïðàâèòåëè
èñêàæàþò áîæåñòâåííóþ
âîëþ è
òîëêóþò åå
ïî-ñâîåìó.  Îäíàêî
íåòðóäíî
ïîíÿòü, ÷òî
ñèñòåìàòè÷åñêîå
èçëîæåíèå
ðåëèãèîçíûõ
è ìèôîëî­ãè÷åñêèõ
ïðåäñòàâëåíèé
(ïîïûòêà
òàêîãî èçëîæåíèÿ
áûëà äàíà
Ãåñèîäîì) íå
ìîãëî íå
íàíåñòè
ñåðüåçíîãî
óäàðà
ðåëèãèè. Ïðè ïðîâåðêå
ðåëèãèîç­íûõ
èçìûøëåíèé
ëîãèêîé
ïåðâûå,
íåñîìíåííî,
ïîêàçàëèñü
áû
êîíãëîìåðà­òîì
íåëåïîñòåé.
Òàêèì
îáðàçîì, 
ìàòåðèàëèñòè÷åñêîå 
ìèðîâîççðåíèå
Ôàëåñà è åãî
ïîñëåäîâàòåëåé
íå ÿâëÿåòñÿ
êàêèì-òî
çàãàäî÷íûì,  íå îò
ìèðà ñåãî ïî­ðîæäåíèåì 
ãðå÷åñêîãî
äóõà”.  Îíî
ÿâëÿåòñÿ
ïðîäóêòîì
âïîëíå
îïðåäå­ëåííûõ
ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ
óñëîâèé è
âûðàæàåò 
èíòåðåñû  èñòîðè­÷åñêè-êîíêðåòíûõ
ñîöèàëüíûõ  ñèë,  ïðåæäå  âñåãî
òîðãîâî-ðåìåñëåííûõ
ñëîåâ
îáùåñòâà” -
ïèøåò
Î.È.Êåäðîâñêèé.
Íà
îñíîâàíèè
âñåãî
âûøåïåðå÷èñëåííîãî
åùå íåëüçÿ ñ
áîëüøîé óâå­ðåííîñòüþ
óòâåðæäàòü,  ÷òî
èìåííî âîçäåéñòâèå
ìèðîâîççðåíèÿ  ÿâèëîñü
ðåøàþùèì
ôàêòîðîì  äëÿ  âîçíèêíîâåíèÿ 
äîêàçàòåëüñòâà;  íå
èñêëþ÷åíî
âåäü, ÷òî ýòî
ïðîèçîøëî â
ñèëó äðóãèõ 
ïðè÷èí:  ïîòðåáíîñòåé  ïðîèç­âîäñòâà,
çàïðîñîâ
ýëåìåíòîâ
åñòåñòâîçíàíèÿ, 
ñóáúåêòèâíûõ
ïîáóæäåíèé
èññëåäîâàòåëåé.
Îäíàêî
ìîæíî
óáåäèòüñÿ, ÷òî
êàæäàÿ èç
ýòèõ ïðè÷èí
íå èçìåíèëà
ïðèíöèïèàëüíî 
ñâîåãî  õàðàêòåðà
ïî
ñðàâíåíèþ ñ
äîãðå÷åñêîé
ýïîõîé íåïîñðåäñòâåííî
íå ïðèâîäèò ê
ïðåâðàùåíèþ
ìàòåìàòèêè
â  äîêà­çàòåëüíóþ
íàóêó. 
Íàïðèìåð,  äëÿ
óäîâëåòâîðåíèÿ
ïîòðåáíîñòåé
òåõíèêè
áûëî âïîëíå
äîñòàòî÷íî
ïðàêòè÷åñêîé
íàóêè
äðåâíåãî
Âîñòîêà,  â ñïðà­âåäëèâîñòè
ïîëîæåíèé 
êîòîðîé ìîæíî
áûëî
óáåäèòüñÿ
ýìïèðè÷åñêè.  Ñàì
ïðîöåññ
âûÿâëåíèÿ
ýòèõ
ïîëîæåíèé
ïîêàçàë,  ÷òî îíè
äàþò 
äîñòàòî÷íóþ
äëÿ
ïðàêòè÷åñêèõ
íóæä
òî÷íîñòü.
Ìîæíî
ñ÷èòàòü
îäíèì èç
ïîáóäèòåëüíûõ
ìîòèâîâ
âîçíèêíîâåíèÿ  äî­êàçàòåëüñòâà
íåîáõîäèìîñòü  îñìûñëåíèÿ
è îáîáùåíèÿ
ðåçóëüòàòîâ
ïðåä­øåñòâåííèêîâ.
Îäíàêî è
ýòîìó
ôàêòîðó íå ïðèíàäëåæèò 
ðåøàþùàÿ  ðîëü, òàê
êàê, 
íàïðèìåð, 
ñóùåñòâóþò
òåîðèè,
âîñïðèíèìàåìûå
íàìè êàê î÷å­âèäíûå,
íî
ïîëó÷èâøèå 
ñòðîãîå 
îáîñíîâàíèå  â 
àíòè÷íîé 
ìàòåìàòèêå
(íàïðèìåð,
òåîðèÿ äåëèìîñòè
íà 2).
Ïîÿâëåíèå
ïîòðåáíîñòè
äîêàçàòåëüñòâà
â ãðå÷åñêîé
ìàòåìàòèêå
ïî­ëó÷àåò
óäîâëåòâîðèòåëüíîå
îáúÿñíåíèå, åñëè
ó÷åñòü
âçàèìîäåéñòâèå
ìè­ðîâîççðåíèÿ
íà ðàçâèòèå
ìàòåìàòèêè.  Â ýòîì
îòíîøåíèè
ãðåêè 
ñóùåñò­âåííî
îòëè÷àþòñÿ
îò ñâîèõ
ïðåäøåñòâåííèêîâ.
 èõ
ôèëîñîôñêèõ
è ìàòå­ìàòè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèÿõ
ïðîÿâëÿþòñÿ âåðà
â ñèëó
÷åëîâå÷åñêîãî
ðàçó­ìà,
êðèòè÷åñêîå  îòíîøåíèå
ê
äîñòèæåíèÿì
ïðåäøåñòâåííèêîâ, 
äèíàìèçì
ìûøëåíèÿ. Ó
ãðåêîâ âëèÿíèå
ìèðîâîççðåíèÿ
ïðåâðàòèëîñü
èç 
ñäåðæèâàþ­ùåãî
ôàêòîðà
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ â
ñòèìóëèðóþùèé,
â
äåéñòâåííóþ
ñèëó ïðîãðåññà
ìàòåìàòèêè.
 òîì,  ÷òî
îáîñíîâàíèå
ïðèíÿëî èìåííî
ôîðìó
äîêàçàòåëüñòâà,  à íå
îñòàíîâèëîñü
íà
ýìïèðè÷åñêîé
ïðîâåðêå,  ðåøàþùèì
ÿâëÿåòñÿ
ïîÿâëå­íèå
íîâîé,
ìèðîâîççðåí÷åñêîé
ôóíêöèè íàóêè.
Ôàëåñ è åãî
ïîñëåäîâàòå­ëè
âîñïðèíèìàþò
ìàòåìàòè÷åñêèå  äîñòèæåíèÿ 
ïðåäøåñòâåííèêîâ  ïðåæäå
âñåãî äëÿ
óäîâëåòâîðåíèÿ
òåõíè÷åñêèõ
ïîòðåáíîñòåé,  íî
íàóêà äëÿ
íèõ - íå÷òî
áîëüøåå, ÷åì
àïïàðàò äëÿ
ðåøåíèÿ
ïðîèçâîäñòâåííûõ
çàäà÷. Îò­äåëüíûå,
íàèáîëåå 
àáñòðàêòíûå 
ýëåìåíòû
ìàòåìàòèêè
âïëåòàþòñÿ â
íà­òóðôèëîñîôñêóþ
ñèñòåìó è
çäåñü
âûïîëíÿþò
ðîëü
àíòèïîäà 
ìèôîëîãè÷åñ­êèì
è
ðåëèãèîçíûì
âåðîâàíèÿì.
Ýìïèðè÷åñêàÿ
ïîäòâåðæäàåìîñòü
äëÿ ýëå­ìåíòîâ
ôèëîñîôñêîé
ñèñòåìû
áûëà íåäîñòàòî÷íîé
â ñèëó
îáùíîñòè èõ
õà­ðàêòåðà è
ñêóäíîñòè
ïîäòâåðæäàþùèõ
èõ ôàêòîâ. 
Ìàòåìàòè÷åñêèå
çíàíèÿ æå ê
òîìó
âðåìåíè
äîñòèãëè
òàêîãî
óðîâíÿ ðàçâèòèÿ,
÷òî ìåæäó îòäåëü­íûìè
ïîëîæåíèÿìè
ìîæíî áûëî
óñòàíîâèòü
ëîãè÷åñêèå
ñâÿçè. Òàêàÿ
ôîðìà
îáîñíîâàíèé
îêàçàëàñü
îáúåêòèâíî
ïðèåìëåìîé
äëÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ïîëî­æåíèé.
Ãëàâà 3
ÏÈÔÀÃÎÐÅÉÑÊÀß
ØÊÎËÀ
Íà
îñíîâàíèè 
äàííîãî  âûøå 
èññëåäîâàíèÿ
ìèëåòñêîé
øêîëû ìîæíî
ëèøü
óáåäèòüñÿ â
àêòèâíîì
âëèÿíèè ìèðîâîççðåíèÿ
íà ïðîöåññ
ìàòåìàòè­÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ
òîëüêî ïðè
ðàäèêàëüíîì èçìåíåíèè
ñîöèàëüíî-ýêîíîìè­÷åñêèõ
óñëîâèé
æèçíè
îáùåñòâà.  Îäíàêî
îñòàþòñÿ
îòêðûòûìè
âîïðîñû  î òîì,
âëèÿåò ëè
èçìåíåíèå
ôèëîñîôñêîé
îñíîâû
æèçíè
îáùåñòâà íà
ðàçâè­òèå
ìàòåìàòèêè,
çàâèñèò ëè
ìàòåìàòè÷åñêîå
ïîçíàíèå îò
èçìåíåíèÿ
èäå­îëîãè÷åñêîé 
íàïðàâëåííîñòè 
ìèðîâîççðåíèÿ,  èìååò
ëè ìåñòî
îáðàòíîå
âîçäåéñòâèå
ìàòåìàòè÷åñêèõ
çíàíèé íà
ôèëîñîôñêèå
èäåè. 
Ìîæíî 
ïîïû­òàòüñÿ
îòâåòèòü íà
ïîñòàâëåííûå
âîïðîñû, 
îáðàòèâøèñü
ê
äåÿòåëüíîñòè
ïèôàãîðåéñêîé
øêîëû.
Ïèôàãîðåèçì
êàê 
íàïðàâëåíèå
äóõîâíîé
æèçíè
ñóùåñòâîâàë
íà ïðî­òÿæåíèè
âñåé
èñòîðèè
Äðåâíåé
Ãðåöèè, 
íà÷èíàÿ ñ VI
âåêà äî í.  ý.  è
ïðîøåë 
â ñâîåì
ðàçâèòèè ðÿä
ýòàïîâ. 
Âîïðîñ î èõ
âðåìåííîé
äëèòåëü­íîñòè
ñëîæåí è äî
ñèõ ïîð íå
ðåøåí
îäíîçíà÷íî.
Îñíîâîïîëîæíèêîì
øêî­ëû áûë
Ïèôàãîð
Ñàìîññêèé
(îê.  580-500 äî
í.ý.). Íè îäíà
ñòðîêà, íà­ïèñàííàÿ
Ïèôàãîðîì,  íå
ñîõðàíèëàñü;  âîîáùå
íåèçâåñòíî,
ïðèáåãàë ëè îí
ê
ïèñüìåííîé
ïåðåäà÷å
ñâîèõ
ìûñëåé. ×òî
áûëî ñäåëàíî
ñàìèì
Ïèôàãî­ðîì, à
÷òî åãî
ó÷åíèêàìè, 
óñòàíîâèòü
î÷åíü
òðóäíî. 
Ñâèäåòåëüñòâà
î íåì
äðåâíåãðå÷åñêèõ
àâòîðîâ
ïðîòèâîðå÷èâû;
â êàêîé-òî
ìåðå
ðàçëè÷íûå
îöåíêè åãî
äåÿòåëüíîñòè
îòðàæàþò
ìíîãîîáðàçèå
åãî ó÷åíèÿ.
Â
ïèôàãîðåèçìå
âûäåëÿþò äâå
ñîñòàâëÿþùèå: 
ïðàêòè÷åñêóþ
(“ïèôà­ãîðåéñêèé
îáðàç æèçíè”)
è
òåîðåòè÷åñêóþ 
(îïðåäåëåííàÿ 
ñîâîêóïíîñòü
ó÷åíèé). Â
ðåëèãèîçíîì
ó÷åíèè
ïèôàãîðåéöåâ
íàèáîëåå
âàæíîé
ñ÷èòàëàñü
îáðÿäîâàÿ
ñòîðîíà,  çàòåì
èìåëîñü â
âèäó ñîçäàòü
îïðåäåëåííîå
äóøåâ­íîå
ñîñòîÿíèå è
ëèøü ïîòîì ïî
çíà÷èìîñòè
øëè
âåðîâàíèÿ,  â
òðàêòîâêå
êîòîðûõ
äîïóñêàëèñü
ðàçíûå
âàðèàíòû.  Ïî ñðàâíåíèþ
ñ äðóãèìè
ðåëèãè­îçíûìè
òå÷åíèÿìè  ó 
ïèôàãîðåéöåâ
áûëè
ñïåöèôè÷åñêèå
ïðåäñòàâëåíèÿ
î ïðèðîäå è
ñóäüáå äóøè.
Äóøà -
ñóùåñòâî áîæåñòâåííîå,
îíà
çàêëþ÷åíà â
òåëî â íàêàçàíèå
çà ïðåãðåøåíèÿ.
âûñøàÿ öåëü
æèçíè -
îñâîáîäèòü äóøó
èç òåëåñíîé
òåìíèöû,  íå äîïóñòèòü
â äðóãîå
òåëî, 
êîòîðîå
ÿêîáû ñî­âåðøàåòñÿ
ïîñëå
ñìåðòè. 
Ïóòåì äëÿ äîñòèæåíèÿ
ýòîé öåëè
ÿâëÿåòñÿ âû­ïîëíåíèå
îïðåäåëåííîãî
ìîðàëüíîãî
êîäåêñà,
ïèôàãîðåéñêèé
îáðàç æèç­íè”.  Â
ìíîãî÷èñëåííîé
ñèñòåìå ïðåäïèñàíèé,
ðåãëàìåíòèðîâàâøèõ
ïî÷òè êàæäûé
øàã æèçíè,
âèäíîå
ìåñòî
îòâîäèëîñü
çàíÿòèÿì
ìóçûêîé è
íàó÷íû­ìè
èññëåäîâàíèÿìè.
Òåîðåòè÷åñêàÿ
ñòîðîíà  ïèôàãîðåèçìà  òåñíî 
ñâÿçàíà  ñ 
ïðàêòè­÷åñêîé.
  
òåîðåòè÷åñêèõ   èçûñêàíèÿõ   ïèôàãîðåéöû 
âèäåëè  ëó÷øåå ñðåäñòâî
îñâîáîæäåíèÿ
äóøè èç
êðóãà ðîæäåíèé,  à èõ
ðåçóëüòàòû
ñòðå­ìèëèñü
èñïîëüçîâàòü  äëÿ  ðàöèîíàëüíîãî 
îáîñíîâàíèÿ  ïðåäïîëàãàåìîé
äîêòðèíû.
Âåðîÿòíî, â
äåÿòåëüíîñòè
Ïèôàãîðà è
åãî
áëèæàéøèõ
ó÷åíèêîâ
íàó÷íûå
ïîëîæåíèÿ
áûëè
ïåðåìåøàíû
ñ ìèñòèêîé,
ðåëèãèîçíûìè
è ìèôîëî­ãè÷åñêèìè
ïðåäñòàâëåíèÿìè.  Âñÿ ýòà
ìóäðîñòü”
èçëàãàëàñü
â êà÷åñòâå
èçðå÷åíèé
îðàêóëà,  êîòîðûì  ïðèäàâàëñÿ 
ñêðûòûé
ñìûñë
áîæåñòâåííîãî
îòêðîâåíèÿ.
Îñíîâíûìè
îáúåêòàìè
íàó÷íîãî
ïîçíàíèÿ ó
ïèôàãîðåéöåâ
áûëè ìàòå­ìàòè÷åñêèå
îáúåêòû, â
ïåðâóþ
î÷åðåäü ÷èñëà
íàòóðàëüíîãî
ðÿäà (âñïîì­íèì
çíàìåíèòîå
×èñëî åñòü
ñóùíîñòü âñåõ
âåùåé”).
Âèäíîå
ìåñòî îòâî­äèëîñü
èçó÷åíèþ
ñâÿçåé
ìåæäó
÷åòíûìè è íå÷åòíûìè
÷èñëàìè.  Â
îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ
çíàíèé
âíèìàíèå
àêöåíòèðóåòñÿ
íà íàèáîëåå
àáñòðàêòíûõ
çàâèñèìîñòÿõ.
Ïèôàãîðåéöàìè
áûëà
ïîñòðîåíà
çíà÷èòåëüíàÿ
÷àñòü ïëàíè­ìåòðèè
ïðÿìîóãîëüíûõ  ôèãóð;  âûñøèì 
äîñòèæåíèåì
â ýòîì
íàïðàâëåíèè
áûëî
äîêàçàòåëüñòâî
òåîðåìû Ïèôàãîðà,
÷àñòíûå
ñëó÷àè
êîòîðîé çà 1200
ëåò äî ýòîãî
ïðèâîäÿòñÿ â
êëèíîïèñíûõ
òåêñòàõ
âàâèëîíÿí.
Ãðåêè äîêà­çûâàþò
åå îáùèì
îáðàçîì.  Íåêîòîðûå
èñòî÷íèêè
ïðèïèñûâàþò
ïèôàãîðåé­öàì
äàæå òàêèå
âûäàþùèåñÿ
ðåçóëüòàòû,
êàê
ïîñòðîåíèå
ïÿòè
ïðàâèëüíûõ
ìíîãîãðàííèêîâ.
×èñëà
ó
ïèôàãîðåéöåâ
âûñòóïàþò
îñíîâîïîëàãàþùèìè
óíèâåðñàëüíûìè
îáúåêòàìè, ê
êîòîðûì
ïðåäïîëàãàëîñü
ñâåñòè íå
òîëüêî 
ìàòåìàòè÷åñêèå
ïîñòðîåíèÿ,
íî è âñå
ìíîãîîáðàçèå
äåéñòâèòåëüíîñòè.
Ôèçè÷åñêèå,
ýòè­÷åñêèå,
ñîöèàëüíûå
è
ðåëèãèîçíûå
ïîíÿòèÿ
ïîëó÷èëè
ìàòåìàòè÷åñêóþ
îê­ðàñêó.
Íàóêå î
÷èñëàõ è
äðóãèõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
îáúåêòàõ
îòâîäèòñÿ
îñ­íîâîïîëàãàþùåå
ìåñòî â
ñèñòåìå
ìèðîâîççðåíèÿ,
òî åñòü
ôàêòè÷åñêè
ìà­òåìàòèêà
îáúÿâëÿåòñÿ
ôèëîñîôèåé.  Êàê
ïèñàë
Àðèñòîòåëü,  “...ó
÷èñåë îíè
óñìàòðèâàëè, 
êàçàëîñü
áû, ìíîãî ñõîäíûõ
÷åðò ñ òåì,
÷òî ñóùåñò­âóåò  è
ïðîèñõîäèò,  -
áîëüøå, 
÷åì ó îãíÿ,  çåìëè
è âîäû... 
Ó íèõ,
ïî-âèäèìîìó,
÷èñëî
ïðèíèìàåòñÿ
çà íà÷àëî è
â 
êà÷åñòâå  ìàòåðèè  äëÿ
âåùåé, 
è â êà÷åñòâå
âûðàæåíèÿ
äëÿ èõ
ñîñòîÿíèé è
ñâîéñòâ...  Íàïðè­ìåð, 
òàêîå-òî
ñâîéñòâî
÷èñåë åñòü ñïðàâåäëèâîñòü,
à òàêîå-òî -
äóøà è óì,
äðóãîå - óäà÷à,
è ìîæíî
ñêàçàòü - â
êàæäîì èç
îñòàëüíûõ
ñëó÷à­åâ
òî÷íî òàêæå. “
Åñëè
ñðàâíèâàòü 
ìàòåìàòè÷åñêèå
èññëåäîâàíèÿ
ðàííåé
ïèôàãîðåéñ­êîé
è ìèëåòñêîé
øêîë, 
òî ìîæíî
âûÿâèòü ðÿä 
ñóùåñòâåííûõ  ðàçëè÷èé.
Òàê,
ìàòåìàòè÷åñêèå
îáúåêòû
ðàññìàòðèâàëèñü
ïèôàãîðåéöàìè
êàê ïåðâî­ñóùíîñòü
ìèðà, 
òî åñòü
ðàäèêàëüíî èçìåíèëîñü
ñàìî
ïîíèìàíèå
ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ
îáúåêòîâ.  Êðîìå
òîãî, 
ìàòåìàòèêà
ïðåâðàùåíà
ïèôàãî­ðåéöàìè
â
ñîñòàâëÿþùóþ
ðåëèãèè, â
ñðåäñòâî
î÷èùåíèÿ
äóøè,
äîñòèæåíèÿ
áåññìåðòèÿ.
È íàêîíåö,
ïèôàãîðåéöû
îãðàíè÷èâàþò
îáëàñòü
ìàòåìàòè÷åñ­êèõ
îáúåêòîâ
íàèáîëåå
àáñòðàêòíûìè
òèïàìè 
ýëåìåíòîâ  è 
ñîçíàòåëüíî
èãíîðèðóþò
ïðèëîæåíèÿ
ìàòåìàòèêè
äëÿ ðåøåíèÿ
ïðîèçâîäñòâåííûõ
çàäà÷. Íî ÷åì
æå
îáóñëîâëåíû
òàêèå
ãëîáàëüíûå
ðàñõîæäåíèÿ
â
ïîíèìàíèè  ïðè­ðîäû 
ìàòåìàòè÷åñêèõ  îáúåêòîâ
ó øêîë, 
ñóùåñòâîâàâøèõ
ïðàêòè÷åñêè
â îäíî è òî æå
âðåìÿ è
÷åðïàâøèõ
ñâîþ
ìóäðîñòü,
ïî-âèäèìîìó,
èç îäíîãî è  òîãî
æå
èñòî÷íèêà -
êóëüòóðû
Âîñòîêà?  Âïðî÷åì, 
Ïèôàãîð,  ñêîðåå
âñåãî,
ïîëüçîâàëñÿ
äîñòèæåíèÿìè
ìèëåòñêîé øêîëû,
òàê êàê ó
íåãî, êàê è ó
Ôàëåñà, 
îáíàðóæèâàþòñÿ
îñíîâíûå
ïðèçíàêè
óìñòâåííîé
äåÿòåëüíîñ­òè,
îòëè÷àþùèåñÿ
îò
äîãðå÷åñêîé
ýïîõè; 
îäíàêî 
ìàòåìàòè÷åñêàÿ  äåÿ­òåëüíîñòü
ýòèõ øêîë
íîñèëà
ñóùåñòâåííî
ðàçëè÷íûé
õàðàêòåð.
Àðèñòîòåëü
áûë îäíèì èç
ïåðâûõ, êòî
ïîïûòàëñÿ
îáúÿñíèòü
ïðè÷èíû
ïîÿâëåíèÿ
ïèôàãîðåéñêîé
êîíöåïöèè
ìàòåìàòèêè.
Îí âèäåë èõ â
ïðåäåëàõ
ñàìîé
ìàòåìàòèêè:  “Òàê
íàçûâàåìûå
ïèôàãîðåéöû, 
çàíÿâøèñü
ìàòåìàòè­÷åñêèìè
íàóêàìè, 
âïåðâûå
äâèíóëè èõ
âïåðåä è, 
âîñïèòàâøèñü
íà íèõ, ñòàëè
ñ÷èòàòü èõ
íà÷àëàìè
âñåõ âåùåé.”
Ïîäîáíà
òî÷êà
çðåíèÿ íå
ëèøå­íà
îñíîâàíèÿ  õîòÿ  áû  â ñèëó
ïðèìåíèìîñòè
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ïîëîæåíèé
äëÿ
âûðàæåíèÿ
îòíîøåíèé
ìåæäó ðàçëè÷íûìè
ÿâëåíèÿìè.  Íà
ýòîì îñíîâà­íèè
ìîæíî, 
íåïðàâîìåðíî
ðàñøèðèâ äàííûé
ìîìåíò
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïîç­íàíèÿ,
ïðèéòè ê
óòâåðæäåíèþ
î
âûðàçèìîñòè
âñåãî
ñóùåãî ñ
ïîìîùüþ ìà­òåìàòè÷åñêèõ
çàâèñèìîñòåé,
à åñëè ñ÷èòàòü
÷èñëîâûå
îòíîøåíèÿ
óíèâåð­ñàëüíûìè,
òî “÷èñëî
åñòü
ñóùíîñòü
âñåõ âåùåé”.
Êðîìå òîãî,
êî âðåìå­íè
äåÿòåëüíîñòè 
ïèôàãîðåéöåâ
ìàòåìàòèêà
ïðîøëà
äëèííûé
ïóòü èñòîðè­÷åñêîãî
ðàçâèòèÿ;
ïðîöåññ
ôîðìèðîâàíèÿ
åå îñíîâíûõ
ïîëîæåíèé
òåðÿëñÿ âî
ìðàêå âåêîâ.  Òàêèì
îáðàçîì,
ïîÿâëÿëîñü
èñêóøåíèå
ïðåíåáðå÷ü
èì è
îáúÿâèòü
ìàòåìàòè÷åñêèå
îáúåêòû
÷åì-òî
ïåðâè÷íûì ïî
îòíîøåíèþ
ê  ñó­ùåñòâóþùåìó
ìèðó. Èìåííî
òàê è
ïîñòóïèëè
ïèôàãîðåéöû.
