|
Рефераты Главная Краткое содержаниепроизведений Архитектура Астрономия Банковское делои кредитование Безопасностьжизнедеятельности Биографии Биология Биржевое дело Бухгалтерия и аудит Военное дело География Геодезия Геология Гражданская оборона Животные Здоровье Земельное право Иностранные языкилингвистика Искусство Историческая личность История История отечественногогосударства и права История политичискихучений История техники Компьютерные сети Компьютеры ЭВМ Криминалистика икриминология Культурология Литература Литература языковедение Маркетинг товароведениереклама Математика Материаловедение Медицина Медицина здоровье отдых Менеджмент (теорияуправления и организации) Металлургия Москвоведение Музыка Наука и техника Нотариат Общениеэтика семья брак Педагогика Право Программированиебазы данных Программное обеспечение Промышленностьсельское хозяйство Психология Радиоэлектроникакомпьютеры и перифирийные устройства Реклама Религия Сексология Социология Теория государства и права Технология Физика Физкультура и спорт Философия Финансовое право Химия - рефераты Хозяйственное право Ценный бумаги Экологическое право Экология Экономика Экономикапредпринимательство Юридическая психология |
Электрон в слоеМинистерство Образования, Молодежи и Спорта Республики Молдова Государственный университет Молдовы Физический факультет Кафедра теоретической физики Курсовая Работа Тема: Электрон в слое. Руководитель работы: Климин С.Н. Работу выполнил студент 3-го курса: Радченко Андрей Кишинёв 1997 г. Микрочастица (электрон) в слое. Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений. Она состоит в следующем : Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом : ì -ћ2/(2m)׶2/¶x2 + U0 , x < -a Ù ï H = í -ћ2/(2m0)׶2/¶x2 , -a < x < a ï î -ћ2/(2m)׶2/¶x2 + U0 , x > a Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ; m0 - эффективная масса электрона в области II. Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области : ì ¶2YI/¶x2 + 2m/ћ2×(E - U0)YI = 0 , x £ -a ï í ¶2YII/¶x2 + 2m0/ћ2×E×YI = 0 , -a £ x £ a ï î ¶2YIII/¶x2 + 2m/ћ2×(E - U0)×YI = 0 , x ³ a Область I : Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу : YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x). Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит, YI(x) = A×exp(n×x). Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется : YII(x) = C×exp(i×k×x) + D×exp(-i×k×x). Функция состояния для третьей области выглядит так : YIII(x) = F×exp(-n×x). Где k = (2m0×E/ћ2)1/2 n = (2m×(U0-E)/ћ2)1/2. Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем : ¨ Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям. ¨ В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них. ¨ Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии. Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций : YI(x=-a) = YII(x=-a) YII(x=a) = YIII(x=a) YI¢(x=-a)/m = YII¢(x=-a)/m0 YII¢(x=a)/m0 = YIII¢(x=a)/m А в наших определениях этих функций это выглядит так : A×exp(-n×a) = C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a) m-1×A× n×exp(-n×a) = i×k×/m0×(C×exp(-i×k×a) - D×exp(i×k×a)) C×exp(i×k×a) + D×exp(-i×k×a) = F×exp(-n×a) i×k×/m0×(C×exp(i×k×a) - D×exp(-i×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a). Теперь составим определитель : |exp(-n×a) -exp(-i×k×a) -exp(i×k×a) 0 | |m-1×n×exp(-n×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m0×i×k×exp(i×k×a) 0 | |0 exp(i×k×a) exp(-i×k×a) -exp(-n×a) | |0 1/m0×i×k×exp(i×k×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)| Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии: ((n/m)2 - (k/m0)2)×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0)×Cos(2×k×a) = 0. Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона. Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки. C = F×exp(-n×a)×{exp(i×k×a) + exp(-3×i×k×a) ×( i×k/m0 - n/m)/(n/m + i×k/m0)} D = C×exp(-2×i×k×a)×( i×k/m0 - n/m)/(n/m + i×k/m0) A = exp(n×a)×(C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)) . Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения : A = RA×F C = RC×F D = RD×F. RA, RC, RD - известные постоянные. Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки. Действительно : YI(x) = F×RA×exp(n×x) YII(x) = F×( RC×exp(i×k×x) + RD×exp(-i×k×x)). YIII(x) = F×exp(-n×x). I1 + I2 + I3 = 1 Где I1 = |F|2×|RA|2×òQexp(2×n×x)×dx = |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(2×n×x) = = |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a) I2 = |F|2×RC = |F|2×+ i×((exp(-2×i×k×a) - exp(2×i×k×a))×RC*×RD/(2×k) I3 = |F|2×òWexp(-2×n×x)×dx = |F|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a) |F|2 = ((exp(2×i×k×a) - exp(-2×i×k×a))×RC×RD*/(2×i×k) + -1. Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона. Электрон в слоях Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так. То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек. Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто: U(x)=U(x+2a) (1) Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера. Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера: ¶2Y/¶x2 + 2m/ћ2×(E - U0)Y = 0 следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем. Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом: r = exp(i 2ak) Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm , где m=0, ±1, ±2,... (2) Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси. Рассмотрим область I: Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: ¶2YI/¶x2 + 2m2/ћ2×(E - U0)YI = 0 , 0 > x > -a его решение выглядит просто: YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x). Где n = (2m2 (U0-E) /ћ2)1/2 Рассмотрим область II: Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: ¶2YII/¶x2 + 2m1/ћ2×E YII = 0 , a ³ x ³ 0 его решение выглядит просто: YII(x) = C×exp(i×p×x) + D×exp(-i×p×x). Где p = (2m1E/ћ2)1/2 Рассмотрим область III: ¶2YIII/¶x2 + 2m2/ћ2×(E - U0)YIII = 0 , 2a > x > a его решение выглядит просто: YIII(x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)). Запишем граничные условия: YI(x=0) = YII(x=0) YII(x=a) = YIII(x=a) YI¢(x=0)/m = YII¢(x=0)/m0 YII¢(x=a)/m0 = YIII¢(x=a)/m Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D: A+B=C+D C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a)) (A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1 (C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a)) Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель : |1 1 -1 -1 | |exp(i×k×2a+n×a) exp(i×k×2a-n×a) -exp(i×p×a) -exp(-i×p×a) | |n/m2 -n/m2 -i×p/m1 i×p/m1 | |n/m2exp(i×k×2a+n×a) -n/m2×exp(i×k×2a-n×a) - i×p/m1×exp(i×p×a) i×p/m1×exp(-i×p×a) | и приравняем его к нулю. Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона. Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже. a=10; U=10; m1=4; m2=1 0.1135703312666857 0.6186359585387896 0.2019199605676639 0.3155348518478819 0.05047267055441365 1.263391478912778 0.4544326758658974 2.137353840637548 0.808172718170137 2.479933076698526 0.4544326758658974 6.168062551132728 5.611693924351967 1.820461802850339 1.529165865668653 1.023077302091622 a=10 U=10 m1=2 m2=1 0.1032788024178655 0.2324238959628721 0.41331603936642 0.6460490460448886 0.930750939555283 1.26759057783714 1.656787195799296 2.098624192369327 2.593469359607937 3.141805331837109 3.744277072860902 5.887485640841992 a=10 U=10 m1=1 m2=1 0.05408120469105441 0.2163802958297131 0.4870681554965061 0.86644533469418 1.354969224117534 1.953300729714778 2.662383817919513 4.418966218448088 7.961581805911094 a=10 U=10 m1=0.5 m2=1 0.118992095909544 4.249561710930034 1.068004282376146 0.4754473139332004 5.78216724725356 2.955345679469631 1.895012565781256 a=10 U=10 m1=.25 m2=1 0.2898665804439349 4.30026851446248 2.479039415645616 1.132264393019809 |
|