Â
ñîâåòñêîé
ôèëîñîôñêîé
íàóêå
ïðîáëåìà ïîÿâëåíèÿ 
ïèôàãîðåéñêîé
êîíöåïöèè
ìàòåìàòèêè  
ðàññìàòðèâàëàñü,
åñòåñòâåííî,   ñ  
ïîçèöèé
ìàðêñèñòñêî-ëåíèíñêîé
ôèëîñîôèè.  Òàê,
Î.È.Êåäðîâñêèé
ïèøåò: “...Âû­ðàáîòàííàÿ  èì
(Ïèôàãîðîì)
êîíöåïöèÿ
îáúåêòèâíî
îêàçàëàñü
èäåîëîãèåé
âïîëíå
îïðåäåëåííûõ
ñîöèàëüíûõ
ñëîåâ
îáùåñòâà.  Ýòî
áûëè
...ïðåäñòà­âèòåëè
àðèñòîêðàòèè,
òåñíèìûå
äåìîñîì... Äëÿ
íèõ
õàðàêòåðíî
ñòðåìëå­íèå
óéòè îò
òÿãîò
çåìíîé
æèçíè, 
îáðàùåíèå
ê ðåëèãèè è
ìèñòèêå”.
Ýòà òî÷êà çðåíèÿ,  êàê è
ïåðâàÿ, 
íå ëèøåíà ñìûñëà;
èñòèíà æå,
âåðîÿòíî,
íàõîäèòñÿ
ãäå-òî
ïîñåðåäèíå.
Îäíàêî, íà
ìîé âçãëÿä,
êðàõ ïèôàãîðåéñ­êîãî 
ó÷åíèÿ  ñëåäóåò  ñâÿçûâàòü  â 
ïåðâóþ
î÷åðåäü íå ñ
âûðîæäåíèåì
àðèñòîêðàòèè
êàê êëàññà,  à ñ
ïîïûòêîé
ïèôàãîðåéöåâ  èçâðàòèòü  ñàìó
ïðèðîäó 
ïðîöåññà 
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ,  ëèøèâ
ìàòåìàòèêó
òàêèõ
âàæíûõ
èñòî÷íèêîâ
ïðîãðåññà, êàê
ïðèëîæåíèÿ ê
ïðîèçâîäñòâó,
îòêðûòîå
îáñóæäåíèå
ðåçóëüòàòîâ
èññëåäîâàíèé, 
êîëëåêòèâíîå
òâîð÷åñòâî,
óäåð­æàòü
ïðîãðåññ
ìàòåìàòèêè
â ðàìêàõ
ðàôèíèðîâàííîãî
ó÷åíèÿ äëÿ  ïîñâÿ­ùåííûõ. 
Êñòàòè,  ñàìè  ïèôàãîðåéöû 
ïîäîðâàëè
ñâîé îñíîâîïîëàãàþùèé
ïðèíöèï
÷èñëî åñòü
ñóùíîñòü âñåõ
âåùåé”,
îòêðûâ, ÷òî
îòíîøåíèå
äèà­ãîíàëè è
ñòîðîíû
êâàäðàòà íå
âûðàæàåòñÿ ïîñðåäñòâîì
öåëûõ ÷èñåë.
Òàêèì
îáðàçîì, óæå
â èñõîäíîì
ïóíêòå 
ñâîåãî  ðàçâèòèÿ  òåîðåòè÷åñêàÿ
ìàòåìàòèêà  áûëà  ïîäâåðæåíà 
âëèÿíèþ
áîðüáû äâóõ
òèïîâ ìèðî­âîççðåíèÿ
-
ìàòåðèàëèñòè÷åñêîãî
è ðåëèãèîçíî-èäåàëèñòè÷åñêîãî.
Ìû æå
óáåäèëèñü,
÷òî íàðÿäó ñ
âëèÿíèåì
ìèðîâîççðåíèÿ
íà ðàçâèòèå
ìàòåìàòè­÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ
èìååò ìåñòî
è îáðàòíîå
âîçäåéñòâèå.
Ãëàâà 4
ÝËÅÉÑÊÀß
ØÊÎËÀ
Ýëåéñêàÿ
øêîëà
äîâîëüíî
èíòåðåñíà
äëÿ èññëåäîâàíèÿ,
òàê êàê ýòî
îäíà èç
äðåâíåéøèõ
øêîë, â
òðóäàõ
êîòîðîé
ìàòåìàòèêà
è ôèëîñîôèÿ
äî­ñòàòî÷íî
òåñíî è
ðàçíîñòîðîííå
âçàèìîäåéñòâóþò.
Îñíîâíûìè
ïðåäñòàâè­òåëÿìè
ýëåéñêîé
øêîëû ñ÷èòàþò
Ïàðìåíèäà
(êîíåö VI - V â.  äî í.ý.) è
Çåíîíà
(ïåðâàÿ
ïîëîâèíà V â.
äî í.ý.).
Ôèëîñîôèÿ
Ïàðìåíèäà
çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì: 
âñåâîçìîæíûå
ñèñ­òåìû
ìèðîïîíèìàíèÿ
áàçèðóþòñÿ
íà îäíîé èç
òðåõ ïîñûëîê:
1)Åñòü òîëü­êî
áûòèå, 
íåáûòèÿ
íåò; 
2)Ñóùåñòâóåò
íå òîëüêî
áûòèå, íî è
íåáûòèå;
3)Áûòèå è  íåáûòèå 
òîæäåñòâåííû. 
Èñòèííîé
Ïàðìåíèä
ïðèçíàåò
òîëüêî
ïåðâóþ
ïîñûëêó.  Ñîãëàñíî
åìó, 
áûòèå
åäèíî, 
íåäåëèìî,
íåèçìåíÿåìî,
âíåâðåìåííî,
çàêîí÷åíî â
ñåáå, òîëüêî
îíî èñòèííî
ñóùåå;
ìíîæåñòâåí­íîñòü,
èçìåí÷èâîñòü,
ïðåðûâíîñòü,
òåêó÷åñòü -
âñå ýòî óäåë
ìíèìîãî.
Ñ
çàùèòîé 
ó÷åíèÿ  Ïàðìåíèäà  îò
âîçðàæåíèé
âûñòóïèë
åãî ó÷åíèê
Çåíîí.
Äðåâíèå
ïðèïèñûâàëè
åìó ñîðîê äîêàçàòåëüñòâ
äëÿ çàùèòû
ó÷åíèÿ î
åäèíñòâå 
ñóùåãî
(ïðîòèâ
ìíîæåñòâåííîñòè
âåùåé) è ïÿòü
äîêàçàòåëü­ñòâ
åãî
íåïîäâèæíîñòè
(ïðîòèâ
äâèæåíèÿ).  Èç íèõ
äî íàñ äîøëî  âñåãî
äåâÿòü.
Íàèáîëüøåé
èçâåñòíîñòüþ
âî âñå âðåìåíà
ïîëüçîâàëèñü
çåíîíîâû
äîêàçàòåëüñòâà
ïðîòèâ
äâèæåíèÿ;
íàïðèìåð,
äâèæåíèÿ íå
ñóùåñòâóåò
íà òîì
îñíîâàíèè,  ÷òî
ïåðåìåùàþùååñÿ
òåëî äîëæíî
ïðåæäå äîéòè äî
ïîëî­âèíû,
÷åì äî êîíöà,
à ÷òîáû
äîéòè äî
ïîëîâèíû,
íóæíî
ïðîéòè
ïîëîâèíó
ýòîé
ïîëîâèíû è
ò.ä.”.
Àðãóìåíòû
Çåíîíà
ïðèâîäÿò  ê 
ïàðàäîêñàëüíûì,  ñ 
òî÷êè 
çðåíèÿ
çäðàâîãî
ñìûñëà”,  âûâîäàì,  íî èõ
íåëüçÿ áûëî
ïðîñòî îòáðîñèòü
êàê
íåñîñòîÿòåëüíûå,
ïîñêîëüêó è
ïî ôîðìå, è ïî
ñîäåðæàíèþ
óäîâëåòâîðÿëè
ìàòåìàòè÷åñêèì 
ñòàíäàðòàì
òîé ïîðû.  Ðàçëîæèâ
àïîðèè
Çåíîíà íà
ñîñ­òàâíûå
÷àñòè è
äâèãàÿñü îò
çàêëþ÷åíèé
ê ïîñûëêàì,  ìîæíî
ðåêîíñòðóè­ðîâàòü 
èñõîäíûå
ïîëîæåíèÿ,  êîòîðûå
îí âçÿë çà
îñíîâó
ñâîåé êîíöåï­öèè.  Âàæíî
îòìåòèòü,
÷òî â
êîíöåïöèè
ýëåàòîâ, êàê
è â
äîçåíîíîâñêîé
íàóêå 
ôóíäàìåíòàëüíûå 
ôèëîñîôñêèå
ïðåäñòàâëåíèÿ
ñóùåñòâåííî
îïèðà­ëèñü
íà
ìàòåìàòè÷åñêèå
ïðèíöèïû.  Âèäíîå
ìåñòî 
ñðåäè 
íèõ 
çàíèìàëè
ñëåäóþùèå
àêñèîìû:
1.     Ñóììà
áåñêîíå÷íî
áîëüøîãî
÷èñëà ëþáûõ,  õîòÿ
áû è
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ, íî
ïðîòÿæåííûõ
âåëè÷èí
äîëæíà áûòü
áåñêîíå÷íî áîëüøîé;
2.     Ñóììà
ëþáîãî, 
õîòÿ áû è
áåñêîíå÷íî
áîëüøîãî
÷èñëà 
íåïðîòÿ­æåííûõ
âåëè÷èí  âñåãäà
ðàâíà íóëþ è
íèêîãäà íå
ìîæåò ñòàòü
íåêîòîðîé
çàðàíåå
çàäàííîé
ïðîòÿæåííîé
âåëè÷èíîé.
Èìåííî
â  ñèëó
òåñíîé
âçàèìîñâÿçè
îáùèõ
ôèëîñîôñêèõ
ïðåäñòàâëå­íèé
ñ
ôóíäàìåíòàëüíûìè
ìàòåìàòè÷åñêèìè
ïîëîæåíèÿìè
óäàð, 
íàíåñåííûé
Çåíîíîì ïî
ôèëîñîôñêèì
âîççðåíèÿì, 
ñóùåñòâåííî
çàòðîíóë
ñèñòåìó ìà­òåìàòè÷åñêèõ
çíàíèé.  Öåëûé ðÿä
âàæíåéøèõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ïîñòðîåíèé,
ñ÷èòàâøèõñÿ
äî ýòîãî
íåñîìíåííî
èñòèííûìè,
â ñâåòå
çåíîíîâñêèõ
ïîñò­ðîåíèé
âûãëÿäåëè
êàê
ïðîòèâîðå÷èâûå. 
Ðàññóæäåíèÿ
Çåíîíà 
ïðèâåëè  ê
íåîáõîäèìîñòè
ïåðåîñìûñëèòü  òàêèå  âàæíûå
ìåòîäîëîãè÷åñêèå
âîïðîñû, êàê
ïðèðîäà
áåñêîíå÷íîñòè,  ñîîòíîøåíèå
ìåæäó
íåïðåðûâíûì
è  ïðåðûâ­íûì
è  ò.ï.  Îíè
îáðàòèëè
âíèìàíèå
ìàòåìàòèêîâ
íà
íåïðî÷íîñòü
ôóíäà­ìåíòà
èõ íàó÷íîé
äåÿòåëüíîñòè
è òàêèì îáðàçîì
îêàçàëè 
ñòèìóëèðóþùåå
âîçäåéñòâèå
íà ïðîãðåññ
ýòîé íàóêè.
Ñëåäóåò
îáðàòèòü
âíèìàíèå è
íà îáðàòíóþ
ñâÿçü - íà ðîëü
ìàòåìà­òèêè
â
ôîðìèðîâàíèè
ýëåéñêîé
ôèëîñîôèè.
Òàê,
óñòàíîâëåíî,
÷òî àïîðèè
Çåíîíà ñâÿçàíû
ñ
íàõîæäåíèåì
ñóììû
áåñêîíå÷íîé
ãåîìåòðè÷åñêîé  ïðîã­ðåññèè.
Íà 
ýòîì 
îñíîâàíèè
ñîâåòñêèé
èñòîðèê
ìàòåìàòèêè
Ý.  Êîëüìàí
ñäåëàë
ïðåäïîëîæåíèå,
÷òî “èìåííî
íà
ìàòåìàòè÷åñêèé
ïî÷âå
ñóììèðîâà­íèÿ
òàêèõ 
ïðîãðåññèé  è 
âûðîñëè
ëîãèêî-ôèëîñîôñêèå
àïîðèè
Çåíîíà”.
Îäíàêî
òàêîå
ïðåäïîëîæåíèå, 
ïî-âèäèìîìó,
ëèøåíî
äîñòàòî÷íûõ
îñíîâà­íèé,
òàê 
êàê îíî
ñëèøêîì
æåñòêî ñâÿçûâàåò
ó÷åíèå
Çåíîíà ñ
ìàòåìàòè­êîé
ïðè òîì, 
÷òî
èìåþùèå
èñòîðè÷åñêèå
äàííûå íå
äàþò
îñíîâàíèÿ  óò­âåðæäàòü,
÷òî Çåíîí
âîîáùå áûë
ìàòåìàòèêîì.
Îãðîìíîå
çíà÷åíèå
äëÿ
ïîñëåäóþùåãî 
ðàçâèòèÿ 
ìàòåìàòèêè  èìåëî
ïîâûøåíèå
óðîâíÿ
àáñòðàêöèè
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ,  ÷òî
ïðîèçîøëî â
áîëüøîé
ñòåïåíè
áëàãîäàðÿ
äåÿòåëüíîñòè
ýëåàòîâ. 
Êîíêðåòíîé
ôîðìîé
ïðîÿâëåíèÿ
ýòîãî 
ïðîöåññà áûëî
âîçíèêíîâåíèå
êîñâåííîãî
äîêàçàòåëü­ñòâà
(“îò
ïðîòèâíîãî”),
õàðàêòåðíîé
÷åðòîé êîòîðîãî
ÿâëÿåòñÿ
äîêàçà­òåëüñòâî
íå ñàìîãî
óòâåðæäåíèÿ,  à àáñóðäíîñòè
îáðàòíîãî
åìó. 
Òàêèì
îáðàçîì áûë
ñäåëàí øàã ê
ñòàíîâëåíèþ
ìàòåìàòèêè
êàê
äåäóêòèâíîé
íàó­êè,
ñîçäàíû 
íåêîòîðûå  ïðåäïîñûëêè
äëÿ åå
àêñèîìàòè÷åñêîãî
ïîñòðîå­íèÿ.
Èòàê,
ôèëîñîôñêèå
ðàññóæäåíèÿ
ýëåàòîâ, ñ
îäíîé
ñòîðîíû,
ÿâèëèñü
ìîùíûì
òîë÷êîì äëÿ
ïðèíöèïèàëüíî
íîâîé
ïîñòàíîâêè
âàæíåéøèõ  ìåòîäî­ëîãè÷åñêèõ
âîïðîñîâ 
ìàòåìàòèêè,  à 
ñ äðóãîé -
ïîñëóæèëè
èñòî÷íèêîì
âîçíèêíîâåíèÿ
êà÷åñòâåííî  íîâîé  ôîðìû 
îáîñíîâàíèÿ 
ìàòåìàòè÷åñêèõ
çíàíèé.
Ãëàâà 5
ÄÅÌÎÊÐÈÒ
Àðãóìåíòû
Çåíîíà
âñêðûëè
âíóòðåííèå
ïðîòèâîðå÷èÿ,
êîòîðûå
èìåëè ìåñòî
â ñëîæèâøèõñÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèÿõ. Òåì
ñàìûì ôàêò
ñóùåñòâî­âàíèÿ
ìàòåìàòèêè
áûë
ïîñòàâëåí
ïîä ñîìíåíèå.
Êàêèìè æå
ïóòÿìè ðàçðå­øàëèñü
ïðîòèâîðå÷èÿ,
âûÿâëåííûå
Çåíîíîì ?
Ïðîñòåéøèì
âûõîäîì  èç
ñîçäàâøåãîñÿ
ïîëîæåíèÿ
áàë îòêàç îò
àáñ­òðàêöèé
â ïîëüçó
òîãî, ÷òî
ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî
ïðîâåðèòü ñ
ïîìîùüþ
îùóùåíèé.
Òàêóþ
ïîçèöèþ
çàíÿë
ñîôèñò
Ïðîòàãîð. Îí
ñ÷èòàë, ÷òî
ìû íå ìîæåì
ïðåäñòàâèòü ñåáå
íè÷åãî
ïðÿìîãî èëè
êðóãëîãî â
òîì ñìûñëå,
êàê
ïðåäñòàâëÿåò
ýòè òåðìèíû
ãåîìåòðèÿ; â
ñàìîì äåëå,
êðóã
êàñàåòñÿ ïðÿ­ìîé
íå â îäíîé
òî÷êå”. 
Òàêèì
îáðàçîì,  èç
ìàòåìàòèêè
ñëåäóåò
óáðàòü êàê
èððåàëüíûå: 
ïðåäñòàâëåíèÿ  î 
áåñêîíå÷íîì
÷èñëå
âåùåé, 
òàê êàê
íèêòî íå
ìîæåò
ñ÷èòàòü äî
áåñêîíå÷íîñòè;
áåñêîíå÷íóþ
äåëèìîñòü,  ïîñ­êîëüêó
îíà 
íåîñóùåñòâèìà
ïðàêòè÷åñêè
è ò.ä. 
Òàêèì
ïóòåì
ìàòåìàòèêó
ìîæíî
ñäåëàòü
íåóÿçâèìîé
äëÿ ðàññóæäåíèé
Çåíîíà, íî
ïðè ýòîì
ïðàêòè­÷åñêè
óïðàçäíÿåòñÿ
òåîðåòè÷åñêàÿ
ìàòåìàòèêà.
Çíà÷èòåëüíî
ñëîæíåå áû­ëî
ïîñòðîèòü
ñèñòåìó
ôóíäàìåíòàëüíûõ
ïîëîæåíèé
ìàòåìàòèêè,
â êîòîðîé áû
âûÿâëåííûå
Çåíîíîì
ïðîòèâîðå÷èÿ
íå èìåëè áû
ìåñòà. Ýòó
çàäà÷ó ðå­øèë
Äåìîêðèò,
ðàçðàáîòàâ
êîíöåïöèþ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àòîìèçìà.
Äåìîêðèò
áàë,  ïî
ìíåíèþ
Ìàðêñà, “ïåðâûì
ýíöèêëîïåäè÷åñêèì
óìîì ñðåäè
ãðåêîâ”. 
Äèîãåí
Ëàåðöèé (III â.
í.ý.)
íàçûâàåò 7Î åãî
ñî÷èíå­íèé,
â êîòîðûõ
áûëè
îñâåùåíû
âîïðîñû ôèëîñîôèè, 
ëîãèêè,
ìàòåìàòèêè,
êîñìîëîãèè,
ôèçèêè,
áèîëîãèè,
îáùåñòâåííîé
æèçíè,
ïñèõîëîãèè,
ýòèêè,
ïåäàãîãèêè,
ôèëîëîãèè,
èñêóññòâà,
òåõíèêè è
äðóãèå. Àðèñòîòåëü
ïèñàë î íåì:
Âîîáùå,
êðîìå
ïîâåðõíîñòíûõ
èçûñêàíèé,
íèêòî
íè÷åãî íå
óñòà­íîâèë,
èñêëþ÷àÿ
Äåìîêðèòà.  ×òî æå
êàñàåòñÿ
åãî, òî
ïîëó÷àåòñÿ
òàêîå
âïå÷àòëåíèå,
÷òî îí
ïðåäóñìîòðåë
âñå,  äà
è â ìåòîäå 
âû÷èñëåíèé  îí
âûãîäíî
îòëè÷àåòñÿ
îò äðóãèõ”.
Ââîäíîé
÷àñòüþ
íàó÷íîé
ñèñòåìû
Äåìîêðèòà
áûëà
êàíîíèêà”, â
êî­òîðîé
ôîðìóëèðîâàëèñü
è
îáîñíîâûâàëèñü
ïðèíöèïû
àòîìèñòè÷åñêîé
ôèëî­ñîôèè.
Çàòåì
ñëåäîâàëà
ôèçèêà, êàê
íàóêà î
ðàçëè÷íûõ
ïðîÿâëåíèÿõ
áû­òèÿ, è
ýòèêà. 
Êàíîíèêà
âõîäèëà â ôèçèêó
â êà÷åñòâå
èñõîäíîãî
ðàçäå­ëà,
ýòèêà æå
ñòðîèëàñü
êàê
ïîðîæäåíèå
ôèçèêè.  Â
ôèëîñîôèè
Äåìîêðèòà
ïðåæäå âñåãî 
óñòàíàâëèâàåòñÿ
ðàçëè÷èå ìåæäó
ïîäëèííî
ñóùèì” è òåì,
÷òî
ñóùåñòâóåò
òîëüêî â
îáùåì
ìíåíèè”.  Ïîäëèííî 
ñóùèìè 
ñ÷èòàëèñü
ëèøü àòîìû è
ïóñòîòà. Êàê
ïîäëèííî
ñóùåå,
ïóñòîòà (íåáûòèå)
åñòü òà­êàÿ
æå
ðåàëüíîñòü,  êàê
àòîìû
(áûòèå). “Âåëèêàÿ
ïóñòîòà”
áåçãðàíè÷íà
è çàêëþ÷àåò
â ñåáå âñå
ñóùåñòâóþùåå,
â íåé íåò íè
âåðõà, íè
íèçà, íè êðàÿ,
íè öåíòðà,  îíà äåëàåò
ïðåðûâíîé
ìàòåðèþ è
âîçìîæíûì
åå äâèæå­íèå.
Áûòèå 
îáðàçóþò 
áåñ÷èñëåííûå
ìåëü÷àéøèå
êà÷åñòâåííî
îäíîðîäíûå
ïåðâîòåëüöà,
ðàçëè÷àþùèåñÿ
ìåæäó ñîáîé
ïî âíåøíèì 
ôîðìàì,  ðàçìåðó,
ïîëîæåíèþ è
ïîðÿäêó, 
îíè äàëåå
íåäåëèìû
âñëåäñòâèå
àáñîëþòíîé
òâåð­äîñòè è
îòñóòñòâèÿ
â íèõ
ïóñòîòû è “ïî 
âåëè÷èíå 
íåäåëèìû”.  Àòîìàì
ñàìèì ïî
ñåáå
ñâîéñòâåííî
íåïðåñòàííîå
äâèæåíèå, 
ðàçíîîáðàçèå
êîòî­ðîãî
îïðåäåëÿåòñÿ
áåñêîíå÷íûì
ðàçíîîáðàçèåì  ôîðì 
àòîìîâ.  Äâèæåíèå
àòîìîâ
âå÷íî 
è  â
êîíå÷íîì
èòîãå
ÿâëÿåòñÿ
ïðè÷èíîé
âñåõ
èçìåíåíèé â
ìèðå.
Çàäà÷à
íàó÷íîãî
ïîçíàíèÿ,
ñîãëàñíî
Äåìîêðèòó,
÷òîáû
íàáëþäàåìûå
ÿâëåíèÿ
ñâåñòè ê
îáëàñòè
èñòèííîãî
ñóùåãî” è
äàòü èì îáúÿñíåíèå
èñ­õîäÿ èç  îáùèõ
ïðèíöèïîâ
àòîìèñòèêè.  Ýòî
ìîæåò áûòü
äîñòèãíóòî
ïîñ­ðåäñòâîì
ñîâìåñòíîé
äåÿòåëüíîñòè
îùóùåíèé è
ðàçóìà.
Ãíîñåîëîãè÷åñêóþ
ïîçèöèþ  Äåìîêðèòà
Ìàðêñ
ñôîðìóëèðîâàë
ñëåäóþùèì
îáðàçîì:  “Äåìîêðèò
íå òîëüêî íå
óäàëÿëñÿ îò
ìèðà, à,
íàîáîðîò,
áûë ýìïèðè÷åñêèì
åñòåñò­âîèñïûòàòåëåì”. 
Ñîäåðæàíèå
èñõîäíûõ ôèëîñîôñêèõ
ïðèíöèïîâ è
ãíîñåî­ëîãè÷åñêèå
óñòàíîâêè
îïðåäåëèëè
îñíîâíûå
÷åðòû
íàó÷íîãî 
ìåòîäà  Äå­ìîêðèòà:
à) Â
ïîçíàíèè
èñõîäèòü îò
åäèíè÷íîãî;
á)
Ëþáûå 
ïðåäìåò  è 
ÿâëåíèå
ðàçëîæèìû äî
ïðîñòåéøèõ
ýëåìåíòîâ (àíàëèç)
è îáúÿñíèìû
èñõîäÿ èç
íèõ (ñèíòåç);
â)
Ðàçëè÷àòü
ñóùåñòâîâàíèå
ïî èñòèíå” è “ñîãëàñíî
ìíåíèþ”;
ã)
ßâëåíèÿ
äåéñòâèòåëüíîñòè
- ýòî îòäåëüíûå
ôðàãìåíòû 
óïîðÿäî­÷åííîãî
êîñìîñà, 
êîòîðûé  âîçíèê
è
ôóíêöèîíèðóåò
â ðåçóëüòàòå
äåéñ­òâèé
÷èñòî
ìåõàíè÷åñêîé
ïðè÷èííîñòè.
Ìàòåìàòèêà
ïî 
ïðàâó
äîëæíà
ñ÷èòàòüñÿ ó
Äåìîêðèòà
ïåðâûì
ðàçäåëîì
ñîáñòâåííî
ôèçèêè è
ñëåäîâàòü
íåïîñðåäñòâåííî  çà 
êàíîíèêîé.  Â ñàìîì
äåëå, àòîìû
êà÷åñòâåííî
îäíîðîäíû è
èõ ïåðâè÷íûå
ñâîéñòâà
èìå­þò
êîëè÷åñòâåííûé
õàðàêòåð.  Îäíàêî
áûëî áû 
íåïðàâèëüíî  òðàêòîâàòü
ó÷åíèå
Äåìîêðèòà
êàê
ðàçíîâèäíîñòü
ïèôàãîðåèçìà, 
ïîñêîëüêó
Äåìîêðèò
õîòÿ è
ñîõðàíÿåò
èäåþ
ãîñïîäñòâà
â ìèðå
ìàòåìàòè÷åñêîé
çàêîíîìåðíîñ­òè,
íî 
âûñòóïàåò
ñ êðèòèêîé
àïðèîðíûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ïîñòðîåíèé
ïè­ôàãîðåéöåâ,
ñ÷èòàÿ, ÷òî
÷èñëî äîëæíî
âûñòóïàòü
íå
çàêîíîäàòåëåì
ïðè­ðîäû, à
èçâëåêàòüñÿ
èç íåå.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
çàêîíîìåðíîñòü
âûÿâëÿåòñÿ
Äåìîêðèòîì
èç ÿâëåíèé
äåéñòâèòåëüíîñòè,  è â ýòîì
ñìûñëå îí
ïðåäâîñ­õèùàåò
èäåè
ìàòåìàòè÷åñêîãî
åñòåñòâîçíàíèÿ. 
Èñõîäíûå
íà÷àëà
ìàòåðè­àëüíîãî
áûòèÿ
âûñòóïàþò ó
Äåìîêðèòà â
çíà÷èòåëüíîé
ñòåïåíè êàê
ìàòå­ìàòè÷åñêèå
îáúåêòû,  è  â 
ñîîòâåòñòâèè  ñ ýòèì
ìàòåìàòèêå
îòâîäèòñÿ
âèäíîå
ìåñòî â
ñèñòåìå ìèðîâîççðåíèÿ
êàê íàóêå î
ïåðâè÷íûõ
ñâîéñòâàõ
âåùåé.
Îäíàêî 
âêëþ÷åíèå 
ìàòåìàòèêè  â 
îñíîâàíèå
ìèðîâîççðåí÷åñêîé
ñèñòåìû
ïîòðåáîâàëî
åå
ïåðåñòðîéêè, 
ïðèâåäåíèÿ
ìàòåìàòèêè  â 
ñîîò­âåòñòâèå
ñ èñõîäíûìè
ôèëîñîôñêèìè
ïîëîæåíèÿìè,  ñ
ëîãèêîé,
ãíîñåîëî­ãèåé,
ìåòîäîëîãèåé
íàó÷íîãî
èññëåäîâàíèÿ. 
Ñîçäàííàÿ  òàêèì  îáðàçîì
êîíöåïöèÿ
ìàòåìàòèêè,  íàçûâàåìàÿ
êîíöåïöèåé
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àòîìèç­ìà,
îêàçàëàñü
ñóùåñòâåííî
îòëè÷íîé îò
ïðåäûäóùèõ.
Ó
Äåìîêðèòà
âñå
ìàòåìàòè÷åñêèå
îáúåêòû
(òåëà,
ïëîñêîñòè,
ëèíèè, òî÷êè)
âûñòóïàþò  â 
îïðåäåëåííûõ  ìàòåðèàëüíûõ 
îáðàçàõ. 
Èäåàëüíûå ïëîñêîñòè,
ëèíèè, 
òî÷êè â åãî
ó÷åíèè
îòñóòñòâóþò.
Îñíîâíîé
ïðîöåäó­ðîé
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àòîìèçìà
ÿâëÿåòñÿ
ðàçëîæåíèå
ãåîìåòðè÷åñêèõ  òåë íà
òîí÷àéøèå 
ëèñòèêè  (ïëîñêîñòè), 
ïëîñêîñòåé
- íà
òîí÷àéøèå
íèòêè
(ëèíèè),
ëèíèé - íà
ìåëü÷àéøèå
çåðíûøêè
(àòîìû). 
Êàæäûé
àòîì 
èìååò ìàëóþ,
íî
íåíóëåâóþ
âåëè÷èíó è
äàëåå íåäåëèì.
Òåïåðü äëèíà
ëèíèè îï­ðåäåëÿåòñÿ
êàê ñóììà
ñîäåðæàùèõñÿ
â íåé íåäåëèìûõ
÷àñòèö.
Àíàëîãè÷íî
ðåøàåòñÿ âîïðîñ  î
âçàèìîñâÿçè
ëèíèé íà ïëîñêîñòè
è
ïëîñêîñòåé
â òå­ëå. ×èñëî
àòîìîâ â
êîíå÷íîì
îáúåìå
ïðîñòðàíñòâà
íå
áåñêîíå÷íî,  õîòÿ è
íàñòîëüêî
âåëèêî, 
÷òî
íåäîñòóïíî
÷óâñòâàì.
Èòàê, ãëàâíûì
îòëè÷èåì
ó÷åíèÿ
Äåìîêðèòà
îò ðàññìîòðåííûõ
ðàíåå
ÿâëÿåòñÿ
îòðèöàíèå
èì áåñêî­íå÷íîé
äåëèìîñòè.
Òàêèì
îáðàçîì îí
ðåøàåò
ïðîáëåìó
ïðàâîìåðíîñòè
òå­îðåòè÷åñêèõ
ïîñòðîåíèé
ìàòåìàòèêè,  íå
ñâîäÿ èõ ê
÷óâñòâåííî
âîñïðè­íèìàåìûì
îáðàçàì, êàê
ýòî äåëàë
Ïðîòàãîð. Òàê,
íà
ðàññóæäåíèÿ
Ïðîòà­ãîðà î
êàñàíèè
îêðóæíîñòè
è ïðÿìîé
Äåìîêðèò  ìîã  áû  îòâåòèòü,  ÷òî
÷óâñòâà,
ÿâëÿþùèåñÿ  îòïðàâíûì
êðèòåðèåì
Ïðîòàãîðà,  ïîêàçûâàþò
åìó, ÷òî ÷åì
òî÷íåå
÷åðòåæ, òåì
ìåíüøå
ó÷àñòîê
êàñàíèÿ; â
äåéñòâèòåëüíîñ­òè
æå ýòîò
ó÷àñòîê
íàñòîëüêî
ìàë, ÷òî íå ïîääàåòñÿ
÷óâñòâåííîìó
àíà­ëèçó, à
îòíîñèòñÿ ê
îáëàñòè
èñòèííîãî ïîçíàíèÿ.
Ðóêîâîäñòâóÿñü
ïîëîæåíèÿìè  ìàòåìàòè÷åñêîãî
àòîìèçìà, 
Äåìîêðèò ïðîâîäèò
ðÿä
êîíêðåòíûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé
è
äîñòèãàåò  âû­äàþùèõñÿ
ðåçóëüòàòîâ
(íàïðèìåð,  òåîðèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîé
ïåðñïåêòèâû
è ïðîåêöèè).
Êðîìå òîãî,
îí ñûãðàë, ïî
ñâèäåòåëüñòâó
Àðõèìåäà,
íåìàëî­âàæíóþ
ðîëü  â
äîêàçàòåëüñòâå
Ýâäîêñîì
òåîðåì îá
îáúåìå
êîíóñà è ïè­ðàìèäû.
Íåëüçÿ ñ
óâåðåííîñòüþ
ñêàçàòü, ïîëüçîâàëñÿ
ëè îí ïðè
ðåøåíèè
ýòîé çàäà÷è
ìåòîäàìè
àíàëèçà
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ. 
À.Î.Ìàêîâåëüñêèé
ïè­øåò:
Äåìîêðèò
âñòóïèë íà
ïóòü, 
ïî êîòîðîìó
äàëüøå ïîøëè
Àðõèìåä  è Êàâàëüåðè.
Îäíàêî,
ïîäîéäÿ
âïëîòíóþ ê
ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî
ìàëîãî, Äå­ìîêðèò
íå ñäåëàë
ïîñëåäíåãî
ðåøèòåëüíîãî
øàãà. Îí íå
äîïóñêàåò
áåçã­ðàíè÷íîãî
óâåëè÷åíèÿ
÷èñëà
ñëàãàåìûõ, 
îáðàçóþùèõ
â ñâîåé
ñóììå äàí­íûé
îáúåì. Îí
ïðèíèìàåò
ëèøü
÷ðåçâû÷àéíî
áîëüøîå, íå
ïîääàþùååñÿ
èñ­÷èñëåíèþ
âñëåäñòâèå
ñâîåé
îãðîìíîñòè ÷èñëî
ýòèõ
ñëàãàåìûõ”.
Âûäàþùèìñÿ
äîñòèæåíèåì
Äåìîêðèòà â
ìàòåìàòèêå
ÿâèëàñü
òàêæå åãî
èäåÿ î
ïîñòðîåíèè
òåîðåòè÷åñêîé
ìàòåìàòèêè
êàê
ñèñòåìû.  Â çàðîäûøå­âîé
ôîðìå îíà
ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé 
èäåþ 
àêñèîìàòè÷åñêîãî  ïîñòðîåíèÿ
ìàòåìàòèêè,
êîòîðàÿ
çàòåì áûëà
ðàçâèòà â
ìåòîäîëîãè÷åñêîì
ïëàíå Ïëà­òîíîì
è ïîëó÷èëà
ëîãè÷åñêè
ðàçâåðíóòîå ïîëîæåíèå
ó
Àðèñòîòåëÿ.
Ãëàâà 6
ÏËÀÒÎÍÎÂÑÊÈÉ
ÈÄÅÀËÈÇÌ
Ñî÷èíåíèÿ
Ïëàòîíà (427-347
ãã.  äî
í.ý.) - óíèêàëüíîå
ÿâëåíèå â
îòíîøåíèè
âûäåëåíèÿ ôèëîñîôñêîé
êîíöåïöèè.
Ýòî
âûñîêîõóäîæåñòâåííîå,
çàõâàòûâàþùåå
îïèñàíèå
ñàìîãî
ïðîöåññà
ñòàíîâëåíèÿ
êîíöåïöèè, ñ
ñîì­íåíèÿìè
è
íåóâåðåííîñòüþ,
ïîä÷àñ ñ
áåçðåçóëüòàòíûìè
ïîïûòêàìè
ðàçðå­øåíèÿ
ïîñòàâëåííîãî
âîïðîñà,  ñ âîçâðàòîì
ê èñõîäíîìó
ïóíêòó,
ìíîãî­÷èñëåííûìè
ïîâòîðåíèÿìè
è ò.ï. 
Âûäåëèòü â 
òâîð÷åñòâå 
Ïëàòîíà  êà­êîé-ëèáî
àñïåêò 
è
ñèñòåìàòè÷åñêè
èçëîæèòü
åãî äîâîëüíî
ñëîæíî, 
òàê êàê
ïðèõîäèòñÿ
ðåêîíñòðóèðîâàòü
ìûñëè Ïëàòîíà
èç
îòäåëüíûõ 
âûñêàçû­âàíèé,
êîòîðûå 
íàñòîëüêî  äèíàìè÷íû,  ÷òî â
ïðîöåññå
ýâîëþöèè ìûñëè
ïîðîé
ïðåâðàùàþòñÿ
â ñâîþ
ïðîòèâîïîëîæíîñòü.
Ïëàòîí
íåîäíîêðàòíî 
âûñêàçûâàë  ñâîå  îòíîøåíèå
ê
ìàòåìàòèêå
è îíà âñåãäà
îöåíèâàëàñü
èì î÷åíü
âûñîêî: 
áåç  ìàòåìàòè÷åñêèõ 
çíàíèé
÷åëîâåê ñ
ëþáûìè
ïðèðîäíûìè
ñâîéñòâàìè
íå ñòàíåò
áëàæåííûì”, â
ñâî­åì
èäåàëüíîì
ãîñóäàðñòâå
îí
ïðåäïîëàãàë “óòâåðäèòü
çàêîíîì è
óáåäèòü òåõ,
êîòîðûå 
íàìåðåâàþòñÿ
çàíÿòü â
ãîðîäå âûñîêèå
äîëæíîñòè,  ÷òîáû
îíè óïðàæíÿëèñü
â íàóêå
ñ÷èñëåíèÿ”. 
Ñèñòåìàòè÷åñêîå
øèðîêîå
èñïîëü­çîâàíèå
ìàòåìàòè÷åñêîãî  ìàòåðèàëà
èìååò ìåñòî
ó Ïëàòîíà, 
íà÷èíàÿ ñ
äèàëîãà
Ìåíîí”, 
ãäå Ïëàòîí
ïîäâîäèò ê
îñíîâíîìó
âûâîäó 
ñ 
ïîìîùüþ
ãåîìåòðè÷åñêîãî
äîêàçàòåëüñòâà. 
Èìåííî  âûâîä  ýòîãî
äèàëîãà î
òîì, ÷òî
ïîçíàíèå
åñòü
ïðèïîìèíàíèå,
ñòàë
îñíîâîïîëàãàþùèì
ïðèíöèïîì
ïëà­òîíîâñêîé
ãíîñåîëîãèè.
Çíà÷èòåëüíî
â áîëüøåé
ìåðå, 
÷åì â ãíîñåîëîãèè,
âëèÿíèå
ìàòåìà­òèêè
îáíàðóæèâàåòñÿ  â
îíòîëîãèè Ïëàòîíà. 
Ïðîáëåìà
ñòðîåíèÿ
ìàòåðè­àëüíîé
äåéñòâèòåëüíîñòè
ó Ïëàòîíà
ïîëó÷èëà
òàêóþ
òðàêòîâêó:  ìèð âå­ùåé,
âîñïðèíèìàåìûé
ïîñðåäñòâîì
÷óâñòâ,  íå åñòü
ìèð èñòèííî
ñóùåñò­âóþùåãî;
âåùè
íåïðåðûâíî
âîçíèêàþò è
ïîãèáàþò.
Èñòèííûì
áûòèåì îáëà­äàåò
ìèð èäåé,
êîòîðûå
áåñòåëåñíû,
íå÷óâñòâåííû
è âûñòóïàþò
ïî îòíî­øåíèþ
ê âåùàì êàê
èõ ïðè÷èíû è
îáðàçû, 
ïî êîòîðûì
ýòè âåùè
ñîçäàþò­ñÿ.
Äàëåå, 
ïîìèìî
÷óâñòâåííûõ
ïðåäìåòîâ è
èäåé îí
óñòàíàâëèâàåò
ìà­òåìàòè÷åñêèå
èñòèíû,  êîòîðûå îò 
÷óâñòâåííûõ 
ïðåäìåòîâ 
îòëè÷àþòñÿ
òåì, ÷òî
âå÷íû è
íåïîäâèæíû,  à îò
èäåé - òåì,
÷òî
íåêîòîðûå ìàòåìà­òè÷åñêèå
èñòèíû
ñõîäíà äðóã
ñ äðóãîì,  èäåÿ æå
âñÿêèé ðàç
òîëüêî îä­íà.
Ó 
Ïëàòîíà â
êà÷åñòâå
ìàòåðèè íà÷àëàìè
ÿâëÿþòñÿ
áîëüøîå è
ìàëîå, à â
êà÷åñòâå
ñóùíîñòè -
åäèíîå, 
èáî èäåè
(îíè æå
÷èñëà) 
ïîëó÷àþòñÿ
èç áîëüøîãî  è 
ìàëîãî  ÷åðåç 
ïðèîáùåíèå
èõ ê
åäèíñòâó.  ×óâñòâåííî
âîñïðèíèìàåìûé
ìèð, ñîãëàñíî
Ïëàòîíó,
ñîçäàí
Áîãîì.
Ïðîöåññ
ïîñòðîå­íèÿ
êîñìîñà
îïèñàí â
äèàëîãå
Òèìåé”. 
Îçíàêîìèâøèñü
ñ ýòèì
îïèñàíè­åì,
íóæíî
ïðèçíàòü,  ÷òî
Ñîçäàòåëü áûë
õîðîøî
çíàêîì ñ
ìàòåìàòèêîé
è íà ìíîãèõ
ýòàïàõ
òâîðåíèÿ
ñóùåñòâåííî
èñïîëüçîâàë
ìàòåìàòè÷åñêèå
ïî­ëîæåíèÿ, à
ïîðîé è
âûïîëíÿë
òî÷íûå
âû÷èñëåíèÿ.
Ïîñðåäñòâîì
ìàòåìàòè÷åñêèõ
îòíîøåíèé
Ïëàòîí
ïûòàëñÿ
îõàðàêòåðè­çîâàòü
è íåêîòîðûå
ÿâëåíèÿ îáùåñòâåííîé
æèçíè, 
ïðèìåðîì
÷åãî 
ìîæåò
ñëóæèòü
òðàêòîâêà  ñîöèàëüíîãî
îòíîøåíèÿ
ðàâåíñòâî” â
äèàëîãå “Ãîð­ãèé”
è â “Çàêîíàõ”.
Ìîæíî
çàêëþ÷èòü,
÷òî Ïëàòîí
ñóùåñòâåííî
îïèðàëñÿ íà
ìàòåìàòèêó  ïðè 
ðàçðàáîòêå
îñíîâíûõ ðàçäåëîâ
ñâîåé
ôèëîñîôèè:  â
êîíöåïöèè
ïîçíàíèå -
ïðèïîìèíàíèå”,
ó÷åíèè î
ñóùíîñòè
ìàòåðèàëüíîãî
áûòèÿ, îá
óñòðîéñòâå
êîñìîñà,  â
òðàêòîâêå
ñîöèàëüíûõ
ÿâëåíèé è ò.ä.
Ìàòåìàòèêà
ñûãðàëà
çíà÷èòåëüíóþ
ðîëü â
êîíñòðóêòèâíîì
îôîðìëåíèè
åãî
ôèëîñîôñêîé
ñèñòåìû.  Òàê â ÷åì
æå
çàêëþ÷àëàñü
åãî êîíöåïöèÿ
ìàòåìà­òèêè?
Ñîãëàñíî
Ïëàòîíó, 
ìàòåìàòè÷åñêèå
íàóêè
(àðèôìåòèêà,
ãåîìåòðèÿ,
àñòðîíîìèÿ
è ãàðìîíèÿ)
äàðîâàíû
÷åëîâåêó
áîãàìè,  êîòîðûå
ïðîèçâåëè
÷èñëî, äàëè  èäåþ 
âðåìåíè è
âîçáóäèëè
ïîòðåáíîñòü
èññëåäîâàíèÿ
âñå­ëåííîé”.
Èçíà÷àëüíîå
íàçíà÷åíèå
ìàòåìàòèêè
â òîì, 
÷òîáû
î÷èùàëñÿ è
îæèâëÿëñÿ
òîò îðãàí
äóøè
÷åëîâåêà,  ðàññòðîåííûé
è
îñëåïëåííûé
èíûìè
äåëàìè”, êîòîðûé
âàæíåå, 
÷åì òûñÿ÷à
ãëàç, 
ïîòîìó ÷òî
èì îäíèì ñî­çåðöàåòñÿ
èñòèíà”.
Òîëüêî
íèêòî íå
ïîëüçóåòñÿ
åþ
(ìàòåìàòèêîé)
ïðà­âèëüíî,
êàê íàóêîþ,  âëåêóùåé
íåïðåìåííî ê
ñóùåìó”. “Íåïðàâèëüíîñòü”
ìàòåìàòèêè
Ïëàòîí 
âèäåë 
ïðåæäå
âñåãî â åå
ïðèìåíèìîñòè
äëÿ ðåøåíèÿ
êîíêðåòíûõ
ïðàêòè÷åñêèõ
çàäà÷.
Íåëüçÿ
ñêàçàòü,
÷òîáû îí
âîîáùå îòðè­öàë
ïðàêòè÷åñêóþ
ïðèìåíèìîñòü
ìàòåìàòèêè.
Òàê, ÷àñòü
ãåîìåòðèè
íóæíà äëÿ
ðàñïîëîæåíèÿ
ëàãåðåé”, “ïðè
âñåõ
ïîñòðîåíèÿõ
êàê âî âðåìÿ
ñàìèõ
ñðàæåíèé,
òàê è âî
âðåìÿ ïîõîäîâ”.
Íî, ïî ìíåíèþ
Ïëàòîíà, “äëÿ
òàêèõ âåùåé
...äîñòàòî÷íà
ìàëàÿ ÷àñòü
ãåîìåòðè÷åñêèõ
è
àðèôìåòè÷åñêèõ
âûê­ëàäîê,
÷àñòü æå èõ
áîëüøàÿ,
ïðîñòèðàþùàÿñÿ
äàëåå, äîëæíà
...ñïîñîáñ­òâîâàòü
ëåã÷àéøåìó
óñâîåíèþ
èäåè áëàãà”.  Ïëàòîí
îòðèöàòåëüíî  îòçû­âàëñÿ
î  òåõ
ïîïûòêàõ
èñïîëüçîâàíèÿ
ìåõàíè÷åñêèõ
ìåòîäîâ äëÿ
ðåøåíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
çàäà÷, 
êîòîðûå
èìåëè ìåñòî
â íàóêå òîãî
âðåìåíè. Åãî
íåóäîâëåòâîðåííîñòü
âûçûâàëî
òàêæå
ïðèíÿòîå
ñîâðåìåííèêàìè
ïîíèìàíèå
ïðèðîäû
ìàòåìàòè÷åñêèõ
îáúåêòîâ. 
Ðàññìàòðèâàÿ
èäåè ñâîåé
íàóêè 
êàê
îòðàæåíèå
ðåàëüíûõ
ñâÿçåé
äåéñòâèòåëüíîñòè,   ìàòåìàòèêè
â ñâîèõ èñ­ñëåäîâàíèÿõ
íàðÿäó ñ
àáñòðàêòíûìè
ëîãè÷åñêèìè 
ðàññóæäåíèÿìè  øèðîêî
èñïîëüçîâàëè
÷óâñòâåííûå
îáðàçû, 
ãåîìåòðè÷åñêèå
ïîñòðîåíèÿ.  Ïëàòîí
âñÿ÷åñêè ñòàðàåòñÿ
óáåäèòü,  ÷òî
îáúåêòû
ìàòåìàòèêè
ñóùåñòâóþò  îáî­ñîáëåííî
îò ðåàëüíîãî
ìèðà,
ïîýòîìó ïðè
èõ
èññëåäîâàíèè
íåïðàâîìåðíî
ïðèáåãàòü ê
÷óâñòâåííîé
îöåíêå.
Òàêèì
îáðàçîì, â
èñòîðè÷åñêè
ñëîæèâøåéñÿ
ñèñòåìå
ìàòåìàòè÷åñêèõ
çíàíèé Ïëàòîí
âûäåëÿåò
òîëüêî
óìîçðèòåëüíóþ, 
äåäóêòèâíî
ïîñòðîåííóþ
êîìïîíåíòó
è çàêðåïëÿåò
çà íåé ïðàâî
íàçûâàòüñÿ
ìàòåìàòèêîé.
Èñòîðèÿ
ìàòåìàòèêè
ìèñòèôèöèðóåòñÿ, 
òåîðåòè÷åñêèå
ðàçäåëû ðåçêî
ïðîòèâîïîñ­òàâëÿþòñÿ
âû÷èñëèòåëüíîìó
àïïàðàòó, äî
ïðåäåëà
ñóæàåòñÿ
îáëàñòü ïðè­ëîæåíèÿ.
 òàêîì
èñêàæåííîì
âèäå íåêîòîðûå
ðåàëüíûå
ñòîðîíû  ìàòåìà­òè÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ  è 
ïîñëóæèëè  îäíèì  èç
îñíîâàíèé
äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ñèñòåìû
îáúåêòèâíîãî
èäåàëèçìà
Ïëàòîíà. Âåäü
ñàìà ïî ñåáå
ìàòåìàòèêà
ê
èäåàëèçìó 
âîîáùå  íå âåäåò,  è â
öåëÿõ
ïîñòðîåíèÿ
èäåàëèñòè÷åñêèõ
ñèñòåì åå
ïðèõîäèòñÿ
ñóùåñòâåííî
äåôîðìèðîâàòü.
Âîïðîñ
î 
âëèÿíèè, 
îêàçàííîì 
Ïëàòîíîì
íà ðàçâèòèå
ìàòåìàòèêè,
äîâîëüíî
òðóäåí. 
Äëèòåëüíîå  âðåìÿ 
ãîñïîäñòâîâàëî  óáåæäåíèå,  ÷òî
âêëàä Ïëàòîíà  â 
ìàòåìàòèêó  áûë
çíà÷èòåëåí.  Îäíàêî
áîëåå ãëóáîêèé
àíàëèç
ïðèâåë ê
èçìåíåíèþ
ýòîé îöåíêè.
Òàê,
Î.Íåéãåáàóýð
ïèøåò: “Åãî
ñîáñòâåííûé
ïðÿìîé âêëàä
â
ìàòåìàòè÷åñêèå
çíàíèÿ,  î÷åâèäíî,
áûë ðà­âåí
íóëþ... 
Èñêëþ÷èòåëüíî
ýëåìåíòàðíûé
õàðàêòåð
ïðèìåðîâ  ìàòåìàòè­÷åñêèõ
ðàññóæäåíèé, 
ïðèâîäèìûõ
Ïëàòîíîì è
Àðèñòîòåëåì,
íå ïîäòâåðæ­äàåò
ãèïîòåçû î
òîì, 
÷òî Ýâäîêñ
èëè Òåýòåò 
÷åìó-ëèáî 
íàó÷èëèñü  ó
Ïëàòîíà...
Åãî 
ñîâåò
àñòðîíîìàì
çàìåíèòü
íàáëþäåíèÿ
ñïåêóëÿöèåé ìîã
áû
ðàçðóøèòü
îäèí èç
íàèáîëåå
çíà÷èòåëüíûõ
âêëàäîâ
ãðåêîâ 
â 
òî÷íûå
íàóêè”.
Òàêàÿ 
àðãóìåíòàöèÿ  âïîëíå
óáåäèòåëüíà;  ìîæíî
òàêæå ñîãëà­ñèòüñÿ
è ñ òåì, ÷òî
èäåàëèñòè÷åñêàÿ
ôèëîñîôèÿ
Ïëàòîíà â
öåëîì ñûãðà­ëà
îòðèöàòåëüíóþ
ðîëü â
ðàçâèòèè
ìàòåìàòèêè.
Îäíàêî íå
ñëåäóåò
çàáû­âàòü î
ñëîæíîì
õàðàêòåðå
ýòîãî
âîçäåéñòâèÿ.
Ïëàòîíó
ïðèíàäëåæèò 
ðàçðàáîòêà
íåêîòîðûõ
âàæíûõ
ìåòîäîëîãè÷åñ­êèõ
ïðîáëåì
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ: àêñèîìàòè÷åñêîå
ïîñòðîåíèå
ìà­òåìàòèêè,
èññëåäîâàíèå 
îòíîøåíèé  ìåæäó 
ìàòåìàòè÷åñêèìè
ìåòîäàìè è
äèàëåêòèêîé,
àíàëèç
îñíîâíûõ ôîðì
ìàòåìàòè÷åñêîãî
çíàíèÿ.  Òàê, ïðî­öåññ
äîêàçàòåëüñòâà 
íåîáõîäèìî
ñâÿçûâàåò
íàáîð
äîêàçàííûõ
ïîëîæåíèé â ñèñòåìó,  â
îñíîâå
êîòîðîé
ëåæàò íåêîòîðûå
íåäîêàçóåìûå
ïîëîæåíèÿ.
Òîò ôàêò, ÷òî
íà÷àëà
ìàòåìàòè÷åñêèõ
íàóê “ñóòü
ïðåäïîëîæåíèÿ”,
ìîæåò
âûçâàòü
ñîìíåíèå â èñòèííîñòè
âñåõ 
ïîñëåäóþùèõ 
ïîñòðîåíèé.  Ïëàòîí
ñ÷èòàë òàêîå
ñîìíåíèå
íåîáîñíîâàííûì.  Ñîãëàñíî
åãî
îáúÿñíåíèþ,
õîòÿ ñàìè
ìàòåìàòè÷åñêèå
íàóêè, 
ïîëüçóÿñü
ïðåäïîëîæåíèÿìè,
îñòàâëÿþò
èõ â
íåïîäâèæíîñòè  è 
íå ìîãóò
äàòü äëÿ íèõ
îñíîâàíèÿ”, 
ïðåäïîëîæåíèÿ
íàõîäÿò
îñíîâàíèÿ
ïîñðåäñòâîì
äèàëåêòèêè.
Ïëàòîí
âûñêàçàë è
ðÿä äðó­ãèõ
ïîëîæåíèé, 
îêàçàâøèõñÿ 
ïëîäîòâîðíûìè  äëÿ
ðàçâèòèÿ
ìàòåìàòèêè.
Òàê, â
äèàëîãå “Ïèð”
âûäâèãàåòñÿ 
ïîíÿòèå 
ïðåäåëà;  èäåÿ 
âûñòóïàåò
çäåñü êàê
ïðåäåë
ñòàíîâëåíèÿ
âåùè.
Êðèòèêà,
êîòîðîé
ïîäâåðãàëèñü
ìåòîäîëîãèÿ  è 
ìèðîâîççðåí÷åñêàÿ
ñèñòåìà
Ïëàòîíà  ñî
ñòîðîíû
ìàòåìàòèêîâ,  ïðè
âñåé ñâîåé
âàæíîñòè íå
çàòðàãèâàëà
ñàìè îñíîâû
èäåàëèñòè÷åñêîé
êîíöåïöèè.
Äëÿ çàìåíû
ðàçðà­áîòàííîé
Ïëàòîíîì 
ìåòîäîëîãèè 
ìàòåìàòèêè
áîëåå
ïðîäóêòèâíîé
ñèñòå­ìîé
íóæíî áûëî
ïîäâåðãíóòü
êðèòè÷åñêîìó
ðàçáîðó åãî
ó÷åíèå îá
èäåÿõ,
îñíîâíûå ðàçäåëû
åãî
ôèëîñîôèè è
êàê
ñëåäñòâèå
ýòîãî - åãî
âîççðåíèå
íà
ìàòåìàòèêó.
Ýòà ìèññèÿ
âûïàëà íà
äîëþ
ó÷åíèêà
Ïëàòîíà -
Àðèñòîòå­ëÿ.
Ãëàâà 7
ÑÈÑÒÅÌÀ
ÔÈËÎÑÎÔÈÈ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ
ÀÐÈÑÒÎÒÅËß
Ê.Ìàðêñ
íàçâàë
Àðèñòîòåëÿ
(384-322 ãã. äî í.ý.)
âåëè÷àéøèì
ôè­ëîñîôîì
äðåâíîñòè”. 
Îñíîâíûå
âîïðîñû
ôèëîñîôèè,
ëîãèêè,
ïñèõîëîãèè,
åñòåñòâîçíàíèÿ,
òåõíèêè, 
ïîëèòèêè,
ýòèêè è
ýñòåòèêè,
ïîñòàâëåííûå
â íàóêå
Äðåâíåé
Ãðåöèè, 
ïîëó÷èëè ó
Àðèñòîòåëÿ ïîëíîå  è 
âñåñòîðîííåå
îñâåùåíèå. Â
ìàòåìàòèêå
îí,
ïî-âèäèìîìó,  íå
ïðîâîäèë
êîíêðåòíûõ
èñ­ñëåäîâàíèé,
îäíàêî
âàæíåéøèå
ñòîðîíû ìàòåìàòè÷åñêîãî 
ïîçíàíèÿ  áûëè
ïîäâåðãíóòû
èì
ãëóáîêîìó
ôèëîñîôñêîìó
àíàëèçó, 
ïîñëóæèâøåìó
ìåòîäî­ëîãè÷åñêîé
îñíîâîé
äåÿòåëüíîñòè
ìíîãèõ
ïîêîëåíèé
ìàòåìàòèêîâ.
Êî
âðåìåíè 
Àðèñòîòåëÿ  òåîðåòè÷åñêàÿ 
ìàòåìàòèêà
ïðîøëà çíà÷è­òåëüíûé
ïóòü è
äîñòèãëà
âûñîêîãî
óðîâíÿ ðàçâèòèÿ.
Ïðîäîëæàÿ
òðàäèöèþ
ôèëîñîôñêîãî
àíàëèçà 
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ, 
Àðèñòîòåëü
ïîñòàâèë
âîïðîñ î
íåîáõîäèìîñòè
óïîðÿäî÷èâàíèÿ
ñàìîãî
çíàíèÿ î
ñïîñîáàõ
óñâî­åíèÿ
íàóêè, î
öåëåíàïðàâëåííîé
ðàçðàáîòêå
èñêóññòâà
âåäåíèÿ
ïîçíàâà­òåëüíîé
äåÿòåëüíîñòè, 
âêëþ÷àþùåãî
äâà
îñíîâíûõ
ðàçäåëà:
îáðàçîâàí­íîñòü”
è “íàó÷íîå
çíàíèå äåëà”.
Ñðåäè èçâåñòíûõ
ñî÷èíåíèé
Àðèñòîòåëÿ
íåò ñïåöèàëüíî
ïîñâÿùåííûõ
èçëîæåíèþ
ìåòîäîëîãè÷åñêèõ
ïðîáëåì  ìàòå­ìàòèêè.
Íî ïî
îòäåëüíûì
âûñêàçûâàíèÿì,
ïî
èñïîëüçîâàíèþ
ìàòåìàòè÷åñ­êîãî
ìàòåðèàëà â
êà÷åñòâå
èëëþñòðàöèé
îáùèõ
ìåòîäîëîãè÷åñêèõ
ïîëîæå­íèé
ìîæíî
ñîñòàâèòü
ïðåäñòàâëåíèå
î òîì, êàêîâ
áûë åãî èäåàë
ïîñòðî­åíèÿ
ñèñòåìû
ìàòåìàòè÷åñêèõ
çíàíèé.
Èñõîäíûì
ýòàïîì
ïîçíàâàòåëüíîé
äåÿòåëüíîñòè,
ñîãëàñíî
Àðèñòîòå­ëþ,
ÿâëÿåòñÿ
îáó÷åíèå, 
êîòîðîå
îñíîâàíî íà
(íåêîòîðîì)  óæå  ðàíåå èìåþùåìñÿ
çíàíèè... Êàê
ìàòåìàòè÷åñêèå
íàóêè, òàê è
êàæäîå èç
ïðî÷èõ
èñêóññòâ ïðèîáðåòàåòñÿ
(èìåííî)
òàêèì
ñïîñîáîì”.  Äëÿ
îòäåëåíèÿ
çíà­íèÿ îò 
íåçíàíèÿ
Àðèñòîòåëü
ïðåäëàãàåò
ïðîàíàëèçèðîâàòü
âñå òå ìíå­íèÿ,
êîòîðûå
ïî-ñâîåìó
âûñêàçûâàëè
â ýòîé
îáëàñòè
íåêîòîðûå
ìûñëèòå­ëè” è
îáäóìàòü
âîçíèêøèå
ïðè ýòîì
çàòðóäíåíèÿ.
Àíàëèç
ñëåäóåò
ïðîâî­äèòü ñ
öåëüþ
âûÿñíåíèÿ
÷åòûðåõ
âîïðîñîâ:  “÷òî
(âåùü) 
åñòü, 
ïî÷åìó (îíà)
åñòü, åñòü ëè
(îíà) è ÷òî
(îíà) åñòü”.
Îñíîâíûì
ïðèíöèïîì,
îïðåäåëÿþùèì
âñþ ñòðóêòóðó
íàó÷íîãî
çíàíèÿ äåëà”,
ÿâëÿåòñÿ 
ïðèíöèï 
ñâåäåíèÿ
âñåãî ê íà÷àëàì
è
âîñïðîèçâåäåíèÿ
âñåãî èç
íà÷àë. 
Óíèâåðñàëüíûì
ïðîöåññîì
ïðîèçâîäñòâà
çíàíèé èç  íà­÷àë,
ñîãëàñíî
Àðèñòîòåëþ,
âûñòóïàåò
äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâîì
æå ÿ íàçûâàþ
ñèëëîãèçì,  - ïèøåò
îí, - êîòîðûé
äàåò çíàíèÿ”.
Èçëîæå­íèþ
òåîðèè 
äîêàçàòåëüíîãî
çíàíèÿ
ïîëíîñòüþ
ïîñâÿùåí
Îðãàíîí”
Àðèñ­òîòåëÿ.
Îñíîâíûå
ïîëîæåíèÿ
ýòîé òåîðèè
ìîæíî
ñãðóïïèðîâàòü
â 
ðàçäå­ëû,
êàæäûé 
èç êîòîðûõ
ðàñêðûâàåò
îäíó èç òðåõ
îñíîâíûõ
ñòîðîí ìàòå­ìàòèêè
êàê
äîêàçûâàþùåé
íàóêè: 
òî,
îòíîñèòåëüíî
÷åãî
äîêàçûâàåòñÿ,
òî, ÷òî 
äîêàçûâàåòñÿ
è òî, 
íà îñíîâàíèè
÷åãî
äîêàçûâàåòñÿ”.  Òàêèì
îáðàçîì,
Àðèñòîòåëü
äèôôåðåíöèðîâàííî
ïîäõîäèë ê
îáúåêòó,
ïðåäìåòó è
ñðåäñòâàì äîêàçàòåëüñòâà.
Ñóùåñòâîâàíèå
ìàòåìàòè÷åñêèõ
îáúåêòîâ
ïðèçíàâàëîñü 
çàäîëãî  äî Àðèñòîòåëÿ,
îäíàêî
ïèôàãîðåéöû,  íàïðèìåð,
ïðåäïîëàãàëè,
÷òî îíè íà­õîäÿòñÿ
â
÷óâñòâåííûõ
âåùàõ, 
ïëàòîíèêè
æå, íàîáîðîò,
ñ÷èòàëè èõ
ñó­ùåñòâóþùèìè
îòäåëüíî.
Ñîãëàñíî
Àðèñòîòåëþ:
1. Â
÷óâñòâåííûõ
âåùàõ
ìàòåìàòè÷åñêèå 
îáúåêòû  íå  ñóùåñòâóþò,
òàê êàê
íàõîäèòüñÿ
â òîì æå
ñàìîì ìåñòå
äâà òåëà íå â
ñîñòîÿíèè”;
2.
Íåâîçìîæíî
è òî, 
÷òîáû
òàêèå ðåàëüíîñòè
ñóùåñòâîâàëè 
îáîñîáëåííî”.
Àðèñòîòåëü
ñ÷èòàë
ïðåäìåòîì
ìàòåìàòèêè
êîëè÷åñòâåííóþ  îïðåäå­ëåííîñòü
è 
íåïðåðûâíîñòü”.  Â åãî
òðàêòîâêå
êîëè÷åñòâîì
íàçûâàåòñÿ òî,
÷òî ìîæåò
áûòü
ðàçäåëåíî íà
ñîñòàâíûå 
÷àñòè,  êàæäàÿ  èç  êîòî­ðûõ
...ÿâëÿåòñÿ
÷åì-òî îäíèì,
äàííûì
íàëèöî. Òî
èëè äðóãîå
êîëè÷åñò­âî
åñòü
ìíîæåñòâî,  åñëè
åãî ìîæíî ñ÷åñòü,  ýòî
âåëè÷èíà,  åñëè  åãî
ìîæíî
èçìåðèòü”. 
Ìíîæåñòâîì
ïðè ýòîì
íàçûâàåòñÿ
òî, 
÷òî â âîçìîæ­íîñòè
(ïîòåíöèàëüíî)
äåëèòñÿ íà
÷àñòè íå 
íåïðåðûâíûå, 
âåëè÷èíîþ  ­òî,
÷òî 
äåëèòñÿ íà
÷àñòè
íåïðåðûâíûå”.  Ïðåæäå
÷åì äàòü
îïðåäåëåíèå
íåïðåðûâíîñòè,
Àðèñòîòåëü
ðàññìàòðèâàåò 
ïîíÿòèå 
áåñêîíå÷íîãî,  òàê
êàê “îíî
îòíîñèòñÿ ê
êàòåãîðèè
êîëè÷åñòâà”
è
ïðîÿâëÿåòñÿ
ïðåæäå âñå­ãî
â
íåïðåðûâíîì.  “×òî
áåñêîíå÷íîå
ñóùåñòâóåò, 
óâåðåííîñòü
â  ýòîì
âîçíèêàåò
ó  èññëåäîâàòåëåé  èç
ïÿòè
îñíîâàíèé:  èç
âðåìåíè (èáî
îíî
áåñêîíå÷íî);
èç ðàçäåëåíèÿ
âåëè÷èí..;
äàëåå, òîëüêî
òàêèì îáðàçîì
íå èññÿêíóò
âîçíèêíîâåíèå
è óíè÷òîæåíèå,
åñëè áóäåò
áåñêîíå÷íîå,
îòêóäà
áåðåòñÿ
âîçíèêàþùåå. 
Äàëåå,
èç òîãî, ÷òî
êîíå÷íîå
âñåãäà
ãðàíè÷èò ñ
÷åì-íèáóäü,
òàê 
êàê
íåîáõîäèìî,  ÷òîáû
îäíî âñåãäà
ãðàíè÷èëî ñ
äðó­ãèì. Íî
áîëüøå
âñåãî -...íà
òîì
îñíîâàíèè,  ÷òî
ìûøëåíèå íå
îñòàíàâ­ëèâàåòñÿ:
è 
÷èñëî
êàæåòñÿ
áåñêîíå÷íûì,  è
ìàòåìàòè÷åñêèå
âåëè÷èíû”.
Ñóùåñòâóåò
ëè
áåñêîíå÷íîå
êàê
îòäåëüíàÿ
ñóùíîñòü  èëè  îíî 
ÿâëÿåòñÿ
àêöèäåíöèåé
âåëè÷èíû
èëè
ìíîæåñòâà? 
Àðèñòîòåëü ïðèíèìàåò
âòîðîé âà­ðèàíò,
òàê êàê “åñëè
áåñêîíå÷íîå
íå åñòü íè
âåëè÷èíà,  íè
ìíîæåñòâî, à
ñàìî ÿâëÿåòñÿ
ñóùíîñòüþ...,
òî îíî áóäåò
íåäåëèìî, òàê
êàê äåëèìîå
áóäåò èëè
âåëè÷èíîé,  èëè
ìíîæåñòâîì.  Åñëè æå
îíî íå
äåëèìî, îíî
íå
áåñêîíå÷íî
â ñìûñëå íåïðîõîäèìîãî
äî êîíöà”.
Íåâîçìîæíîñòü
ìàòåìàòè­÷åñêîãî
áåñêîíå÷íîãî
êàê
íåäåëèìîãî
ñëåäóåò èç
òîãî, 
÷òî 
ìàòåìàòè­÷åñêèé
îáúåêò - îòâëå÷åíèå
îò
ôèçè÷åñêîãî
òåëà, à
àêòóàëüíî
íåäåëè­ìîå
áåñêîíå÷íîå
òåëî íå
ñóùåñòâóåò”.
×èñëî “êàê
÷òî-òî
îòäåëüíîå è â
òî æå 
âðåìÿ
áåñêîíå÷íîå”
íå
ñóùåñòâóåò,  âåäü
...åñëè
âîçìîæíî ïå­ðåñ÷èòàòü
ñ÷èñëèìîå,  òî
áóäåò âîçìîæíîñòü
ïðîéòè äî
êîíöà è 
áåñêî­íå÷íîå”.
Òàêèì 
îáðàçîì,  áåñêîíå÷íîñòü
çäåñü â
ïîòåíöèè
ñóùåñòâóåò, àêòóàëüíî
æå - íåò.
Îïèðàÿñü
íà
èçëîæåííîå
âûøå
ïîíèìàíèå áåñêîíå÷íîãî, 
Àðèñòîòåëü
îïðåäåëÿåò
íåïðåðûâíîñòü
è
ïðåðûâíîñòü.  Òàê, “íåïðåðûâíîå
åñòü ñàìî ïî
ñåáå íå÷òî
ñìåæíîå.
Ñìåæíîå åñòü
òî, ÷òî,
ñëåäóÿ çà
äðóãèì, êàñà­åòñÿ
åãî”. ×èñëî
êàê òèïè÷íî
ïðåðûâíîå
(äèñêðåòíîå)
îáðàçîâàíèå
ôîð­ìèðóåòñÿ
ñîåäèíåíèåì
äèñêðåòíûõ,
äàëåå íåäåëèìûõ
ýëåìåíòîâ -
åäèíèö.
Ãåîìåòðè÷åñêèì
àíàëîãîì
åäèíèöû
ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà; 
ïðè ýòîì
ñîåäèíåíèå
òî÷åê íå
ìîæåò
îáðàçîâàòü
ëèíèþ, òàê
êàê “òî÷êàì,
èç êîòîðûõ
áûëî áû
ñîñòàâëåíî
íåïðåðûâíîå, 
íåîáõîäèìî
èëè áûòü
íåïðåðûâíûìè,  èëè  êà­ñàòüñÿ
äðóã äðóãà”.  Íî
íåïðåðûâíûìè
îíè íå
áóäóò: 
âåäü êðàÿ
òî÷åê íå îáðàçóþò
÷åãî-íèáóäü
åäèíîãî,  òàê êàê ó
íåäåëèìîãî
íåò íè 
êðàÿ, íè
äðóãîé 
÷àñòè”.  Òî÷êè íå ìîãóò
è êàñàòüñÿ
äðóã äðóãà,  ïîñêîëüêó
êàñàþòñÿ
âñå ïðåäìåòû
èëè êàê öåëîå
öåëîãî, èëè
ñâîèìè
÷àñòÿìè, èëè
êàê öåëîå ÷àñòè.
Íî òàê êàê
íåäåëèìîå
íå èìååò
÷àñòåé, èì
íåîáõîäèìî
êàñàòüñÿ
öåëèêîì, íî
êàñàþùååñÿ
öåëèêîì íå
îáðàçóåò
íåïðåðûâíîãî”.
Íåâîçìîæíîñòü
ñîñòàâëåíèÿ
íåïðåðûâíîãî
èç
íåäåëèìûõ è 
íåáõîäèìîñòü
åãî äåëåíèÿ
íà âñåãäà
äåëèìûå
÷àñòè,
óñòàíîâëåííûå
äëÿ âåëè÷è­íû,
Àðèñòîòåëü
ðàñïðîñòðàíÿåò
íà  äâèæåíèå, 
ïðîñòðàíñòâî  è 
âðåìÿ,
îáîñíîâûâàÿ
(íàïðèìåð,  â
Ôèçèêå”)
ïðàâîìåðíîñòü
ýòîãî øàãà.
Ñ äðó­ãîé
ñòîðîíû,  îí
ïðèõîäèò ê
âûâîäó, 
÷òî
ïðèçíàíèå
íåäåëèìûõ
âåëè÷èí ïðîòèâîðå÷èò
îñíîâíûì 
ñâîéñòâàì
äâèæåíèÿ. 
Âûäåëåíèå
íåïðåðûâíîãî
è ïðåðûâíîãî
êàê ðàçíûõ
ðîäîâ áûòèÿ
ïîñëóæèëî
îñíîâîé äëÿ
ðàçìåæåâàíèÿ
â ëîãèêî-ãíîñåîëîãè÷åñêîé
îáëàñòè, äëÿ
ðåçêîãî îòìåæåâàíèÿ
àðèôìåòè­êè
îò
ãåîìåòðèè.
Íà÷àëàìè...
â 
êàæäîì ðîäå
ÿ íàçûâàþ òî, 
îòíîñèòåëüíî
÷åãî íå
ìîæåò áûòü äîêàçàíî,
÷òî îíî åñòü.
Ñëåäîâàòåëüíî,
òî, ÷òî
îáîçíà÷àåò
ïåðâè÷íîå è
èç íåãî âûòåêàþùåå,
ïðèíèìàåòñÿ.
Ñóùåñòâîâàíèå
íà÷àë íå­îáõîäèìî
ïðèíÿòü,  äðóãîå -
ñëåäóåò äîêàçàòü. 
Íàïðèìåð,  ÷òî  òàêîå
åäèíèöà èëè
÷òî òàêîå
ïðÿìîå èëè ÷òî
òàêîå
òðåóãîëüíèê
(ñëåäóåò ïðè­íÿòü);
÷òî åäèíèöà
è âåëè÷èíà  ñóùåñòâóåò,  òàêæå 
ñëåäóåò 
ïðèíÿòü,
äðóãîå -
äîêàçàòü”. Â
âîïðîñå î
ïîÿâëåíèè ó
ëþäåé
ñïîñîáíîñòè
ïîçíà­íèÿ
íà÷àë
Àðèñòîòåëü
íå
ñîãëàøàåòñÿ
ñ òî÷êîé
çðåíèÿ
Ïëàòîíà î  âðîæ­äåííîñòè
òàêèõ
ñïîñîáíîñòåé,  íî è íå
äîïóñêàåò
âîçìîæíîñòè
ïðèîáðå­òåíèÿ
èõ; 
çäåñü îí
ïðåäëàãàåò
ñëåäóþùåå
ðåøåíèå: 
íåîáõîäèìî
îáëà­äàòü
íåêîòîðîé
âîçìîæíîñòüþ,  îäíàêî
íå òàêîé,  êîòîðàÿ
ïðåâîñõîäèëà
áû ýòè
ñïîñîáíîñòè
â îòíîøåíèè
òî÷íîñòè”.
Íî òàêàÿ
âîçìîæíîñòü,
î÷å­âèäíî,
ïðèñóùà
âñåì æèâûì
ñóùåñòâàì; â
ñàìîì äåëå,
îíè
îáëàäàþò ïðè­ðîæäåííîé
ñïîñîáíîñòüþ
ðàçáèðàòüñÿ, 
êîòîðàÿ
íàçûâàåòñÿ 
÷óâñòâåííûì
âîñïðèÿòèåì.
Ôîðìèðîâàíèå
íà÷àë èäåò
îò
ïðåäøåñòâóþùåãî
è áîëåå èç­âåñòíîãî
äëÿ íàñ”, òî
åñòü îò òîãî,
÷òî áëèæå ê
÷óâñòâåííîìó
âîñïðè­ÿòèþ
ê 
ïðåäøåñòâóþùåìó
è áîëåå èçâåñòíîìó
áåçóñëîâíî”
(òàêèì ÿâëÿ­åòñÿ
îáùåå).
Àðèñòîòåëü
äàåò
ðàçâåðíóòóþ
êëàññèôèêàöèþ
íà÷àë,
èñõîäÿ èç
ðàçíûõ
ïðèçíàêîâ.
Âî-ïåðâûõ,
îí âûäåëÿåò
íà÷àëà, èç
êîòîðûõ (÷òî-ëèáî)
äîêàçûâà­åòñÿ,
è òàêèå,  î êîòîðûõ
(äîêàçûâàåòñÿ)”.  Ïåðâûå
ñóòü îáùèå
(âñåì
íà÷àëà)”, âòîðûå
-
ñâîéñòâåííûå
(ëèøü äàííîé
íàóêå), íàïðèìåð,
÷èñ­ëî,
âåëè÷èíà”.  Â
ñèñòåìå
íà÷àë îáùèå
çàíèìàþò
âåäóùåå
ìåñòî, 
íî èõ íåäîñòàòî÷íî,
òàê êàê
ñðåäè îáùèõ
íà÷àë íå
ìîæåò áûòü
òàêèõ, èç êî­òîðûõ
ìîæíî áûëî
áû äîêàçàòü
âñå”. Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ,
÷òî ñðåäè
íà÷àë
äîëæíû áûòü
îäíè
ñâîéñòâåííû
êàæäîé
íàóêå â
îòäåëüíîñòè,
äðóãèå - îáùèå
âñåì”.
Âî-âòîðûõ,
íà÷àëà
äåëÿòñÿ íà äâå
ãðóïïû â
çàâèñèìîñòè
îò òîãî, ÷òî
îíè ðàñêðûâàþò:
ñóùåñòâîâàíèå
îáúåêòà èëè
íàëè÷èå ó íå­ãî
íåêîòîðûõ
ñâîéñòâ. 
Â-òðåòüèõ, 
êîìïëåêñ
íà÷àë
äîêàçûâàþùåé
íàóêè
äåëèòñÿ íà
àêñèîìû,
ïðåäïîëîæåíèÿ,
ïîñòóëàòû,
èñõîäíûå
îïðåäåëåíèÿ.
Âûáîð
íà÷àë 
ó
Àðèñòîòåëÿ
âûñòóïàåò
îïðåäåëÿþùèì
ìîìåíòîì
ïîñòðîåíèÿ
äîêàçûâàþùåé
íàóêè; 
èìåííî
íà÷àëà 
õàðàêòåðèçóþò  íàóêó  êàê
äàííóþ,
âûäåëÿþò  åå  èç ðÿäà
äðóãèõ
íàóê. 
Òî, 
÷òî äîêàçûâàåòñÿ”,
ìîæíî
òðàêòîâàòü
î÷åíü
øèðîêî. Ñ
îäíîé ñòîðîíû,
ýòî
ýëåìåíòàðíûé
äî­êàçûâàþùèé
ñèëëîãèçì è
åãî
çàêëþ÷åíèÿ.  Èç
ýòèõ
ýëåìåíòàðíûõ
ïðîöåñ­ñîâ
ñòðîèòñÿ
çäàíèå
äîêàçûâàþùåé
íàóêè â âèäå
îòäåëüíî 
âçÿòîé  òåî­ðèè. Èç
íèõ æå
ñîçäàåòñÿ è
íàóêà êàê
ñèñòåìà
òåîðèé. 
Îäíàêî íå
âñÿ­êèé
íàáîð
äîêàçàòåëüñòâ
îáðàçóåò
òåîðèþ. 
Äëÿ ýòîãî
îí äîëæåí  óäîâ­ëåòâîðÿòü
îïðåäåëåííûì
òðåáîâàíèÿì, 
îõâàòûâàþùèì
êàê
ñîäåðæàíèå
äî­êàçûâàåìûõ
ïðåäëîæåíèé,  òàê è
ñâÿçè ìåæäó
íèìè. Â
ïðåäåëàõ æå
íàó÷­íîé
òåîðèè 
íåîáõîäèìî  èìååò
ìåñòî ðÿä
âñïîìîãàòåëüíûõ
îïðåäåëåíèé, êîòîðûå
íå ÿâëÿþòñÿ
ïåðâè÷íûìè,
íî ñëóæàò
äëÿ ðàñêðûòèÿ
ïðåäìåòà òå­îðèè.
Õîòÿ
âîïðîñû
ìåòîäîëîãèè
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïîçíàíèÿ è
íå áûëè èç­ëîæåíû
Àðèñòîòåëåì  â
êàêîé-òî
îòäåëüíîé
ðàáîòå, 
íî ïî
ñîäåðæàíèþ â
ñîâîêóïíîñòè
îíè
îáðàçóþò
ïîëíóþ
ñèñòåìó. Â
îñíîâå
ôèëîñîôèè
ìàòåìà­òèêè
Àðèñòîòåëÿ  ëåæèò
ïîíèìàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ
çíàíèé êàê
îòðàæåíèÿ îáúåêòèâíîãî
ìèðà. 
Ýòà
óñòàíîâêà ñûãðàëà
âàæíóþ ðîëü â
áîðüáå Àðèñ­òîòåëÿ
ñ 
ïëàòîíîâûì
èäåàëèçìîì;  âåäü
åñëè â
ÿâëåíèÿõ
÷óâñòâåííîãî
ìèðà íå
íàõîäèòñÿ
âîâñå
ìàòåìàòè÷åñêîå,  òî
êàêèì
îáðàçîì  âîçìîæíî, ÷òî
ê íèì
ïðèëàãàþòñÿ
åãî
ñâîéñòâà?” -
ïèñàë îí.
Ðàçóìååòñÿ,
ìàòåðè­àëèçì
Àðèñòîòåëÿ
áûë
íåïîñëåäîâàòåëüíûì,  â
öåëîì 
åãî 
âîççðåíèÿ  â
áîëüøåé
ñòåïåíè  ñîîòâåòñòâîâàëè
ïîòðåáíîñòÿì
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïîçíà­íèÿ,
ñåì âçãëÿäû
Ïëàòîíà. Â
ñâîþ î÷åðåäü
ìàòåìàòèêà
áûëà äëÿ
Àðèñòî­òåëÿ
îäíèì 
èç
èñòî÷íèêîâ
ôîðìèðîâàíèÿ
ðÿäà
ðàçäåëîâ åãî
ôèëîñîôñêîé
ñèñòåìû.
×ÀÑÒÜ
ÂÒÎÐÀß.
ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÀß
ÃÀÐÌÎÍÈß
ÏÎÄÎÁÈß
Ãëàâà 1
ÁÅÑÑÈËÈÅ
ÏÐßÌÎÉ
Â
êà÷åñòâå
ââåäåíèÿ êî
âòîðîé
÷àñòè ìíå áû
õîòåëîñü
ïðèâåñòè
ñëîâà
Ôðèäåíñðàéõà
Õóíäåðòâàññåðà,
îäíîãî èç
òåõ
çàìå÷àòåëüíûõ
ëþäåé
ñèëàìè êîòîðûõ
ñîâðåìåííàÿ
íàóêà
ñòàíîâèòñÿ
âñå áëèæå ê
èñêóññòâó,
à èñêóññòâî
ïîëó÷àåò
âîçìîæíîñòü
èñïîëüçîâàòü
âåñü àðñåíàë
ñðåäñòâ,
ïðåäîñòàâëÿåìûõ
ñåãîäíÿøíåé
íàóêîé äëÿ
âûðàæåíèÿ
èäåé è
õóäîæåñòâåííûõ
çàìûñëîâ:
Â
1953 ãîäó ÿ ïîíÿë,
÷òî ïðÿìàÿ
ëèíèÿ 
âåäåò 
÷åëîâå÷åñòâî  ê
óïàäêó. Òèðàíèÿ
ïðÿìîé ñòàëà
àáñîëþòíîé.
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ
-  ýòî
íå÷òî
òðóñëèâîå,
ïðî÷åð÷åííîå
ïî ëèíåéêå,
áåç ýìîöèé
è 
ðàçìûøëåíèé;
ýòî ëèíèÿ, íå
ñóùåñòâóþùàÿ
â ïðèðîäå. È
íà 
ýòîì 
íàñêâîçü  ïðîãíèâøåì
ôóíäàìåíòå
ïîñòðîåíà
íàøà îáðå÷åííàÿ
öèâèëèçàöèÿ.
Åñëè äàæå è
âîç­íèêàåò
ãäå-òî ìûñëü,
÷òî ïðÿìàÿ
ëèíèÿ íàïðÿìèê
âåäåò ê 
ãèáåëè, åå
êóðñó âñå ðàâíî
ïðîäîëæàþò
ñëåäîâàòü
äàëüøå...
Ëþáîé äèçàéí,
îñíî­âàííûé
íà ïðÿìîé
ëèíèè, áóäåò
ìåðòâîðîæäåííûì.
Ñåãîäíÿ ìû
ÿâëÿåìñÿ
ñâèäåòåëÿìè
òðèóìôà
ðàöèîíàëèñòè÷åñêèõ
çíàíèé è îäíîâðåìåííî
îáíà­ðóæèâàåì,
÷òî
îêàçàëèñü â
ïóñòîòå.  Ýñòåòè÷åñêèé 
âàêóóì,  ïóñòûíÿ
îäíîîáðàçèÿ,
ïðåñòóïíîå
áåñïëîäèå,
óòðàòà
ñîçèäàòåëüíûõ
âîçìîæíîñ­òåé.
Ñòàíäàðòèçèðóåòñÿ
äàæå
òâîð÷åñòâî.
Ìû ñòàëè 
áåññèëüíûìè.  Ìû
áîëüøå íå ñïîñîáíû
òâîðèòü. Â
ýòîì íàøå
íåâåæåñòâî.
Ôðàêòàëû
âîêðóã íàñ
ïîâñþäó, è â
î÷åðòàíèÿõ
ãîð, è â
èçâèëèñ­òîé
ëèíèè
ìîðñêîãî
áåðåãà.
Íåêîòîðûå
èç ôðàêòàëîâ
íåïðåðûâíî
ìåíÿ­þòñÿ,
ïîäîáíî
äâèæóùèìñÿ
îáëàêàì èëè
ìåðöàþùåìó
ïëàìåíè, â òî
âðå­ìÿ êàê
äðóãèå,
ïîäîáíî
äåðåâüÿì  èëè 
íàøèì 
ñîñóäèñòûì  ñèñòåìàì,
ñîõðàíÿþò
ñòðóêòóðó,
ïðèîáðåòåííóþ
â ïðîöåññå 
ýâîëþöèè.
×åëîâåêó, íå
ñâÿçàííîìó
ñ íàóêîé,
ìîæåò
ïîêàçàòüñÿ
ñòðàííûì  òî,  ÷òî 
òàêèå
ïðèâû÷íûå
âñåì âåùè ñ
íåäàâíèõ ïîð
îêàçàëèñü â  ôîêóñå
èíòåíñèâíûõ
íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé.
Íî
ïðèâû÷íîñòü
êàêîãî-ëèáî
ÿâëåíèÿ
ñîâñåì íå
îçíà÷àåò,
÷òî ó÷åíûå
ìîãóò
ïðàâèëüíî
åãî
îáúÿñíèòü.  Ðåáåíêó  òîæå
ïðèâû÷íû è
åãî ãîëóáàÿ
êîëûáåëü, è
ãîëóáîå
íåáî
çàäîëãî  äî 
òîãî, êàê îí
îñîçíàåò,
÷òî ãîëóáîé öâåò
åñòü îáùåå
êà÷åñòâî 
ñîâñåì ðàç­íûõ
âåùåé. Â åãî
ïîçíàâàòåëüíîì
ðàçâèòèè
íàñòóïèò
ìîìåíò,
êîãäà îí óæå
ñìîæåò âîñïðèíÿòü
ïîíÿòèå
öâåòà; îí
ñëûøèò, ÷òî  íåáî
ÿâëÿåòñÿ
ãîëóáûì è
âäðóã “îòêðûâàåò”,
÷òî è
íåêîòîðûå
äðóãèå âåùè  òîæå ÿâ­ëÿþòñÿ
ãîëóáûìè.
Ðàçâèòèå
íàøåãî
íàó÷íîãî
ïîíèìàíèÿ
ìèðà
ïðîèñõîäèò  ïî  òàêîé æå
ñõåìå. Äà,
ìíîãèå
ôðàêòàëû
íàì çíàêîìû,
íî äî ñàìîãî
ïîñëåäíåãî
âðåìåíè â
íàøåì íàó÷íîì
ïðåäñòàâëåíèè
î ìèðå èì íå
íàõîäèëîñü
ìåñ­òà. Ýòî
ïðåäñòàâëåíèå
âîñõîäèò
åùå ê 
Ãàëèëåî 
Ãàëèëåþ,  ÷üå ìàñò­åðñòâî
âëàäåíèÿ
àáñòðàêöèåé,
âñòóïàþùåé
â
ïðîòèâîðå÷èå  ñ
èíòóèöè­åé,
äàåò ïðèìåð 
ñîâðåìåííîãî 
íàó÷íîãî 
ðàññóæäåíèÿ.  Åãî  êðåäî,
ñôîðìóëèðîâàííîå
èì ñàìèì â 1623
ãîäó, ãëàñèò:
Âñÿ
íàóêà
çàïèñàíà à
ýòîé
âåëèêîé
êíèãå - ÿ èìåþ
â  âèäó
Âñå­ëåííóþ, -
êîòîðàÿ
âñåãäà
îòêðûòà äëÿ
íàñ, 
íî 
êîòîðóþ  íåëüçÿ
ïî­íÿòü, íå
íàó÷èâøèñü
ïîíèìàòü
ÿçûê, íà êîòîðîì
îíà
íàïèñàíà.  À íà­ïèñàíà
îíà íà ÿçûêå
ìàòåìàòèêè,
è åå áóêâàìè 
ÿâëÿþòñÿ
òðåóãîëüíè­êè,
îêðóæíîñòè
è äðóãèå
ãåîìåòðè÷åñêèå
ôèãóðû, áåç
êîòîðûõ
÷åëîâå­êó
íåâîçìîæíî
ðàçîáðàòü
íè îäíîãî åå
ñëîâà; 
áåç 
íèõ 
îí  ïîäîáåí
áëóæäàþùåìó
âî òüìå.
Ïîíàäîáèëîñü
ïî÷òè 350 ëåò,  ÷òîáû  âûéòè  çà
ðàìêè
ãàëèëååâñêîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ
- äî òåõ 
ïîð, 
ïîêà 
Áåíóà Ìàí­äåëüáðîò
íå
ðàçðàáîòàë
ïîíÿòèå
ôðàêòàëà.
Áðîñàÿ
âçãëÿä 
â ïðîøëîå, îí
ðàçìûøëÿë â 1984
ãîäó:
Ïî÷åìó
ãåîìåòðèþ
÷àñòî
íàçûâàþò
õîëîäíîé  è 
ñóõîé?  Îäíà 
èç ïðè÷èí
çàêëþ÷àåòñÿ
â åå íåñïîñîáíîñòè
îïèñàòü
ôîðìó 
îáëàêà, ãîðû,
äåðåâà èëè
áåðåãà ìîðÿ.
Îáëàêà - ýòî
íå ñôåðû, ãîðû
- ýòî íå êîíó­ñû,
ëèíèè
áåðåãà - ýòî
íå
îêðóæíîñòè,
è êîðà íå  ÿâëÿåòñÿ
ãëàäêîé, è
ìîëíèÿ íå
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
ïî 
ïðÿìîé...  Ïðèðîäà 
äåìîíñòðèðóåò
íàì íå
ïðîñòî áîëåå
âûñîêóþ
ñòåïåíü, à
ñîâñåì
äðóãîé óðîâåíü
ñëîæ­íîñòè.
×èñëî
ðàçëè÷íûõ
ìàñøòàáîâ
äëèí â 
ñòðóêòóðàõ
 âñåãäà
áåñêî­íå÷íî.
Ìàòåìàòè÷åñêîå
ïîíÿòèå
ôðàêòàëà
âûäåëÿåò 
îáúåêòû,
îáëàäàþùèå
ñòðóêòóðàìè
ðàçëè÷íûõ
ìàñøòàáîâ,
êàê áîëüøèõ,
òàê è ìàëûõ,  è, òà­êèì
îáðàçîì,
îòðàæàåò
èåðàðõè÷åñêèé
ïðèíöèï
îðãàíèçàöèè.  Â
îñíîâå
ýòîãî ïîíÿòèÿ
ñîäåðæèòñÿ
îäíà âàæíàÿ
èäåàëèçàöèÿ
äåéñòâèòåëüíîñòè:
ôðàêòàëüíûå
îáúåêòû
ñàìîïîäîáíû,
ò. å. èõ âèä íå  ïðåòåðïåâàåò
ñó­ùåñòâåííûõ
èçìåíåíèé
ïðè
ðàçãëÿäûâàíèè
èõ ÷åðåç
ìèêðîñêîï  ñ
ëþáûì óâåëè÷åíèåì.  Õîòÿ  ýòà  èäåàëèçàöèÿ  è 
ìîæåò 
îêàçàòüñÿ 
ñëèøêîì
áîëüøèì
óïðîùåíèåì
äåéñòâèòåëüíîñòè,
îíà 
íà 
ïîðÿäîê  óâåëè÷èâàåò
ãëóáèíó
íàøåãî
ìàòåìàòè÷åñêîãî
îïèñàíèÿ
ïðèðîäû.
Èññëåäîâàíèÿ
Ìàí­äåëüáðîòà
ïîëó÷èëè
øèðîêóþ
èçâåñòíîñòü
ïîñëå
îòêðûòèÿ  èì  â  1980 ãîäó
ìíîæåñòâà,
íîñÿùåãî
òåïåðü åãî
èìÿ. Îí
îáíàðóæèë 
ïðèíöèï,  ñ
ïîìîùüþ
êîòîðîãî
íåñêîëüêî
íåîæèäàííûì
ïóòåì îáðàçóåòñÿ  öåëûé
ìèð
ñàìîïîäîáíûõ
ñòðóêòóð.
Ýòà
ïðè÷óäëèâàÿ
ôîðìà (ñì. ðèñ.1)
ìîæåò 
îêàçàòüñÿ  îäíèì  èç
êëþ÷åâûõ
ýëåìåíòîâ
íåêîòîðîé
íîâîé
íàòóðàëüíîé” 
ìàòåìàòèêè,  òàê æå,
êàê ïðÿìàÿ
ëèíèÿ
ÿâëÿåòñÿ
îäíèì èç
îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ
åâêëèäî­âîé
ãåîìåòðèè.
Âîçìîæíî,
íàèáîëåå
óáåäèòåëüíûé
àðãóìåíò  â 
ïîëüçó  èçó÷åíèÿ ôðàêòàëîâ
- ýòî èõ
áðîñàþùàÿñÿ
â ãëàçà êðàñîòà.
Ãëàâà 2
ÌÛØËÅÍÈÅ
 ÎÁÐÀÇÀÕ
Ðàññìàòðèâàåìûå
çäåñü
ïðîöåññû
âîçíèêàþò â
ðàçëè÷íûõ
ôèçè÷åñ­êèõ
è
ìàòåìàòè÷åñêèõ
çàäà÷àõ. Âñå
îíè èìåþò
îäíî îáøåå -  ýòî
êîí­êóðåíöèþ
íåñêîëüêèõ
öåíòðîâ çà
äîìèíèðîâàíèå
íà
ïëîñêîñòè.
Ïðîñòûå
ãðàíèöû ìåæäó
òåððèòîðèÿìè
â ðåçóëüòàòå
òàêîãî 
ñîïåðíè÷åñòâà
âîç­íèêàþò
ðåäêî. ×àøå
èìååò ìåñòî
íåñêîí÷àåìîå
ôèëèãðàííîå
ïåðåïëåòå­íèå
è
íåïðåêðàùàþùàÿñÿ
áîðüáà äàæå
çà ñàìûå
ìàëûå
ó÷àñòêè.
Èìåííî
â ýòîé
ïîãðàíè÷íîé
îáëàñòè
ïðîèñõîäèò
ïåðåõîä îò
îäíîé ôîðìû
ñóùåñòâîâàíèÿ
ê äðóãîé: îò
ïîðÿäêà ê
áåñïîðÿäêó,
îò íàìàãíè­÷åííîãî
ñîñòîÿíèÿ ê
íåíàìàãíè÷åííîìó
â
çàâèñèìîñòè  îò
èíòåðïðåòà­öèè
òåõ
ñóùíîñòåé,
êîòîðûå
ïðèìûêàþò ê
ãðàíèöå.
Ïîãðàíè÷íûå
îáëàñ­òè â
áîëüøåé èëè
ìåíüøåé
ìåðå
çàìûñëîâàòî
çàâèñÿò îò 
óñëîâèé,
õàðàêòåðèçóþùèõ
èçó÷àåìûé
ïðîöåññ.
Ïîðîé
âîçíèêàåò
òðåòèé
êîíêóðåíò,
êîòîðûé
ïîëüçóåòñÿ ðàçíîãëàñèÿìè
äâóõ äðóãèõ
è íàñàæäàåò  ñâîþ
îá­ëàñòü
âëèÿíèÿ. Ìîæåò
ñëó÷èòüñÿ,
÷òî îäèí
öåíòð
çàõâàòèò âñþ
ïëîñê­îñòü,
íî è åãî
âëàñòü
èìååò
ãðàíèöû” â
âèäå 
èçîëèðîâàííûõ
òî÷åê,
êîòîðûå íåïîäâëàñòíû
åãî
ïðèòÿæåíèþ.
Ýòî, 
òàê 
ñêàçàòü,
äèññèäåí­òû”,
íå æåëàþùèå
ïðèíàäëåæàòü”.
Ðèñóíêè
ïðåäñòàâëÿþò
ïðîöåññû,  ÿâëÿþùèåñÿ, 
êîíå÷íî,  âåñüìà
óïðîøåííîé
èäåàëèçàöèåé
äåéñòâèòåëüíîñòè.
Îíè
ïðåóâåëè÷èâàþò
íåêî­òîðûå
ñâîéñòâà,
÷òîáû
ñäåëàòü èõ
áîëåå ÿñíûìè. 
Íàïðèìåð,  íåò  íè îäíîé
ðåàëüíîé
ñòðóêòóðû,
êîòîðóþ
ìîæíî 
áûëî 
áû 
ïîñëåäîâàòåëüíî
óâåëè÷èâàòü
áåñêîíå÷íîå
÷èñëî ðàç è
êîòîðàÿ
âûãëÿäåëà
áû  ïðè
ýòîì
íåèçìåííîé.
Òåì íå ìåíåå
ïðèíöèï ñàìîïîäîáèÿ
â 
ïðèáëèæåííîì  âèäå èìååòñÿ
â ïðèðîäå: â
ëèíèÿõ
áåðåãîâ
ìîðåé è ðåê, â 
î÷åðòàíèÿõ
îá­ëàêîâ è
äåðåâüåâ, â
òóðáóëåíòíîì
ïîòîêå æèäêîñòè
è â
èåðàðõè÷åñêîé
îðãàíèçàöèè
æèâûõ
ñèñòåì. À
îòêðûë íàì
ãëàçà 
íà 
ýòó 
ôðàêòàëüíóþ
ãåîìåòðèþ
ïðèðîäû
Áåíóà Á.
Ìàíäåëüáðîò.
Íà  ñàìîì  äåëå 
ïðîöåññû,
ïîðîæäàþùèå
òàêèå
ñòðóêòóðû,
äîâîëüíî
äàâíî èçó÷àþòñÿ
â
ìàòåìàòèêå
è ôèçèêå. Ýòî
îáû÷íûå
ïðîöåññû ñ
îáðàòíîé
ñâÿçüþ, â
êîòîðûõ îäíà
è òà æå
îïåðàöèÿ
âûïîëíÿåòñÿ
ñíîâà è
ñíîâà, 
êîãäà 
ðåçóëüòàò  îäíîé
èòåðàöèè
ÿâëÿåòñÿ
íà÷àëüíûì
çíà÷åíèåì
äëÿ
ñëåäóþùåé: C è è
Åäèíñòâåííîå,
÷òî ïðè ýòîì
òðåáóåòñÿ -
íåëèíåéíàÿ
çàâèñèìîñòü
ìåæäó
ðåçóëüòàòîì
è íà÷àëüíûì
çíà÷åíèåì,
ò. å.  äèíàìè÷åñêèé
çàêîí  äîëæåí
áûòü áîëåå
ñëîæíûì, ÷åì
ïðîñòàÿ
ïðîïîðöèîíàëüíîñòü
.
Ñõåìàòè÷åñêàÿ
äèàãðàììà
óêàçûâàåò  íà  òî, 
÷òî 
ïðàâèëî çàâèñèò
îò ïàðàìåòðà
c, âëèÿíèå
êîòîðîãî  áóäåò
îáñóæäàòüñÿ
íèæå.
Åñëè
íà÷àòü
èòåðàöèîííûé
ïðîöåññ
óêàçàííîãî
âèäà ñ
íåêîòîðîãî
ïðîèçâîëüíîãî
çíà÷åíèÿ , òî 
åãî 
ðåçóëüòàòîì  áóäåò
ïîñëåäîâà­òåëüíîñòü,
ïîâåäåíèå
êîòîðîé ïî 
èñòå÷åíèè 
äîñòàòî÷íî
áîëüøîãî
ïåðèîäà âðåìåíè
è áóäåò
ñîñòàâëÿòü
ïðåäìåò
íàøåãî èíòåðåñà.
Áóäåò ëè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõîäèòüñÿ ê
íåêîòîðîìó
ïðåäåëüíîìó
çíà÷åíèþ Õ,
ñòðåìÿñü ê
ñîñòîÿíèþ
ïîêîÿ? Ïðèäåò
ëè îíà ê
íåêîòîðîìó
öèêëó
çíà÷åíèé,
êîòîðûå
áóäóò
ïîâòîðÿòüñÿ
âíîâü è
âíîâü? 
Èëè 
ýòà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
âñå âðåìÿ
âåäåò ñåáÿ
áåñïîðÿäî÷íî,
õîòÿ è îïðå­äåëåíà
äèíàìè÷åñêèì
çàêîíîì è
êîíêðåòíûì
íà÷àëüíûì 
çíà÷åíèåì,  íî òåì
íå ìåíåå
íåïðåäñêàçóåìà?
Ïðîöåññû
óêàçàííîãî
âèäà
îáíàðóæèâàþòñÿ
â ëþáîé
òî÷íîé
íàóêå. Òàê,
îïèñàíèå
ÿâëåíèé
ïðèðîäû ñ  ïîìîùüþ  äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíå­íèé,
êîòîðîå
ââåëè îêîëî 300
ëåò íàçàä
Èñààê Íüþòîí
è 
Ãîòòôðèä Â.
Ëåéáíèö,
îñíîâàíî íà
ïðèíöèïå
îáðàòíîé
ñâÿçè. 
Äèíàìè÷åñêèé  çàêîí
îïðåäåëÿåò
ïîëîæåíèå è
ñêîðîñòü
÷àñòèöû â 
äàííûé  ìîìåíò  âðåìåíè
÷åðåç èõ
çíà÷åíèÿ â
ïðåäûäóùèé
ìîìåíò.
Äâèæåíèå
÷àñòèöû
ïîíèìàåòñÿ
êàê ðåàëèçàöèÿ
ýòîãî
çàêîíà.
Íåñóùåñòâåííî,
áóäåò ëè
ïðîöåññ äèñê­ðåòíûì,
ò. å.
îñóùåñòâëÿåìûì
ïî øàãàì,
ëèáî 
íåïðåðûâíûì. 
Ôèçèêàì
íðàâèòñÿ
ìûñëèòü  â 
òåðìèíàõ 
èíôèíèòåçèìàëüíûõ  åäèíèö 
âðåìåíè: Natura non facit
saltus (“Ïðèðîäà  íå  äåëàåò 
ñêà÷êîâ”).
Áèîëîãè,
íàïðîòèâ,
÷àñòî
ïðåäïî÷èòàþò
ðàññìàòðèâàòü
èçìåíåíèÿ
îò ãîäà ê ãî­äó
èëè îò
ïîêîëåíèÿ ê
ïîêîëåíèþ.  Î÷åâèäíî, 
äîïóñòèìû  îáå  òî÷êè
çðåíèÿ, à
âûáîð
ïîäõîäÿùåãî
îïèñàíèÿ 
îïðåäåëÿåòñÿ
îáñòîÿòåëüñòâà­ìè.
Ãëàâà 3
ÑÖÅÍÀÐÈÉ
ÏÐÎÍÈÊÍÎÂÅÍÈß
 ÕÀÎÑ
Ðàññìîòðèì
ïðèìåð. Ðîñò
íåêîòîðîé
ïîïóëÿöèè
çà 
íåñêîëüêî
ëåò îáû÷íî
îïèñûâàþò
ïðè ïîìîùè
êîýôôèöèåíòà
ïðèðîñòà, ò. å.
îòíîøåíèÿ
åæåãîäíîãî
ïðèðîñòà
÷èñëåííîñòè
ïîïóëÿöèè ê
åå 
îáùåé
÷èñëåííîñòè.
Åñëè ýòà
âåëè÷èíà
îñòàåòñÿ
ïîñòîÿííîé
â òå÷åíèå
âñåãî
ïåðèîäà âðå­ìåíè,
òî ãîâîðÿò,
÷òî çàêîí
ðîñòà
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì,  à 
ñàì 
ðîñò íàçûâàþò
ýêñïîíåíöèàëüíûì.
Íàïðèìåð, ïðè êîýôôèöèåíòå 
ïðèðîñòà  â 5% ïîïóëÿöèÿ
óäâàèâàåò
ñâîþ
÷èñëåííîñòü
êàæäûå 14 ëåò.  Çàêîíû
òà­êîãî òèïà,
îäíàêî,
ïðèìåíèìû
òîëüêî 
íà 
îãðàíè÷åííûõ 
ïðîìåæóòêàõ
âðåìåíè. Äëÿ
ðîñòà
âñåãäà
ñóùåñòâóþò
ïðåäåëû.
Îäíèì
èç ïåðâûõ
îáðàòèë íà  ýòî 
âíèìàíèå  Ï. 
Ô.  Ôåðõþëüñò,
ñôîðìóëèðîâàâ
â 1845 ãîäó
çàêîí, ñîäåðæàùèé
îãðàíè÷åíèå  íà  ðîñò. Îí
îáúÿñíèë
ýòî òåì, ÷òî
ëþáàÿ
ýêîëîãè÷åñêàÿ
íèøà ìîæåò
îáåñïå÷èòü
ñóùåñòâîâàíèå
ïîïóëÿöèè
òîëüêî
îïðåäåëåííîãî
ìàêñèìàëüíîãî
ðàçìåðà Õ è
÷òî
êîýôôèöèåíò
ïðèðîñòà
äîëæåí
ñíèæàòüñÿ,
êîãäà
ðàçìåðû ïîïó­ëÿöèè
ïðèáëèæàþòñÿ
ê Õ. Òàêèì
îáðàçîì, îí
ïðèøåë 
ê  íåîáõîäèìîñòè
ðàññìàòðèâàòü
ïåðåìåííûé êîýôôèöèåíò
ïðèðîñòà.  
ðåçóëüòàòå
ýòîãî
ïðîöåññ
ñòàíîâèëñÿ
íåëèíåéíûì, ÷òî
êîðåííûì
îáðàçîì  èçìåíèëî  åãî
äèíàìè÷åñêîå
ïîâåäåíèå.
Ïðîøëî
áîëåå ñòà
ëåò, ïðåæäå
÷åì áûëè
îñîçíàíû
âñå
âûòåêàþùèå
èç ýòîãî
ïðîáëåìû. Ïðè
ìàëûõ
êîýôôèöèåíòàõ
ïðèðîñòà,
î÷åâèäíî, íè­÷åãî
îñîáåííîãî
íå
ïðîèçîéäåò:
÷èñëåííîñòü
ïîïóëÿöèè  áóäåò
ïðîñòî
ðåãóëèðîâàòüñÿ
òàê, ÷òîáû
äîñòè÷ü
îïòèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ  Õ,
óâåëè­÷èâàÿñü
êîãäà îíà
ìåíüøå åãî, è
óìåíüøàÿñü,
êîãäà  áîëüøå.
Îäíàêî, êàê
òîëüêî
êîýôôèöèåíò
ïðåâûñèò 200%,
íàñ îæèäàþò
ñþðïðèçû.
Ñóùåñòâóþò
ëè â ïðèðîäå
òàêèå
áîëüøèå 
êîýôôèöèåíòû
ïðèðîñòà?
Êîíå÷íî, ÷åëîâå÷åñêàÿ
ïîïóëÿöèÿ
òàê áûñòðî
íå ðàñòåò, íî
äëÿ îïðå­äåëåííûõ
âèäîâ
íàñåêîìûõ
òàêîé
êîýôôèöèåíò
íå 
ÿâëÿåòñÿ
íåîáû÷íûì.
Âàæíî òî, ÷òî
â ïîñëåäíèå 20
ëåò çàêîí
Ôåðõþëüñòà íàøåë
ïðèìåíåíèå
äëÿ
çíà÷èòåëüíî
áîëåå øèðîêîãî
êðóãà
ÿâëåíèé, ÷åì
ïðåäñòàâëÿë
ñåáå ñàì
Ôåðõþëüñò.
Ýäâàðä
Í. Ëîðåíö,
ìåòåîðîëîã
èç
Ìàññà÷óñåòñêîãî
òåõíîëîãè÷åñ­êîãî
èíñòèòóòà,
îáíàðóæèë â 1963
ãîäó, ÷òî
èìåííî
ýòîò 
çàêîí îïè­ñûâàåò
íåêîòîðûå
ñâîéñòâà
òóðáóëåíòíîãî
ïîòîêà, â 
÷àñòíîñòè
êîãäà êîýôôèöèåíò
âåëèê. Çàòåì
òåîðåòè÷åñêèå 
èññëåäîâàíèÿ  ïî  ëàçåðíîé ôèçèêå,
ãèäðîäèíàìèêå
è êèíîòèêå
õèìè÷åñêèõ 
ðåàêöèé
ïðîäåìîíñòðè­ðîâàëè
ïðèíöèïèàëüíûé
õàðàêòåð
ýòîãî çàêîíà,  è 
ïðåäñêàçàííûå  èì
ñöåíàðèè
áûëè
îáíàðóæåíû
â ýêñïåðèìåíòàõ.
Íî êàê
æå âåäåò
ñåáÿ
ïðîöåññ  Ôåðõþëüñòà,  êîãäà 
êîýôôèöèåíò
ñòàíîâèòñÿ
áîëüøèì?
Ïîäðîáíûé
àíàëèç
î÷åíü ñëîæåí.
Óïîìÿíåì
òîëüêî
íàèáîëåå
âàæíûå
ðåçóëüòàòû.  Êîãäà  ïàðàìåòðû
ðîñòà
ïðåâûñÿò 200%,
ñòàíîâèòñÿ
íåâîçìîæíûì
äîñòèæåíèå
îïòèìàëüíîé
÷èñëåííîñòè
X. Êîãäà
ïîïóëÿöèÿ  ìàëà, 
ýíåðãè÷íûé  ðîñò 
íåèçìåííî
ïðèâîäèò ê
ïðåâûøåíèþ
îïòèìàëüíîãî
ðàçìåðà, ÷òî 
âûçûâàåò
îòâåòíóþ
ðåàêöèþ, â
ðåçóëüòàòå
êîòîðîãî
ïîïóëÿöèÿ
óìåíüøàåòñÿ  äî
ðàçìåðîâ,
çíà÷èòåëüíî
ìåíüøèõ X.
Ïîñëå ýòîãî
ïîÿâëÿþòñÿ
óñòîé÷èâûå
êîëåáàíèÿ
ìåæäó äâóìÿ
ðàçìåðàìè,
áîëüøèì è
ìåíüøèì.
Êîãäà
ïàðàìåòð
ðîñòà
ïðåâûñèò 245%,
ïðîèñõîäèò
äàëüíåéøåå
óñ­ëîæíåíèå
ïîâåäåíèÿ.
Êîëåáàíèÿ
ïðîèñõîäÿò
ñíà÷àëà
ìåæäó 4, çàòåì
8, çàòåì 16
ðàçëè÷íûìè
âåëè÷èíàìè
÷èñëåííîñòè
ïîïóëÿöèè è  òàê
äàëåå, äî òåõ
ïîð ïîêà äëÿ
ïàðàìåòðîâ,
áîëüøèõ 257%, íå
âîçíèêàåò
õàîñ.
×òî ìû
ïîíèìàåì
ïîä õàîñîì?
Ïîïðîñòó
ãîâîðÿ, 
ñèñòåìà
âûõîäèò èç
ïîä êîíòðîëÿ. Íå
ñóùåñòâóåò
ñïîñîáà
ïðåäñêàçàòü
åå 
ïîâåäåíèå
íà
äëèòåëüíîå
âðåìÿ. Áåñïîðÿäî÷íûå
ñêà÷êè
ââåðõ è âíèç
óïîðíî ïðîäîë­æàþòñÿ  è 
íèêîãäà  íå 
ïðåâðàòÿòñÿ  â
óïîðÿäî÷åííóþ 
ïîñëåäîâà­òåëüíîñòü.
×òîáû ïîíÿòü
óäèâëåíèå,
êîòîðîå
èñïûòàë
Ëîðåíö ïðè
ýòîì
îòêðûòèè,
íàïîìíèì,
÷òî íèêàêîé
íåîïðåäåëåííîñòè  íå
ïðåäïîëàãàåò­ñÿ.
Ïðîöåññ
ïî-ïðåæíåìó
îïèñûâàåòñÿ
çàêîíîì
Ôåðõþëüñòà,
ïîñëåäîâà­òåëüíîñòü
îïðåäåëåíà
ñâîèì
íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì
- è âñå æå åå
ïîâå­äåíèå
íåâîçìîæíî
ïðåäñêàçàòü,
îñòàåòñÿ ïðåäîñòàâèòü 
ïðîöåññó
ðàç­âèâàòüñÿ
ñàìîìó ïî
ñåáå.
Ýòà
î÷åíü
òîíêàÿ
ñèòóàöèÿ
òðåáóåò
íåêîòîðîãî
áîëåå
ïîäðîáíîãî
îáúÿñíåíèÿ.
Óòâåðæäåíèå
î òîì, ÷òî 
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 
îïðåäåëåíà
ñâîèì
íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì,
ïîäðàçóìåâàåò 
âîçìîæíîñòü 
îïðåäåëåíèÿ
ïîñëåäóþùèõ
çíà÷åíèé ñ
áåñêîíå÷íîé
òî÷íîñòüþ.
Ýòî 
ÿâëÿåòñÿ
âåðíûì
òîëüêî “â ïðèíöèïå”.
Ëþáîå
ðåàëüíîå
îïèñàíèå  íà÷àëüíîé 
âåëè÷èíû,
íàïðèìåð åå
ïðåäñòàâëåíèå
â êîìïüþòåðå
ìîæíî
ïîëó÷èòü òîëüêî
ñ êî­íå÷íîé
òî÷íîñòüþ.
Èçó÷àåìûé
ïðîöåññ ìîæíî 
ñðàâíèòü  ñ 
ïîëó÷åíèåì
èíôîðìàöèè:
÷åì äîëüøå
ìû åãî áóäåì 
íàáëþäàòü,  òåì  ëó÷øå  áóäåì
çíàòü â
ðåòðîñïåêòèâå
òî÷íóþ
âåëè÷èíó
íà÷àëüíîãî
çíà÷åíèÿ.
È âñå
æå íàèáîëåå
âïå÷àòëÿþùèì
â äèíàìèêå
Ôåðõþëüñòà
ÿâëÿåòñÿ íå
õàîñ êàê
òàêîâîé, à
ñöåíàðèé, ïî
êîòîðîìó  ïîðÿäîê
ïðåâðàùàåòñÿ
â õàîñ. Èìååò
ëè ñìûñë
òî÷íî îïðåäåëÿòü
çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðîâ
ðîñòà, ïðè
êîòîðûõ
ïðîèñõîäÿò
áèôóðêàöèè
îò êîëåáàíèé
ïåðèîäà   ê
êîëå­áàíèÿì
ïåðèîäà ? Êîìó ýòî
íóæíî?
Íî
ïåäàíòè÷íîñòü
÷àñòî
ñòîÿëà ó
êîëûáåëè
âàæíûõ
îòêðûòèé. Èî­ãàíí
Êåïëåð íå
îòêðûë áû
ýëëèïòè÷åñêîé
ôîðìû 
îðáèò 
äâèæåíèÿ
ïëà­íåò, åñëè
áû íå áûë
îáåñïîêîåí
íåáîëüøèì îòêëîíåíèåì
â  8  óãëîâûõ
ìèíóò 
îðáèòû  Ìàðñà  îò 
ïðåäñêàçàíèé 
òåîðèè  Ïòîëîìåÿ. 
Ôðèäðèõ
Âèëüãåëüì
Áåññåëü íå
ñìîã áû
îïðåäåëèòü
ðàññòîÿíèå  îò  Ñîëíöà  äî
áëèæàéøèõ
íåïîäâèæíûõ
çâåçä, íå
íàó÷èâøèñü  òî÷íåéøåìó
èñïîëüçîâà­íèþ
÷èñåë è
òàáëèö âî
âðåìÿ ñâîåãî
ó÷åíè÷åñòâà  ó 
îäíîãî  èç áðå­ìåíñêèõ
òîðãîâöåâ.
Íàó÷íàÿ
ðàáîòà âñåãäà
çàâèñèò îò
ñàìîãî
ñêðóïó­ëåçíîãî
âíèìàíèÿ ê
äåòàëÿì äàæå
òîãäà, êîãäà
ñòàíîâèòñÿ  ÿñíîé
êà­÷åñòâåííàÿ
ñòîðîíà. À
êàê
èçâåñòíî
âñåì, êîìó 
ïðèõîäèëîñü 
èñêàòü îøèáêè
â êàêîé-ëèáî
ïðîãðàììå,
äëÿ ýòîãî
íåò 
ëó÷øåãî
èíñòðóìåíòà,
÷åì êîìïüþòåð.
Ïðè
òî÷íîì
àíàëèçå
òî÷åê
áèôóðêàöèè
â ïðîöåññå
Ôåðõþëüñòà
îá­íàðóæèâàåòñÿ
çàêîíîìåðíîñòü,
èìåþùàÿ èñêëþ÷èòåëüíîå
çíà÷åíèå â
ìè­ðå
íåëèíåéíûõ
ÿâëåíèé. 
Çàêîíîìåðíîñòü  êàñàåòñÿ  äëèí 
èíòåðâàëîâ
çíà÷åíèé
ïàðàìåòðà,
ïðè êîòîðûõ
óñòîé÷èâûì 
ÿâëÿåòñÿ
ïåðèîäè÷åñêîå
äâèæåíèå ñ
íåêîòîðûì
îïðåäåëåííûì
ïåðèîäîì.
Ýòè èíòåðâàëû
ñîêðàùà­þòñÿ
ïðè êàæäîì
óäâîåíèè
ïåðèîäà,
ïðè÷åì 
ìíîæèòåëü,
õàðàêòåðèçóþ­ùèé
ñîêðàùåíèå,
ïðèáëèæàåòñÿ
ê óíèâåðñàëüíîìó
çíà÷åíèþ
 = 4.669201660910...,
êîãäà
ïåðèîä
ðàñòåò.
Ýòî
÷èñëî,
ïåðâûå 
äåñÿòè÷íûå  çíàêè 
êîòîðîãî  áûëè 
âïåðâûå
îïóáëèêîâàíû
Ãðîññìàííîì
è Òîìý â 1977
ãîäó, 
ïîÿâëÿåòñÿ  ñíîâà  è
ñíîâà âî ìíîãèõ
äðóãèõ
ïðîöåññàõ.
Îíî
ÿâëÿåòñÿ  òàêîé  æå
õàðàêòå­ðèñòèêîé
äëÿ
ñöåíàðèåâ
óäâîåíèÿ
ïåðèîäîâ, êàê
÷èñëî   äëÿ
îòíî­øåíèÿ
äëèíû
îêðóæíîñòè
ê åå
äèàìåòðó.
Ýòî 
÷èñëî 
íàçûâàþò  òåïåðü
÷èñëîì
Ôåéãåíáàóìà”.
Ìèò÷åë 
Ôåéãåíáàóì 
ïðîäåëàë 
âû÷èñëåíèÿ  íà
ñâîåì
êàëüêóëÿòîðå
â Ëîñ Àëàìîñå
äëÿ öåëîãî
ðÿäà
ðàçëè÷íûõ
ïðîöåñ­ñîâ è
ïîëó÷èë â
êàæäîì
ñëó÷àå îäèí
è òîò æå
ìíîæèòåëü.  Îí  îòêðûë
óíèâåðñàëüíîñòü
ýòîãî ÷èñëà.
Ýòî
îòêðûòèå
âûçâàëî
íåâåðîÿòíóþ
àêòèâíîñòü
ó÷åíûõ 
âî ìíîãèõ
îáëàñòÿõ íàóêè.
Áûëî
ïîñòàâëåíî
îãðîìíîå
÷èñëî  ýêñïåðèìåíòîâ,
ïî­êàçàâøèõ,
÷òî
ñöåíàðèé
óäâîåíèÿ
ïåðèîäà 
äåéñòâèòåëüíî
íàáëþäàåòñÿ
âî ìíîãèõ
åñòåñòâåííûõ
ñèñòåìàõ.
Ýòî è íà÷àëî
òóðáóëåíòíîñòè
â ïî­òîêå
æèäêîñòè, è
íåëèíåéíûå
êîëåáàíèÿ â õèìè÷åñêèõ
èëè
ýëåêòðè÷åñ­êèõ
ñåòÿõ, è äàæå
ïåðåõîä
íîðìàëüíîãî
ðèòìà 
ñåðäöà  â 
óãðîæàþùóþ
æèçíè
ôèáðèëëÿöèþ.
È ìû ïðîñòî  íå  â 
ñîñòîÿíèè 
ïåðå÷èñëèòü  âñå
ãðóïïû â ÑØÀ,
Ôðàíöèè, ÔÐÃ
èëè ãäå-ëèáî
åùå,
ïðîäåìîíñòðèðîâàâøèå,
÷òî ñóùåñòâåííûå
àñïåêòû
äèíàìèêè
ñëîæíûõ
ñèñòåì  ìîæíî  ñâåñòè  ê
ïîâåäåíèþ,
ïðèìåð
êîòîðîãî äàåò
óðàâíåíèå
Ôåðõþëüñòà.
Íà
òåîðèþ ýòî
îêàçàëî íå
ìåíåå
ñèëüíîå âîçäåéñòâèå.
Ìàòåìàòè­êè
âñå 
åùå 
ïûòàþòñÿ  äî  êîíöà  ïîíÿòü  ýòó 
íåîæèäàííóþ
óíèâåð­ñàëüíîñòü.
Íî,
ïî-âèäèìîìó,
áîëåå âàæíî,
÷òî îíà  ïîðîäèëà 
íàäåæäó íà
òî, ÷òî
íåëèíåéíûå
ÿâëåíèÿ íå
ëåæàò çà
ïðåäåëàìè
ñèñòåìàòèçàöèè
è íàó÷íîé
êëàññèôèêàöèè.
Îäíèì
èç ïåðâûõ,
êòî îñîçíàë
âàæíîñòü èçó÷åíèÿ 
ïðîöåññà
Ôåð­õþëüñòà,
áûë áèîëîã
Ðîáåðò Ì. Ìýé.
Åùå â 1976 ãîäó
îí ïèñàë:
Ïîýòîìó
ÿ
íàñòîÿòåëüíî
ñîâåòóþ,
÷òîáû ëþäè 
çíàêîìèëèñü,
ñêà­æåì (ñ
óðàâíåíèåì
Ôåðõþëüñòà),
íà ðàííåì ýòàïå
ñâîåãî
îáó÷åíèÿ ìà­òåìàòèêå.
Ýòî
óðàâíåíèå
ìîæíî
èçó÷àòü 
ôåíîìåíîëîãè÷åñêè,
èòåðèðóÿ åãî íà
êàëüêóëÿòîðå
èëè äàæå
âðó÷íóþ. Åãî
èçó÷åíèå
äàæå íå
òðåáóåò
âñåãî
ìíîæåñòâà ñëîæíûõ
ïîíÿòèé,
êàêèå
èñïîëüçóþòñÿ
â ýëåìåíòàðíîì
àíàëèçå.
Òàêîå
èçó÷åíèå
î÷åíü
îáîãàùàëî
áû
èíòóèòèâíûå
ïðåäñòàâëå­íèÿ
ó÷àùåãîñÿ î
íåëèíåéíûõ
ñèñòåìàõ.
Äëÿ
âñåõ íàñ
áûëî áû
ëó÷øå, åñëè
áû íå òîëüêî
â íàó÷íîé
ðàáî­òå, íî è â
ïîâñåäíåâíîé
ïîëèòè÷åñêîé  è 
ýêîíîìè÷åñêîé  æèçíè  êàê
ìîæíî
áîëüøå ëþäåé
ïîíÿëî, ÷òî ïðîñòûå
íåëèíåéíûå
ñèñòåìû íå
âñåã­äà
îáëàäàþò
ïðîñòûìè
äèíàìè÷åñêèìè
ñâîéñòâàìè.
Ãëàâà 4
ÏÎÃÐÀÍÈ×ÍÛÅ
ÑÒÛ×ÊÈ:
ÕÀÎÑ,
ÂÎÇÍÈÊÀÞÙÈÉ
ÈÇ
ÊÎÍÊÓÐÅÍÖÈÈ
Äëÿ
ïîíèìàíèÿ
íåëèíåéíûõ
ÿâëåíèé
áèôóðêàöèîííûé
ñöåíàðèé ïðè­îáðåòàåò 
ôóíäàìåíòàëüíîå  çíà÷åíèå. 
Àíàëèç  ïðîöåññà 
Ôåðõþëüñòà
ïðåâðàòèë
èäåþ äåòåðìèíèðîâàííîãî
õàîñà â
âàæíûé 
ïðåäìåò
îáñóæäå­íèÿ
è âûÿâèë
íåêîòîðûå
óíèâåðñàëüíûå
ñâîéñòâà
ñëîæíûõ
äèíàìè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ. Óíèâåðñàëüíîñòü
ñëåäóåò
èñòîëêîâûâàòü
ïðàâèëüíî.
Êîíå÷­íî,
ñóùåñòâóþò
è äðóãèå
ïóòè ê õàîñó;
íà ñàìîì
äåëå áûëè
îòêðûòû è
äðóãèå
ñöåíàðèè ñòîëü
æå îáùåãî
õàðàêòåðà.
Ïîíÿòèå
óíèâåðñàëüíîñòè
îò÷àñòè
îòðàæàåò
òåíäåíöèþ ôèçèêîâ
è
ìàòåìàòèêîâ
èñïîëüçîâàòü
ñëî­âà,
çâó÷àùèå
ìíîãîçíà÷èòåëüíî.
Íà
ñàìîì äåëå
îíî
îçíà÷àåò,
÷òî
íåêîòîðîå 
ïîâåäåíèå
ÿâëÿåòñÿ
òèïè÷íûì, è
ýòî áîëåå
èëè ìåíåå
óäèâèòåëüíàÿ
íàõîäêà  ñðåäè  âñåãî
ìíîãîîáðàçèÿ
ñèñòåì.
Êðàéíå
æåëàòåëüíî
óñòàíîâèòü
ïðèíöèïû, 
õàðàêòåðèçóþùèå
ñîîò­íîøåíèÿ
ìåæäó
èíäèâèäóàëüíûìè
ñöåíàðèÿìè.  Áåíóà  Á. 
Ìàíäåëüáðîòó
ýòî óäàëîñü
ñäåëàòü â 1980
ãîäó, êîãäà
îí
îáíàðóæèë
ìíîæåñòâî,
íî­ñÿùåå
òåïåðü åãî
èìÿ. Ýòî íå
ïðîñòî 
ïðè÷óäëèâàÿ 
ôèãóðà,  êîòîðàÿ êîìó-òî
êàæåòñÿ
ïðåêðàñíîé, à
êîìó-òî áåçîáðàçíîé; 
ìíîæåñòâî
Ìàíäåëüáðîòà
âîïëîùàåò â
ñåáå áîëåå
îáùèé, 
÷åì 
óíèâåðñàëüíîñòü
Ôåé­ãåíáàóìà,
ïðèíöèï
ïåðåõîäà îò
ïîðÿäêà ê õàîñó.
Çäåñü, êàê
ýòî ÷àñ­òî
áûâàåò â
ìàòåìàòèêå,
îáíàðóæèâàåòñÿ
ñâÿçü 
ýñòåòè÷åñêîé
ïðèâëå­êàòåëüíîñòè
ñ
ôóíäàìåíòàëüíûì
çíà÷åíèåì.
Èäåÿ,
èñïîëüçîâàííàÿ
Ìàíäåëüáðîòîì, 
ñîñòîÿëà  â 
òîì,  ÷òîáû
âìåñòî
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë
ðàññìîòðåòü 
êîìïëåêñíûå  è 
íàáëþäàòü
ïðîöåññ ... íå íà
ïðÿìîé, à â
ïëîñêîñòè.
Äàæå
÷åëîâåêó,  íå çíà­êîìîìó
ñ
êîìïëåêñíûìè
÷èñëàìè, íå
ñëîæíî
ïîíÿòü ñóòü
ýòîãî
ïðîöåññà:
äîñòà­òî÷íî
ëèøü
ïðåäñòàâèòü
ñåáå, ÷òî
ïðàâèëî 
óêàçûâàåò,  êóäà
äîëæíà ïåðåìåñòèòüñÿ
òî÷êà â
ïëîñêîñòè, à
íå íà ïðÿìîé.
Êîíêðåòíûé
âèä ïðàâèëà
íå ÿâëÿåòñÿ
ñóùåñòâåííûì,
ïîñêîëüêó,  êàê  ìû  óâèäèì,
ðàçëè÷íûå
ïðàâèëà  ìîãóò  ïîðîæäàòü  òî  æå 
ñàìîå 
ìíîæåñòâî
Ìàí­äåëüáðîòà.
Áîëåå âàæíûì
ÿâëÿåòñÿ òî,
÷òî ïåðåõîä
îò ïîðÿäêà ê õàî­ñó
îïèñûâàåòñÿ
ñ áîëåå
îáùåé òî÷êè
çðåíèÿ. Â
öåíòðå 
âíèìàíèÿ
îêà­çàëàñü
ïðèðîäà
ãðàíèö
ìåæäó
ðàçëè÷íûìè 
îáëàñòÿìè.  Ìîæíî
ïðåäñòà­âèòü
ñåáå öåíòðû - àòòðàêòîðû
- êîòîðûå
âåäóò áîðüáó
çà âëèÿíèå
íà ïëîñêîñòè;
ëþáàÿ
íà÷àëüíàÿ
òî÷êà  ëèáî â
òå÷åíèå
ïðîöåññà
ïðèõî­äèò ê
òîìó èëè
äðóãîìó
öåíòðó, ëèáî
ëåæèò íà
ãðàíèöå  è 
íå 
ìîæåò ïðèíÿòü
îïðåäåëåííîå
ðåøåíèå. Ñ
èçìåíåíèåì
ïàðàìåòðà 
èçìåíÿþòñÿ
è îáëàñòè,
ïðèíàäëåæàùèå
àòòðàêòîðàì,
à âìåñòå ñ
íèìè è
ãðàíèöû. Ìî­æåò
ñëó÷èòüñÿ,
÷òî ãðàíèöà
ïðåâðàòèòñÿ  â 
ïûëü, 
è 
òàêîé 
ðàñïàä
ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé îäèí
èç íàèáîëåå
âàæíûõ
ñöåíàðèåâ.
Ïðîöåññ
Ìàíäåëüáðîòà
ìàòåìàòè÷åñêè
ýêâèâàëåíòåí
ïðîöåññó Ôåð­õþëüñòà.
Ôîðìóëà
òàêàÿ æå
ïðîñòàÿ:
Âûáðàâ
ïðîèçâîëüíîå
÷èñëî , âîçâåäåì
åãî â
êâàäðàò è
ïðèáà­âèì
êîíñòàíòó ñ
äëÿ òîãî,
÷òîáû
ïîëó÷èòü ; çàòåì
ïîâòîðèì
âû÷èñ­ëåíèÿ
äëÿ òîãî,
÷òîáû
ïîëó÷èòü  è ò.
ä. Ýòî ïîä  ñèëó êàæ­äîìó.
Íî íèêòî íå
îæèäàë, ÷òî  â 
òàêîì 
èòåðèðîâàíèè  ìîæåò ñêðû­âàòüñÿ
ñòîëüêî
çàãàäî÷íîé
êðàñîòû.
Ãëàâà 5
ÍÀÓÊÀ
È / ÈËÈ
ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ?
Çà
ãîäû ïîïûòîê
ïðåäñòàâèòü
ñâîè ðàáîòû 
çàèíòåðåñîâàííîé
îá­ùåñòâåííîñòè
ó÷åíûå
ïîíÿëè, ÷òî
õóäîæåñòâåííàÿ 
äåÿòåëüíîñòü  òîæå
ìîæåò
ïðèíåñòè
íàó÷íûå
ïëîäû. Èëè âñå
êëÿòâåííûå
çàâåðåíèÿ
ìàòåìà­òèêîâ
è
ôèçèêîâ-òåîðåòèêîâ
îá ýñòåòè÷åñêîé
êîìïîíåíòå
èõ 
íàóêè 
­ýòî ëèøü
ñëîâà?
Àìåðèêàíñêèå
ìàòåìàòèêè
Ôèëèïï Äæ.  Äýâèñ  è 
Ðþáåí Õåðø
ïèñàëè:
Ñëåïîòà
ê ýñòåòèêå
ìàòåìàòèêè
ðàñïðîñòðàíåíà
øèðîêî 
è èìåííî
ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ,
÷òî
ìàòåìàòèêà
ñ÷èòàåòñÿ ñóõîé,  êàê  ïûëü,
âîë­íóþùåé,
êàê
òåëåôîííàÿ
êíèãà,
äàëåêîé îò æèçíè,
êàê
çàêîíîóëîæåíèå
Øîòëàíäèè XV â.
Íàîáîðîò,
ïîíèìàíèå
ýñòåòèêè
ìàòåìàòèêè
çàñòàâëÿåò
ïðåäìåò æèòü
ïðåêðàñíîé æèçíüþ
è ãîðåòü, êàê,
ïî-âèäèìîìó,
íèêàêîå äðóãîå
òâîðåíèå
÷åëîâå÷åñêîãî
ðàçóìà.
Ìîæåò
ëè ýòà
ýñòåòèêà
ïðîÿâèòüñÿ
èíà÷å ÷åì â
ñàìîì
ïîèñêå ìà­òåìàòè÷åñêîãî
è
åñòåñòâåííî-íàó÷íîãî
çíàíèÿ?
Ìíîãèå
îòçûâû
âûñòàâêè
ôðàêòàëüíûõ
êàðòèí
óáåäèëè  ìíîãèõ  èõ
àâòîðîâ
ó÷åíûõ â òîì,
÷òî
ñáëèæåíèå
èñêóññòâà  è 
íàóêè 
ìîãëî 
áû ïðèíåñòè
îãðîìíóþ
ïîëüçó.
Âîçìîæíîñòü
òàêîãî
ñáëèæåíèÿ  íå
ñëåäóåò
ïîíèìàòü, êàê
ñëåïîå
óâëå÷åíèå
âñåì íîâûì è
íåîáû÷íûì,  à 
ñëåäóåò
ðàññìàòðèâàòü
âïîëíå
ðåàëèñòè÷åñêè
â ôîðìàõ
íîâûõ ñðåäñòâ
ïåðåäà­÷è
èíôîðìàöèè”,
ïðåæäå âñåãî
êîìïüþòåðà. Êîìïüþòåð
áîëüøå íå
ÿâëÿ­åòñÿ
ïðèíàäëåæíîñòüþ
èñêëþ÷èòåëüíî
íàóêè è
òåõíèêè;
ïîäðàñòàåò
ìî­ëîäîå
ïîêîëåíèå
êîìïüþòåðíûõ
àêðîáàòîâ, êîòîðûå 
îáÿçàòåëüíî
áóäóò
ðàçâèâàòü
ñâîè
õóäîæåñòâåííûå
àìáèöèè.
Ïîêà íå
ÿñíî, 
êóäà
çàâåäåò
òàêîå 
ðàçâèòèå,  è 
íå 
ÿñíî, 
ìîæåò 
áûòü, 
êàê 
ðàç 
â   ñìûñëå
êîìïëåêñíîé
äèíàìèêè:
âïîëíå
îïðåäåëåííîå
è 
äåòåðìèíèðîâàííîå,
íî íåïðåäñêàçóåìîå,
áóðëÿùåå â
ñâîåé
ïîâîðîòíîé
òî÷êå,
ïîäîáíî
Ôàóñòó âî
âðåìÿ
îìîëîæåíèÿ â
êîëäîâñêîì
ëîãîâå:
Ãîòîâèòü
âûòÿæêó èç
òðàâ -­
Òðóä
íåïîìåðíîãî
òåðïåíüÿ.
Íåîáõîäèì
ñïîêîéíûé
íðàâ,
×òîá
âûæäàòü
ìíîãî ëåò
áðîæåíüÿ.
Òóò ê
ìåñòó
êðîïîòëèâûé
äàð,
Ïðåäìåò
ïî-æåíñêè
ùåïåòèëåí.
Õîòü ÷åðò
ó÷èë âàðèòü
îòâàð,
Íî ñàì
ñâàðèòü åãî
áåññèëåí.
È. Â. Ãåòå
(Ïåðåâîä Á. Ë.
Ïàñòåðíàêà)
Ãëàâà 6
ÏÐÅËÎÌËÅÍÈÅ
ÍÀÓÊÈ Â
ÈÑÊÓÑÑÒÂÅ
Èçâåñòíûé
íåìåöêèé
ôàíòàñò è
ïóáëèöèñò
Ãåðáåðò  Ôðàíêå
ïèñàë, ÷òî
èñêóññòâîâåäû
ãðÿäóùèõ
ñòîëåòèé,
îãëÿíóâøèñü  íà  íàøå 
âðåìÿ,
ïðèäóò ê
âûâîäàì,
âåñüìà
îòëè÷íûì îò
òåõ, ê êîòîðûì 
ïðèõîäÿò
íàøè
ñîâðåìåííèêè.
Ïî÷èòàåìûå
íûíå
õóäîæíèêè è
ñêóëüïòîðû  áóäóò
ñêîðåå âñåãî
ïî÷òè
çàáûòû, çàòî
ïîÿâëåíèå
ýëåêòðîííûõ
ñðåäñòâ  áóäåò ïðî­âîçãëàøåíî
íàèáîëåå
çíà÷èòåëüíîé
ïåðåìåíîé  â 
èñòîðèè  èñêóññòâà.
Ïåðâûå
ïîïûòêè,
âíà÷àëå
ðîáêèå è íåóâåðåííûå,
äîñòè÷ü  öåëè, êîòî­ðàÿ
êàê 
èçâåñòíî  ñòîèò  ïåðåä 
èñêóññòâîì  - 
æèâîïèñíîé
âûðàçè­òåëüíîñòè
è òî÷íîñòè
èçîáðàæåíèÿ
îêðóæàþùåãî
íàñ ìèðà -  íî  ñ ïî­ìîùüþ
íîâûõ
ñðåäñòâ,
óâåí÷àþòñÿ
â êîíöå 
êîíöîâ 
çàñëóæåííûì
óñïå­õîì.
Ïðè
ýòîì Ôðàíêå
óòâåðæäàåò,
÷òî òîãäà,  “â 
ïðîøëîì”  (ò. 
å. ñåé÷àñ!),
âïåðâûå
ïîÿâèëàñü
âîçìîæíîñòü
ñîçäàâàòü
òðåõìåðíûå
èçîá­ðàæåíèÿ
ôàíòàñòè÷åñêèõ
ïåéçàæåé è
äðóãèå
àíàëîãè÷íûå
êàðòèíû ñ ôî­òîãðàôè÷åñêîé
òî÷íîñòüþ. À
âìåñòå 
ñ 
êàðòèíàìè 
ïîÿâèëàñü
âîçìîæ­íîñòü
íå ëîâèòü
îòäåëüíûå
ìãíîâåíèÿ, à
îõâàòûâàòü
äåéñòâèòåëüíîñòü
â äâèæåíèè è
èçìåíåíèÿõ.
Ýòî,
âîçìîæíî,
âàæíåéøèé
àñïåêò
íîâîé ïå­ðåìåíû:
âðåìÿ íà
ýòèõ
êàðòèíàõ  íå 
çàôèêñèðîâàíî  è 
ëåãêî 
ìîæíî
ïîñòðîèòü
ïëîñêèå èëè
òðåõìåðíûå (â
ïåðñïåêòèâå) 
äâèæóùèåñÿ
èçîá­ðàæåíèÿ
äàæå ñ òåõ
òî÷åê
çðåíèÿ,
êîòîðûå 
íåäîñòóïíû
÷åëîâå÷åñêîìó
ãëàçó èëè
êàìåðå.
Ñåãîäíÿ,
âïðî÷åì,
õóäîæíèêè,
èñïîëüçóþùèå 
êîìïüþòåð,
îòîäâè­íóòû
íà ïåðèôåðèþ
ñöåíû”
èñêóññòâà.
×àñòè÷íî
ýòî 
ñâÿçàíî  ñ ôîð­ìàëüíûìè
êðèòåðèÿìè,
÷àñòè÷íî - ñ
íåîäîáðåíèåì,
âûçâàííûì
êîíêðåò­íûìè
êîììåð÷åñêèìè
èíòåðåñàìè.
Ãëàâà 7
ÂÅÊ
ÍÀÃËßÄÍÎÑÒÈ
Êîìïüþòåð
- ýòî
óñòðîéñòâî
äëÿ 
îáðàáîòêè 
äàííûõ,  à 
òåðìèí
äàííûå”
(èíôîðìàöèÿ),
êàçàëîñü áû,
îçíà÷àåò
÷èñëà, à  íå
ðèñóíêè.
Îäíàêî ðèñóíêè
- ýòî â
ñóùíîñòè
äðóãîé
ñïîñîá
îïèñàòü
ðåàëüíûå ñî­áûòèÿ
- ôàêòû.
Êðîìå
òîãî,
ðèñóíêè
ìîæíî
çàêîäèðîâàòü
÷èñëàìè, à
çàòåì îáðà­áîòàòü
ñ ïîìîùüþ
êîìïüþòåðà.  Ãðàôè÷åñêèå 
èçîáðàæåíèÿ, 
ñîçäàííûå
êîìïüþòåðîì,
áóäåì äàëåå
íàçûâàòü äëÿ
êðàòêîñòè 
êîìïüþòåðíîé
ãðà­ôèêîé.
Çíà÷åíèå
ýòîãî
(êîãäà-òî
ïîáî÷íîãî) 
ñïîñîáà 
èñïîëüçîâàíèÿ
êîìïüþòåðîâ
÷ðåçâû÷àéíî
âîçðîñëî â ïîñëåäíåå
âðåìÿ.
Êîíå÷íî
æå, âíà÷àëå
íèêòî 
íå 
äóìàë 
ðàçâèâàòü 
êîìïüþòåðíóþ
ãðàôèêó êàê
èñêóññòâî;
îíà
âîçíèêëà â
ðåçóëüòàòå
÷èñòî
ïðàêòè÷åñê­èõ
íàó÷íûõ,
òåõíîëîãè÷åñêèõ
è êîììåð÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé.
Ïîíèìàíèå
òîãî, ÷òî ðèñóíêè
çíà÷èòåëüíî
óäîáíåå äëÿ
âîñïðèÿòèÿ,  ÷åì
äëèííûå
ïåðå÷íè
÷èñåë, ïðèâåëî
ê òîìó, ÷òî
âî 
âñåõ 
ýòèõ 
îáëàñòÿõ  ÷èñëà
ïîñòåïåííî âûòåñíÿëèñü
ãèñòîãðàììàìè,
êðèâîëèíåéíûìè 
ãðàôèêàìè  è ò. ï.
Ýòîò
ïðîöåññ è
ïðèâåë ê  ïîÿâëåíèþ  è 
ðàçâèòèþ  êîìïüþòåðíîé
ãðàôèêè.
Ïåðâûì, íî
ñîâåðøåííî 
íåïîäõîäÿùèì 
ñðåäñòâîì 
ïîëó÷åíèÿ
êîìïüþòåðíîé
ãðàôèêè áûë
ïðèíòåð,
êîòîðûé òåì
íå ìåíåå
äîêàçàë ýô­ôåêòèâíîñòü
èñïîëüçîâàíèÿ
íàãëÿäíûõ èçîáðàæåíèé
ñòîëü
óáåäèòåëüíî,
÷òî ìåõàíè÷åñêèå
ðèñóþùèå
ïðèáîðû,  íàçâàííûå 
ãðàôîïîñòðîèòåëÿìè,
ïîÿâèëèñü
êàê íå÷òî
ñàìî ñîáîé
ðàçóìåþùååñÿ.   
ãðàôîïîñòðîèòåëÿõ
èñïîëüçóåòñÿ
ïðèíöèï ïåðà
ñ
ñåðâîêîíòðîëåì 
(ñëåäÿùèì 
êîíòðîëåì),
ðèñóþùåãî
íà ïëîñêîé
èëè
öèëèíäðè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè.
Îíè
ïîçâîëÿþò
ïîëó÷àòü ñ
ïîìîùüþ ìàøèíû
÷åðòåæè, òî÷íîñòü
êîòîðûõ  âïîëíå
äîñòà­òî÷íà
äëÿ öåëåé,
ñêàæåì
àðõèòåêòóðû,
êàðòîãðàôèè
è ò. ï. Íî ñëåäó­åò
îòìåòèòü è
îäèí
íåäîñòàòîê -
êðàéíå ìåäëåííóþ
ðàáîòó
ìåõàíè÷åñ­êèõ
ñèñòåì ïî 
ñðàâíåíèþ  ñî 
ñêîðîñòüþ 
ýëåêòðîííûõ 
ïðîöåññîâ  â
êîìïüþòåðå.
Òàê, äëÿ òîãî
÷òîáû 
èçîáðàçèòü  êîíôèãóðàöèè,
ðàññ÷è­òàííûå
êîìïüþòåðîì
çà äîëè
ñåêóíäû,
òðåáóþòñÿ
ìèíóòû, à
èíîãäà äà­æå
÷àñû.
Ïåðâûé
ñåðüåçíûé
ïðîðûâ â
êîìïüþòåðíîé
ãðàôèêå
ñâÿçàí 
ñ ñîç­äàíèåì
ýëåêòðîííîãî
ãðàôîïîñòðîèòåëÿ
- äèñïëåÿ,  íà 
êîòîðîì
âèçó­àëüíàÿ
èíôîðìàöèÿ
âîçíèêàåò
òåì æå
ñïîñîáîì è ñ
òîé  æå
ñêîðîñòüþ,
÷òî è â
ýëåêòðîííîëó÷åâîé
òðóáêå
òåëåâèçîðà.
Ïîÿâèëîñü,  òàêèì
îá­ðàçîì,
ñðåäñòâî 
ïîñòðîåíèÿ  ãðàôè÷åñêèõ 
èçîáðàæåíèé,  äîñòàòî÷íî
áûñòðîå,
÷òîáû
ïîñïåâàòü
çà 
êîìïüþòåðîì.  Êðîìå  òîãî, 
ïîÿâèëàñü
âîçìîæíîñòü
ñîçäàâàòü
äâèæóùèåñÿ
è äàæå 
âçàèìîäåéñòâóþùèå
èçîáðà­æåíèÿ.
Íîâûå
ñïîñîáû
îáðàáîòêè
èçîáðàæåíèé
áûëè 
ðàçâèòû  íà  îñíîâå áîëåå
ñòàðûõ
ìåòîäîâ
àíàëèçà
ðèñóíêîâ è
ðàñïîçíàâàíèÿ
îáðàçîâ, îñ­íîâîé
êîòîðûõ â
ñâîþ î÷åðåäü
ïîñëóæèëè
ìåòîäû,
èñïîëüçóåìûå
 â ôî­òîãðàôèè.
Ýòè ñïîñîáû
ïîçâîëÿþò
çíà÷èòåëüíî
ëåã÷å 
îöåíèâàòü
îáðà­çû,
âîçíèêàþùèå
â ðàçëè÷íûõ
îáëàñòÿõ íàóêè,
òåõíîëîãèè
è ìåäèöèíû, à
â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ
òàêàÿ
âîçìîæíîñòü
ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî
áëàãîäà­ðÿ
èì.
Íåêîòîðûå
ìàòåìàòèêè
è
ïðîãðàììèñòû
èñïîëüçîâàëè
ýñòåòè÷åñêèå
âîçìîæíîñòè
ãðàôè÷åñêèõ
ñèñòåì ñ
íà÷àëà 60-õ
ãîäîâ. Áîëüøèíñòâî
èç íèõ
ñòàðàëèñü
íå óïîòðåáëÿòü
ñëîâî
èñêóññòâî”
â 
îòíîøåíèè  ñâîèõ
ðàáîò, óõîäÿ
òåì ñàìûì îò
êîíôëèêòà
ñ 
äåÿòåëÿìè 
èñêóññòâà.  Ëèøü
íåêîòîðûå 
ðåøàëèñü 
ìóæåñòâåííî  ïðîòèâîñòîÿòü 
êðèòèêàì,  ñ÷èòàÿ
êîìïüþòåðû
íîâûì
ñðåäñòâîì
ïîëó÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèé
èçîáðàçèòåëüíîãî
èñêóññòâà.
Ñâîé ìåòîä
îíè
íàçâàëè  “êîìïüþòåðíîå 
èñêóññòâî”,  ÷òî
âûçâàëî
ìíîæåñòâî
îæåñòî÷åííûõ
äèñêóññèé  î 
âîçìîæíîñòè  ñîçäàíèÿ
(õîòÿ áû â
ïðèíöèïå)
ïðîèçâåäåíèé
èñêóññòâà ñ
ïîìîùüþ  ìàøèíû.
Ïðè ýòîì ïðèâîäèëàñü
ìàññà
òåîðåòè÷åñêèõ
àðãóìåíòîâ
ïðîòèâ 
ýòîé èäåè. Ê
ñ÷àñòüþ, ýòè
äèñêóññèè
ìàëî âëèÿëè
íà
ïðåäñòàâèòåëåé
íîâîãî íàï­ðàâëåíèÿ,
è îíè
ïðîäîëæàëè
ñâîþ ðàáîòó,
íå îáðàùàÿ
âíèìàíèÿ íà
òå­îðåòè÷åñêèå
âîçðàæåíèÿ.
È íà ñåãîäíÿ
óæå ñîáðàíà
âïå÷àòëÿþùàÿ
êîë­ëåêöèÿ
êîìïüþòåðíîé
ãðàôèêè,
îòðàæàþùàÿ òåõíè÷åñêèé
ïðîãðåññ  - îò
ïðîñòîãî
ãðàôîïîñòðîèòåëÿ
äî
ãðàôè÷åñêèõ
äèñïëååâ ñ
âûñîêîé
ðàçðå­øàþùåé
ñïîñîáíîñòüþ.
Ãëàâà 8
ÐÈÑÓÍÎÊ
ÊÀÊ ÑÐÅÄÑÒÂÎ
ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Íåêîòîðûå
ñïåöèàëèñòû
ñîìíåâàþòñÿ
â òîì, ÷òî
âîçìîæåí
ïåðåâîä ñ
ÿçûêà ñëîâ
íà ÿçûê
ðèñóíêîâ,
ñ÷èòàÿ, ÷òî
êà÷åñòâî
âèçóàëüíîé
èí­ôîðìàöèè
íèæå ÷åì
êà÷åñòâî
ñëîâåñíîé. Ýòà
ïîçèöèÿ 
íåëîãè÷íà,
íàï­ðîòèâ,
ïîñëîâèöà:
Ëó÷øå îäèí
ðàç óâèäåòü,
÷åì ñòî  ðàç 
óñëûøàòü”
ïîäêðåïëåíà
àðãóìåíòàìè
èç îáëàñòè
ïñèõîëîãèè
âîñïðèÿòèÿ.
Âèçóàëüíûå
ñèñòåìû
ìîãóò íå
òîëüêî îïåðèðîâàòü
ñ
èíôîðìàöèîí­íûì
ïîòîêîì
ïðèáëèçèòåëüíî
â 10 ðàç áîëåå èíòåíñèâíûì,
÷åì âñå îñ­òàëüíûå
ñåíñîðíûå
ñèñòåìû
âìåñòå
âçÿòûå, íî è 
îáðàáàòûâàòü
èíôîð­ìàöèþ,
êîòîðàÿ
èìååò
äâóìåðíóþ è
äàæå (â èçâåñòíîé 
ñòåïåíè)
òðåõ­ìåðíóþ
ñòðóêòóðó.
Çàìåíà ñëîâ
ðèñóíêàìè -
ýòî ïåðåõîä
íå 
òîëüêî ê
íîâîé ñèñòåìå
êîäèðîâàíèÿ
èíôîðìàöèè,
íî è ê íîâûì 
ìåòîäàì
îïèñà­íèÿ
îêðóæàþùåãî
íàñ ìèðà.
Èñïîëüçóÿ
êàê ñðåäñòâî
îáùåíèÿ
ÿçûê, ò. å.
ëèíåéíûìè
óïîðÿäî­÷åííûå
ïî âðåìåíè â
âèäå ðÿäà
ñòðóêòóðû, ìû 
àâòîìàòè÷åñêè  îòäàåì
ïðåäïî÷òåíèå
ïðèíöèïàì
ëèíåéíîãî
óïîðÿäî÷èâàíèÿ. 
Ïðèìåðàìè  ìîãóò
ñëóæèòü
ïîíÿòèÿ
ïðè÷èííîñòè
èëè
èñòîðè÷åñêîãî
ïðîöåññà.   
òî  æå
âðåìÿ ÿçûê
èçîáðàæåíèé
ïîçâîëÿåò
íàáëþäàòü è
äðóãèå 
î÷åíü 
âàæíûå âèäû
âçàèìîñâÿçè
ÿâëåíèé,
íàïðèìåð  ïåòëåâèäíûå 
ïðîöåññû,
âçàèìî­äåéñòâèÿ,
ñåòè
êîììóíèêàöèé
è ò. ï. Âåñüìà
âåðîÿòíî,
÷òî íàøà
íåñ­ïîñîáíîñòü
ìûñëèòü
êàòåãîðèÿìè
ñåòåé â íåìàëîé
ñòåïåíè  ñâÿçàíà  ñ òåì,
÷òî ìû
ïðèâÿçàíû ê îïèñàòåëüíîé
ñèñòåìå
ÿçûêà ñëîâ.
Ýòè
ðàññóæäåíèÿ
ïîêàçûâàþò,
÷òî óòâåðæäåíèÿ 
ìíîãèõ
ïðîòèâíè­êîâ
èñïîëüçîâàíèÿ
èçîáðàçèòåëüíûõ
ñðåäñòâ
ñîâñåì íå 
îáÿçàíû  áûòü ñïðàâåäëèâûìè.
Íî åñëè îíè
ñ÷èòàþò,
÷òî ðèñóíêè 
îñòàâëÿþò
ãîðàçäî
ìåíüøå ìåñòà
äëÿ
ôàíòàçèè,
÷åì
íàïèñàííûé
òåêñò, òî èõ
ìîæíî îïðî­âåðãíóòü.
Äàæå
êîìèêñû
òðåáóþò
òâîð÷åñêîãî
äîîñìûñëåíèÿ
÷èòàòåëÿìè
(ýòî ñëåäóåò
èç òîãî
ôàêòà, ÷òî
íåêîòîðûå
ðîäèòåëè íå 
ïîíèìàþò
èõ ;). Ðèñóíêè
äåéñòâèòåëüíî
ôèêñèðóþò
îäèí èç
âèäîâ
èíôîðìàöèè áîëåå
æåñòêî, ÷åì
ñëîâà, íî
îñòàâëÿþò
äîñòàòî÷íî
ïðîáåëîâ,  êîòîðûå
äîë­æåí
çàïîëíèòü
ñàì çðèòåëü.
 êîìèêñàõ, 
íàïðèìåð, 
ëîãèêà  ñþæåòà,
ñîöèàëüíûå
îòíîøåíèÿ
äåéñòâóþùèõ
ëèö,
ýìîöèîíàëüíûé
ôîí - 
âñå ýòî
âîñïîëíÿåòñÿ
ôàíòàçèåé
çðèòåëÿ. Òî
æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî
è  â
îòíî­øåíèè
äðóãèõ
èçîáðàçèòåëüíûõ
ñðåäñòâ: ôèëüìîâ,
òåëåâèçîðà,
âèäåî è äð.
Ê
ñîæàëåíèþ, â
äèñêóññèÿõ,
êàñàþùèõñÿ
íîâûõ 
êîìïüþòåðíûõ
ðè­ñóíêîâ,
ñëèøêîì
çàìåòíîå
ìåñòî
çàíÿëè áàíàëüíûå
êîììåð÷åñêèå
èíòå­ðåñû.
Îñíîâíàÿ æå
ïðîáëåìà,
áîëåå
âàæíàÿ ñåãîäíÿ,  ÷åì 
êîãäà-ëèáî
ðàíüøå, íå
óïîìèíàëàñü
â ýòèõ
äèñêóññèÿõ,
à 
èìåííî,  êàê  ïðèäàòü
äîñòóïíóþ
äëÿ
ïîíèìàíèÿ
ôîðìó 
âñåì 
ñëîæíûì 
âçàèìîñâÿçÿì 
íàøåãî
ñîâðåìåííîãî
ìèðà, êàê ñäåëàòü
èõ îïèñàíèå
ïîíÿòíûì è
îäíîâðåìåííî
èñ÷åðïûâàþùèì.
×åì ñëîæíåå
ñèòóàöèÿ, òåì  áîëåå 
ïîäõîäÿùèì
ñòàíî­âèòñÿ
íàãëÿäíîå
èçîáðàæåíèå.
Îäíà
èç îñíîâíûõ
âîçìîæíîñòåé
äëÿ 
èñïîëüçîâàíèÿ
êîìïüþòåðíîé
ãðàôèêè, è, â
÷àñòíîñòè,
âçàèìîäåéñòâóþùèõ
èçîáðàæåíèé
îòêðûâàåòñÿ
â íàóêå è
îáðàçîâàíèè. 
Îêàçûâàåòñÿ,  ÷òî  èçîáðàæåíèÿ, 
ñîçäàííûå
êîìïüþòåðîì,
ïîçâîëÿþò
äàòü ñàìîå
óäèâèòåëüíîå
è  îäíîâðåìåííî
ñà­ìîå
ïîëíîå èç
âñåõ
èçâåñòíûõ
îïèñàíèå îãðîìíîãî 
ìíîæåñòâà
ìàòåìà­òè÷åñêèõ
ôîðìóë. Ïðè
ýòîì åùå ðàç
ïîäòâåðæäàåòñÿ
èäåÿ, ÷òî
êîäèðî­âàíèå
èíôîðìàöèè
â äâóìåðíîé
è  (â 
íåêîòîðîì 
ñìûñëå)  òðåõìåðíîé
ôîðìàõ
ïîçâîëÿåò
óâèäåòü
âçàèìîñâÿçè,
êîòîðûå äàæå
ïðåäñòàâèòü
ñå­áå áûëî
íåâîçìîæíî,  ãëÿäÿ  íà 
îòäåëüíûå 
ôîðìóëû.  Ïîìèìî  ýòîãî
êîìïüþòåð
äàåò âîçìîæíîñòü 
ýêñïåðèìåíòèðîâàòü;  ìàòåìàòèê  ìîæåò,
íàïðèìåð,
èññëåäîâàòü
âëèÿíèå
ïàðàìåòðà
íà ðåøåíèå
çàäà÷è,
êîíòðî­ëèðîâàòü
ðåçóëüòàòû
ïðåîáðàçîâàíèé
èëè íàõîäèòü 
ïðåäåëüíûå
çíà÷å­íèÿ 
áåñêîíå÷íûõ 
èòåðàöèîííûõ 
ïðîöåññîâ;  ôèçèê,  ñêàæåì,  ìîæåò
èññëåäîâàòü,
êàê âëèÿþò
ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ íà
ðåøåíèå
ðàçëè÷íûõ
ôè­çè÷åñêèõ  çàäà÷,  à 
õèìèê 
- 
ïðîàíàëèçèðîâàòü 
ïðîñòðàíñòâåííûå
ñòðóêòóðû
àãðåãàòîâ
ìîëåêóë.
Ãëàâà 9
ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ
ËÈ ÝÒÎ?
Êàêèì
æå îáðàçîì
äîñòèãàþòñÿ
ýòà äîñòóïíîñòü
äëÿ 
ïîíèìàíèÿ
è ÿñíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ?
Ïóòåâîäíóþ
íèòü äàþò
ïñèõîëîãèÿ  è
ýñòåòèêà
òåîðèè
èíôîðìàöèè.
Ñâîé âêëàä â
äîñòèæåíèå
ýòîé öåëè
âíîñÿò è ãàð­ìîíè÷åñêîå
ðàçìåùåíèå,
è áàëàíñ, è
ñèììåòðèÿ -
âñå ïðèíöèïû
óïîðÿ­äî÷èâàíèÿ,
ðàññìàòðèâàåìûå
â òåîðèè èíôîðìàöèè.
ßñíî,
÷òî ýòè
ïîíÿòèÿ
ïðèìåíèìû è
ê âèçóàëüíî
íàáëþäàåìûì
ÿâ­ëåíèÿì,
ïîñêîëüêó
çäåñü
èñïîëüçóþòñÿ
òå æå
ïðèíöèïû
îáðàçíîãî
ìûø­ëåíèÿ,
÷òî è 
ïðè 
ðàñïîçíàâàíèÿ, 
àíàëèçå  è 
îïèñàíèè 
ðàçëè÷íûõ
îáúåêòîâ
÷åëîâå÷åñêèì
ìîçãîì.  Êðîìå  òîãî, 
èìåííî  ñ 
ýòèìè ôîð­ìàëüíûìè
ïîíÿòèÿìè
ìû
ñâÿçûâàåì
êëàññè÷åñêèé
èäåàë 
êðàñîòû.  Åñëè ïðîèçâîëüíûé
íàáîð
äàííûõ
ïðåäñòàâèòü,
ñêàæåì, ñ
ïîìîùüþ
êîìïüþòå­ðà â
îïòèìàëüíîì
äëÿ
âèçóàëüíîãî
âîñïðèÿòèÿ
âèäå, 
òî  ìû
îäíîâðå­ìåííî
ïðèáëèçèìñÿ
è ê
õàðàêòåðèñòèêå
Ïðåêðàñíîãî.
Îäíàêî
èçó÷åíèå
ñîâðåìåííîãî
èñêóññòâà
ïîêàçàëî,  ÷òî  îäíîãî
ëèøü ñîîòâåòñòâèÿ
êëàññè÷åñêîìó
îïðåäåëåíèþ 
êðàñîòû 
íåäîñòàòî÷íî
äëÿ ñîçäàíèÿ
ïðîèçâåäåíèÿ
èñêóññòâà.
Íàðÿäó 
ñ 
ýòèì 
äîëæíî  áûòü
íå÷òî
âûçûâàþùåå
èíòåðåñ,
òðåáóþùåå
ñîïðè÷àñòíîñòè  è
çàñòàâëÿþùåå
äóìàòü.
Èç
ïñèõîëîãèè
òåîðèè
èíôîðìàöèè
èçâåñòíî,
÷òî
ïîäîáíûå
ñòèìó­ëû
âîçíèêàþò â
îñíîâíîì
áëàãîäàðÿ
íîâèçíå”, ò.  å. 
òîãäà, 
êîãäà ïåðåä
íàøèìè
ãëàçàìè
ïðåäñòàåò
íå÷òî, êàê
íàì êàæåòñÿ,
íîâîå, ÷åãî
ìû ðàíüøå íå
âñòðå÷àëè.
Ïðîèçâîäèìîå
ýñòåòè÷åñêîå
âïå÷àòëåíèå
è 
âûçûâàåìîå 
íîâèçíîé
óäèâëåíèå -
âîò ÷òî
ðîäíèò
ïðîèçâåäåíèÿ
èñêóññòâà ñ
èçîáðàæåíèÿìè,
ñîçäàâàåìûìè
íàóêîé.
Íàïðèìåð,
íàó÷íàÿ
ôîòîãðàôèÿ -
ýòî 
îòíþäü íå
ïðÿìîå
îòðàæåíèå
äåéñòâèòåëüíîñòè,
à ñêîðåå
ðåçóëüòàò  ñëîæíûõ
îï­òè÷åñêèõ
èëè äàæå
ýëåêòðîííûõ
ïðåîáðàçîâàíèé,
öåëü êîòîðûõ
ñîçäàòü
íàèáîëåå óçíàâàåìûé
è
çàïîìèíàþùèéñÿ
çðèòåëüíûé  îáðàç. 
Èñïîëüçóÿ
êðàñèòåëè èëè
ïîëÿðèçàöèîííûå
ôèëüòðû â
ìèêðîñêîïèè,  ìû  ïîëó÷àåì
íå÷òî,
íè÷åãî
îáùåãî íå èìåþùåå
ñ ðåàëüíîé
îêðàñêîé  îáúåêòà.  Ýòè
ñðåäñòâà
ñëóæàò
òîëüêî äëÿ òîãî,
÷òîáû
ñäåëàòü  íåêîòîðûå 
îáëàñòè
áîëåå
ðàçëè÷èìûìè.
Êîíå÷íî
æå, îáúåêòû 
èññëåäîâàíèÿ, 
íàïðèìåð 
êðèñòàëëè÷åñêèå
ñòðóêòóðû, è
ñàìè ïî ñåáå
ñîäåðæàò âñå
íåîáõîäèìîå
äëÿ
ðàñïîçíàâà­íèÿ
èõ
õàðàêòåðíûõ
÷åðò. Íî ëèøü
ïðåîáðàçîâàíèå
ñ 
ïîìîùüþ
ñðåäñòâ
ìèêðîñêîïèè
ïîçâîëÿåò
ñîçäàòü
èçîáðàæåíèÿ,
ñòîëü 
ïîðàçèòåëüíî
ïî­õîæèå íà
ïðîèçâåäåíèÿ
èñêóññòâà.
Ïðèðîäíûå
ôîðìû êàê  èñêóññòâî  ­ýòà
êîíöåïöèÿ
Ýðíñòà
Õåêêåëÿ
ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé 
âûðàæåíèå
ïîðàçè­òåëüíîé
âçàèìîñâÿçè
ìåæäó,
êàçàëîñü áû, ñîâåðøåííî
ðàçíûìè
îáëàñò­ÿìè
çðèòåëüíîãî
îïûòà.
Âèäèìî,
íàñòîÿùåå ýñòåòè÷åñêîå
óäîâîëüñòâèå
ìîæíî ïîëó÷èòü,
ïóòåøåñòâóÿ,
ñêàæåì, ïî  ïîâåðõíîñòè 
êðèñòàëëà  ñ
ïîìîùüþ ìèêðîñêîïà.
 ïîëå çðåíèÿ
ïîïàäàþò âñå
íîâûå 
îáëàñòè, íà­ïîìèíàþùèå
êàêèå-òî
ëàíäøàôòû, è
âñåãäà ìîæíî
åùå áîëüøå
óâåëè÷èòü
èçîáðàæåíèå,
÷òîáû
èññëåäîâàòü
áîëåå
ãëóáîêèå 
ïëàñòû 
ñòðóêòóðíûõ
âîçìîæíîñòåé.
Âî
ìíîãèõ
ôðàêòàëüíûõ
êàðòèíàõ  - 
ïåéçàæàõ” 
îáíàðóæèâàåòñÿ
óäèâèòåëüíîå
ñõîäñòâî ñ
êàðòèíàìè,
íàáëþäàåìûìè  ïîä 
ìèêðîñêîïîì.
Ãðóïïà
èññëåäîâàòåëåé,
çàíèìàþùàÿñÿ
èõ 
ñîçäàíèåì,  íîñèò 
íàçâàíèå
Êîìïëåêñíàÿ 
äèíàìèêà”,  ÷òî  îòðàæàåò 
íàó÷íóþ 
ñòîðîíó  åå äåÿ­òåëüíîñòè,
íî, è ýòî
î÷åíü âàæíî,
ñâîè ãðàôè÷åñêèå
èçîáðàæåíèÿ
îíè íàçâàëè
íîâûì, ñîçäàííûì
èìè
òåðìèíîì
ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ
ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß”.
Ýòî
ñèíòåòè÷åñêîå
íàçâàíèå âûðàæàåò
îäíîâðåìåííî
è 
àíàëîãè÷íûé  îïûò,
íàêîïëåííûé
âíà÷àëå áèîëîãàìè  è 
êðàñòàëëîãðàôàìè, 
èñïîëüçóþùèìè
ìèêðîñêîïû,
è
âïîñëåäñòâèè
ó÷åíûìè,
ðàáîòàþùèìè
â ðàçëè÷íûõ
îáëàñ­òÿõ
åñòåñòâåííûõ
íàóê - îò
ôèçèêè
ýëåìåíòàðíûõ
÷àñòèö 
ïî àñòðîíî­ìèè.
   Íî
ìåæäó
ìàòåìàòèêîé
è
åñòåñòâåííûìè
íàóêàìè  åñòü
ñóùåñòâåí­íîå
îòëè÷èå.
Âñåãäà
ìîæíî
ñêàçàòü,  ÷òî 
ó÷åíûé 
ôîòîãðàôèðóåò
ðå­àëüíî
ñóùåñòâóþùèå
â ïðèðîäå
ñòðóêòóðû è
âûäàåò, â  êàêîì-òî
ñìûñ­ëå,
êîïèè
ïðèðîäíûõ
îáúåêòîâ çà
ïðîèçâåäåíèÿ
èñêóññòâà.  Íî  òàêîå îáâèíåíèå  
íåâîçìîæíî  
ïðåäúÿâèòü  
ìàòåìàòèêó.   
Èñïîëüçîâàíèå
êîìïüþòåðà
ìîæåò
âíåøíå è
íàïîìèíàåò
èñïîëüçîâàíèå 
ìèêðîñêîïà,
íî òî, ÷òî ìû
ñ åãî ïîìîùüþ
ïîëó÷àåì,
ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé â ÷èñòîì
âè­äå ïðîäóêò
÷åëîâå÷åñêîãî
ðàçóìà è íå
îáÿçàòåëüíî
èìååò 
àíàëîãè  â ïðèðîäå. 
Ïîýòîìó 
êàðòèíû, 
êîòîðûå  
óäàëîñü  
ïîëó÷èòü   ãðóïïå
Êîìïëåêñíàÿ
äèíàìèêà” -
ýòî âîâñå
íå 
èñêëþ÷èòåëüíî  óäà÷íûé
çðè­òåëüíûé
îáðàç
ïðèðîäû,
íàïðîòèâ, èõ
îñíîâíîå 
ñîäåðæàíèå
ïðèäóìàíî
àâòîðàìè.
Ñëåäóåò
ïîä÷åðêíóòü,
÷òî ýòè
ðèñóíêè  ïîðàæàþò
ïîäëèííîé
íîâèçíîé è
îáîçíà÷àþò
ïðîáëåìû,
íàïðèìåð
êîìïëåêñíîñòü,
èññëåäîâà­íèå
êîòîðûõ
ìîæåò
îêàçàòüñÿ
ïëîäîòâîðíûì
è ïîëåçíûì.
Ìîæíî, êîíå÷­íî,
ãîâîðèòü,
÷òî òåìû
êîìïüþòåðíûõ
ðèñóíêîâ
íåîáû÷íû äëÿ
èñêóññò­âà,
÷òî îíè
èíòåðåñóþò
òîëüêî
ó÷åíûõ è òåõíîëîãîâ
è, 
ñòàëî 
áûòü, ìîãóò
ðàññìàòðèâàòüñÿ
êàê
èñêóññòâî
ëèøü â ðàìêàõ
íàó÷íî-òåõíè÷åñêîé
ñóáêóëüòóðû.
Íî â 
ýòîì 
îáâèíåíèè  íà÷èñòî 
èãíîðèðóåòñÿ  òîò ôàêò,
÷òî
ïðîáëåìàòèêó
êîìïëåêñíûõ
ñèñòåì
ìîæíî
îáíàðóæèòü
â ñàìîé
îñíîâå
áèîëîãè÷åñêîé
æèçíè è
ñîöèàëüíûõ  ñèñòåì,  â 
ïðîèñõîæäåíèè
Âñåëåííîé è
äàæå â
ôèëîñîôèè.
Òî åñòü â
ñàìîì äåëå
èñêóññòâî,
åñëè ñëåäîâàòü
îáû÷íûì
îïðåäåëåíèÿì.
È åñëè åãî è
ìîæíî
ñ÷èòàòü
íåíàñò­îÿùèì,
òî ëèøü ïî
òîé 
ïðè÷èíå,  ÷òî  îíî 
ñîçäàâàëîñü  ñ 
ïîìîùüþ
êîìïüþòåðà.
Ãëàâà 10
ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÃÎ
ÈÑÊÓÑÑÒÂÀ
Èñêóññòâî
ïðåäïîëàãàåò
îáùåíèå
ìåæäó õóäîæíèêîì  è
çðèòåëÿìè. Â
èäåàëüíîì
ñëó÷àå - ýòî 
çàìêíóòûé  öèêë: 
õóäîæíèê 
ïðåäñòàâëÿåò
çðèòåëÿì
ñâîþ ðàáîòó,
âûçûâàåò èõ
ðåàêöèþ è èñïîëüçóåò
åå  êàê
îá­ðàòíóþ
ñâÿçü,
ó÷èòûâàÿ, ñ
öåëüþ áûòü
ëó÷øå ïîíÿòûì,  îòêëèê
çðèòå­ëåé â
ñâîåé
äàëüíåéøåé
ðàáîòå.
Åñòü
ëè
ïðåïÿòñòâèÿ
ðàñïðîñòðàíåíèþ 
êîìïüþòåðíîé  ãðàôèêè  è
êîìïüþòåðíîãî
èñêóññòâà?
Ïîêà ýòî  áûëè 
ëèøü 
ðèñóíêè, 
ñîçäàííûå
ãðàôîïîñòðîèòåëåì,
ãëàâíîé
ïðîáëåìîé
áûëè 
ñîìíåíèÿ 
ñïåöèàëèñòîâ,
èñòîðèêîâ
èñêóññòâà,
èñêóññòâîâåäîâ
è, áîëåå
âñåãî,
âëàäåëüöåâ
ãà­ëåðåé.
Ïðîáëåìà
çàêëþ÷àëàñü
â òîì, ÷òî êîìïüþòåð
ìîæåò
ñîçäàòü ëþ­áîå
÷èñëî
îäèíàêîâî
ñîâåðøåííûõ
îðèãèíàëîâ”,  ÷òî  ìîæåò  íàíåñòè
óùåðá
áèçíåñó,
ñâÿçàííîìó
ñ èñêóññòâîì.
Çàòåì áûëî
îáíàðóæåíî,
÷òî
íåêîòîðûå
èç ïåðâûõ
ðàáîò,
ñîçäàííûõ
êîìïüþòåðîì,  â 
ïîëíîé  ìåðå
óíèêàëüíû è
íåâîñïðîèçâîäèìû.
È èõ
äåéñòâèòåëüíî
ñòîèëî
êîëëåêöèî­íèðîâàòü.
Ñåé÷àñ
ñèòóàöèÿ
ñëîæíåå.
Ñâÿçàíî ýòî
ñ òåì, 
÷òî 
èçîáðàæåíèÿ
ñîçäàþòñÿ
íå
ãðàôîïîñòðîèòåëåì,
à íà ýêðàíå
äèñïëåÿ. Ñ  ýêðàíà
îíè äîëæíû
áûòü “ïåðåïèñàíû”
è
çàôèêñèðîâàíû,
ñêàæåì, ñ
ïîìîùüþ íåèñê­àæàþùåé,
êîíòðîëèðóåìîé
êîìïüþòåðîì,
ôîòîãðàôèè.
Íî çäåñü
ñðàçó æå
âñïëûâàþò
ñòàðûå
îãîâîðêè, è
âíîâü
âîçíèêàåò
äèñêóññèÿ
î  òîì,
ìî­æåò ëè
ôîòîãðàôèÿ
áûòü
ïðîèçâåäåíèåì
èñêóññòâà.
Åñòü è
äðóãèå
ñïîñîáû
ïåðåíîñà
èçîáðàæåíèé
ñ 
ýêðàíà  äèñïëåÿ íà
áóìàãó â
íåèñêàæåííîì
âèäå, â
÷àñòíîñòè,
ñ ïîìîùüþ 
ñòðóéíûõ  è
ëàçåðíûõ
ïðèíòåðîâ
íîâîãî
ïîêîëåíèÿ. Ê
ñîæàëåíèþ 
ïîäîáíàÿ
òåõíèêà åùå
íåäàâíî
áûëà äîñòóïíà
ëèøü
íåìíîãèì
èññëåäîâàòåëÿì,  è
ïîýòîìó
áîëüøèíñòâî
íîâûõ ðåçóëüòàòîâ,
äàæå òåõ, â
êîòîðûõ  ïîëó÷åíû
òðåõ­ìåðíûå
îáðàçû ñ
ïåðñïåêòèâîé,
îñòàåòñÿ íà
ñëàéäàõ  èëè
ôîòîáóìàãå.
Ñàìûå áîëüøèå
ñëîæíîñòè
âîçíèêàþò ñ
äâèæóùèìèñÿ
èçîáðàæåíèÿìè,
êî­òîðûå
íåëüçÿ
âûñòàâèòü â
ãàëåðåÿõ è
êîòîðûìè
òðóäíî
çàèíòåðåñîâàòü
òåõ, êòî òîðãóåò 
ïðîèçâåäåíèÿìè 
òðàäèöèîííîãî 
èñêóññòâà.  ×òîáû
ñäåëàòü ýòè
ïðîèçâåäåíèÿ
äîñòóïíûìè
äëÿ 
ïóáëèêè,  íóæíî
èñïîëüçî­âàòü
àáñîëþòíî
íîâûå
ñðåäñòâà,
íàïðèìåð  òå 
îðãàíèçàöèè,  êîòîðûå
èìåþò äåëî ñ
òåëåâèçèîííûìè
èçîáðàæåíèÿìè
òèïà
áèáëèîòåê
âèäåîêàñ­ñåò
èëè
òåëåñòàíöèé.
Íåïîíÿòíî,
÷òî ïðîèñõîäèò:
òî ëè ïðîñòî
ñëèø­êîì ìàë
ñïðîñ íà
ñîçäàííûå
êîìïüþòåðîì
äâèæóùèåñÿ 
îáðàçû,  òî  ëè
âñåìó âèíîé
ìåäëèòåëüíîñòü
ñðåäñòâ ìàññîâîé 
èíôîðìàöèè,
íåæåëàíèå
ïåðåêëþ÷èòüñÿ
íà íîâûé
ïóòü?
Êàêèì
æå ñïîñîáîì
ìîæåò
êîìïüþòåðíûé” 
õóäîæíèê 
ïðåäñòàâèòü
ñâîè ðàáîòû
øèðîêîé
ïóáëèêå?
Ïðîñòåéøèé
ìåòîä, 
êàê 
ìíå 
êàæåòñÿ,
ñëåäîâàòü òðàäèöèÿì
ãàëåðåé è
âûñòàâëÿòü
âíà÷àëå 
ïåðåíåñåííûå  íà
áóìàãó ñòàòè÷åñêèå
èçîáðàæåíèÿ.
À 
êîãäà 
ýòè 
ïðîèçâåäåíèÿ  áóäóò
ïðèçíàíû,
îòêðîþòñÿ
íîâûå
âîçìîæíîñòè
è  äëÿ 
äâèæóùèõñÿ
èçîáðàæå­íèé.
Âïðî÷åì, â
ïîñëåäíåå
âðåìÿ, â
ñâÿçè ñ âíåçàïíûì
âçðûâíûì ðîñ­òîì
ðàñïðîñòðàíåííîñòè
ïåðñîíàëüíûõ 
êîìïüþòåðîâ, 
ïîÿâëÿþòñÿ
âîç­ìîæíîñòè
ïåðåäà÷è
ïîäîáíûõ
ïðîèçâåäåíèé 
èñêóññòâà  â 
âèäå ñïåöè­àëüíûõ
ôàéëîâ.
Áîëåå òîãî,
òàêèå ôàéëû
ìîãóò 
ñîäåðæàòü  íå
îáÿçà­òåëüíî
ãðàôè÷åñêóþ
èíôîðìàöèþ,
íî ïðîñòî
íàáîð
êîýôôèöèåíòîâ”
äëÿ
âîñïðîèçâåäåíèÿ
êàðòèíû ïî
èçâåñòíîìó
àëãîðèòìó.
Ãëàâà 11
ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ
È
ÒÅÕÍÎËÎÃÈß
ÑÅÃÎÄÍß
Ðàçóìíàÿ
ñòðàòåãèÿ
áèçíåñà è
ïðåâîñõîäíîå 
êà÷åñòâî
ïðîäóêöèè íå
ïîìîãóò,
åñëè
ïóáëèêà ýòó
ïðîäóêöèþ
îòâåðãàåò.
Îäíîé èç
ïðè÷èí, ïî
êîòîðûì
êîìïüþòåðíîå
èñêóññòâî
îòâåðãàåòñÿ,
ìîæåò 
ñëóæèòü  òî, ÷òî
îíî ñîçäàíî
ñ ïîìîùüþ
òåõíè÷åñêè
î÷åíü
ñëîæíûõ 
óñòðîéñòâ, êî­òîðûå
ñàìè ïîïàëè
íûí÷å ïîä
ñèëüíûé
ïåðåêðåñòíûé  îãîíü.
Âûñòóïëå­íèå
â çàùèòó
òåõíîëîãèè
(ñ öåëüþ
óçàêîíèòü
åå  êàê 
òâîð÷åñêèé
ìå­òîä)
íàòàëêèâàåòñÿ
íà
íåîáõîäèìîñòü
ðåøåíèÿ
âîïðîñà:  “Íå 
ñëåäóåò ëè îãðàäèòü
èñêóññòâî
îò
âìåøàòåëüñòâà
ìàøèí â 
ñîâðåìåííîì  ìèðå,
òåì áîëåå,
÷òî è ñàì ïî
ñåáå
òåõíîëîãè÷åñêèé
ïðîöåññ  âûçûâàåò
îï­ðåäåëåííûå
ñîìíåíèÿ?”
Îòâåò 
ïðîñò. 
Òåõíîëîãèÿ, 
íåîáõîäèìàÿ  äëÿ
êîìïüþòåðíîãî
èñêóññòâà,
ñóùåñòâåííî
îòëè÷àåòñÿ
îò 
èñïîëüçóåìûõ
â
ýíåðãåòèêå
è
ïðîìûøëåííîñòè,
êîòîðûå â
îñíîâíîì  è 
îêàçàëèñü  ïîä
îãíåì
êðèòèêè.
Êîìïüþòåð -
ýòî ïðîäóêò 
èíôîðìàöèîííîé
òåõíîëîãèè,
ïîòðåáëÿþùèé
ìèíèìóì
ýíåðãèè è
ìàòåðèàëüíûõ
ðåñóðñîâ. È
íåò ïðè÷èí
îãðàíè÷èâàòü
ïðèìåíåíèå
ñèñòåì
îáðàáîòêè
äàííûõ ëèøü 
íàóêîé, òåõ­íîëîãèåé,
áèçíåñîì è
óïðàâëåíèåì,
èñêëþ÷àÿ
ñôåðó
èñêóññòâà.
Âîïðîñ
î çàìåíå 
òðàäèöèîííûõ 
ìåòîäîâ 
òâîð÷åñòâà  õóäîæíèêà
ýëåêòðîíèêîé
èëè
ìàøèíàìè  íå  ñòîèò. 
Íàïðîòèâ,  èìååò  ñìûñë
èñ­ïîëüçîâàòü
âñå
âîçìîæíûå
ñðåäñòâà,
÷òîáû
ðàñøèðèòü
âîçìîæíîñòè
äëÿ
ñàìîâûðàæåíèÿ
õóäîæíèêà.
Èñêóññòâî
êàæäîé
ýïîõè 
ïîëüçîâàëîñü
ñîâ­ðåìåííûìè
ñðåäñòâàìè,
÷òîáû
ïðèäàòü ôîðìó
òîìó íîâîìó,
÷òî ïîÿâëÿ­ëîñü
â
õóäîæåñòâåííîì
òâîð÷åñòâå.
Ïðè ýòîì
íèêîãäà íå
ðóêîâîäñòâî­âàëèñü
òîëüêî
òåõíè÷åñêèìè
èëè ïðàêòè÷åñêèìè  öåëÿìè,
ñóùåñòâåííóþ
ðîëü èãðàëè è
ñïîñîáû
îáùåíèÿ  ëþäåé  äðóã 
ñ 
äðóãîì.  Ïî÷åìó  æå
íåëüçÿ
èñïîëüçîâàòü
êîìïüþòåð -
ýòî
óíèâåðñàëüíîå
ñðåäñòâî
îáùåíèÿ è
ïîëó÷åíèÿ
èíôîðìàöèè,
êîòîðîå
çàâîåâûâàåò  äàæå  íàøè  ñîáñòâåííûå
äîìà - â
êà÷åñòâå
èíñòðóìåíòà
äëÿ ñîçäàíèÿ
ïðîèçâåäåíèé
èñêóññòâà?
ÈÑÒÎ×ÍÈÊÈ
1. Èíôîðìàöèîííûå
êàíàëû
ñåðâåðîâ 279.0 è 200.25
â ñèñòåìå 5020.
2. Õ.-Î.
Ïàéòãåí,
Ï.Õ.Ðèõòåð.
Êðàñîòà
ôðàêòàëîâ.
Îáðàçû êîìïëåêñíûõ
äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåì. “ÌÈД, 1993
ã.:
3. Ãåðáåðò
Â. Ôðàíêå.
Ïðåëîìëåíèå
íàóêè â èñêóññòâå.
© 2011 Ðåôåðàòû