|
Рефераты Главная Краткое содержаниепроизведений Архитектура Астрономия Банковское делои кредитование Безопасностьжизнедеятельности Биографии Биология Биржевое дело Бухгалтерия и аудит Военное дело География Геодезия Геология Гражданская оборона Животные Здоровье Земельное право Иностранные языкилингвистика Искусство Историческая личность История История отечественногогосударства и права История политичискихучений История техники Компьютерные сети Компьютеры ЭВМ Криминалистика икриминология Культурология Литература Литература языковедение Маркетинг товароведениереклама Математика Материаловедение Медицина Медицина здоровье отдых Менеджмент (теорияуправления и организации) Металлургия Москвоведение Музыка Наука и техника Нотариат Общениеэтика семья брак Педагогика Право Программированиебазы данных Программное обеспечение Промышленностьсельское хозяйство Психология Радиоэлектроникакомпьютеры и перифирийные устройства Реклама Религия Сексология Социология Теория государства и права Технология Физика Физкультура и спорт Философия Финансовое право Химия - рефераты Хозяйственное право Ценный бумаги Экологическое право Экология Экономика Экономикапредпринимательство Юридическая психология |
Метод Дэвидона Флетчера ПауэллаМинистерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации. Новосибирский Государственный Технический Университет. Реферат по исследованию операций на тему «Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла». Вариант 2. Факультет: АВТ. Кафедра: АСУ. Группа: АС-513. Студент: Бойко Константин Анатольевич. Преподаватель: Ренин Сергей Васильевич. Дата: 19 октября 1997 года. Новосибирск Введение. Первоначально метод был предложен Дэвидоном (Davidon [1959] ), а затем развит Флетчером и Пауэллом (Fletcher, Powell [1963] ). Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла называют также и методом переменной метрики. Он попадает в общий класс квазиньютоновских процедур, в которых направления поиска задаются в виде -Djf(y). Направление градиента является, таким образом, отклоненным в результате умножения на -Dj , где Dj - положительно определенная симметрическая матрица порядка n х n, аппроксимирующая обратную матрицу Гессе. На следующем шаге матрица Dj+1 представляется в виде суммы Dj и двух симметрических матриц ранга один каждая. В связи с этим схема иногда называется схемой коррекции ранга два. Алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла. Рассмотрим алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных. В частности, если функция квадратичная, то, как будет показано позднее, метод вырабатывает сопряженные направления и останавливается после выполнения одной итерации, т.е. после поиска вдоль каждого из сопряженных направлений. Начальный этап. Пусть >0 - константа для остановки. Выбрать точку х1 и начальную симметрическую положительно определенную матрицу D1. Положить y1 = x1, k = j = 1 и перейти к основному этапу. Основной этап. Шаг 1. Если çêf(yj) çê< e, то остановиться; в противном случае положить dj = - Djf(yj) и взять в качестве lj оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0. Положить yj+1 = yj + ljdj. Если j < n, то перейти к шагу 2. Если j = n, то положить y1 = xk+1 = yn+1, заменить k на k+1, положить j=1 и повторить шаг 1. Шаг 2. Построить Dj+1 следующим образом : , (1) где pj = ljdj, (2) qj = f(yj+1) - f(yj). (3) Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1. Пример. Рассмотрим следующую задачу : минимизировать (x1 - 2)4 + (x1 - 2x2)2. Результаты вычислений методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1. Таблица 1. Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла. k xk f(xk) j yj f(yj) f(yj) çêf(yj) çê D dj lj yj+1 1 (0.00, 3.00) (52.00) 1 2 (0.00, 3.00) (52.00) (2.70, 1.51) (0.34) (-44.00, 24.00) (0.73, 1.28) 50.12 1.47 (44.00, -24.00) (-0.67, -1.31) 0.062 0.22 (2.70, 1.51) (2.55, 1.22) 2 (2.55, 1.22) (0.1036) 1 2 (2.55, 1.22) (0.1036) (2.45, 1.27) (0.0490) (0.89, -0.44) (0.18, 0.36) 0.99 0.40 (-0.89, 0.44) (-0.28, -0.25) 0.11 0.64 (2.45, 1.27) (2.27, 1.11) 3 (2.27, 1.11) (0.008) 1 2 (2.27, 1.11) (0.008) (2.25, 1.13) (0.004) (0.18, -0.20) (0.04, 0.04) 0.27 0.06 (-0.18, 0.20) (-0.05, -0.03) 0.10 2.64 (2.25, 1.13) (2.12, 1.05) 4 (2.12, 1.05) (0.0005) 1 2 (2.12, 1.05) (0.0005) (2.115, 1.058) (0.0002) (0.05, -0.08) (0.004, 0.004) 0.09 0.006 (-0.05, 0.08) 0.10 (2.115, 1.058) На каждой итерации вектор dj для j = 1, 2 определяется в виде Djf(yj), где D1 – единичная матрица, а D2вычисляетсяпоформулам(1) - (3). При k = 1 имеем p1 = (2.7, -1.49)T, q1 = (44.73, -22,72)T. На второй итерации p1 = (-0.1, 0.05)T, q1 = (-0.7, 0.8)T и, наконец, на третьей итерации p1 = (-0.02, 0.02)T, q1 = (-0.14, 0.24)T. Точка yj+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления dj при начальной точке yj для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке y2 = (2.115, 1.058)T на четвертой итерации, так как норма çêf(y2) çê= 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1. Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла. Лемма 1 показывает, что каждая матрица Dj положительно определена и dj является направлением спуска. Для доказательства леммы нам понадобится : Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Еn, точка x Î cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d ¹ 0, x + ld Î S при всех l Î (0, d) для некоторого d > 0}. Определение. Пусть x и y - векторы из Еn и |xTy| - абсолютное значение скалярного произведения xTy. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : |xTy| £ ||x|| ||y||. Лемма 1. Пусть y1 Î Еn, а D1 – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим yj+1 = yj + ljdj, где dj = –Djf(yj), а lj является оптимальным решением задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0. Пусть, кроме того, для j = 1, ..., n – 1 матрица Dj+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(yj) ¹ 0 для j = 1, ..., n, то матрицы D1, ..., Dn симметрические и положительно определенные, так что d1, ..., dn – направления спуска. Доказательство. Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D1 симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме того, f(y1)Td1 = –f(y1)TD1f(y1) < 0, так как D1 положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d1 определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j £ n – 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x – ненулевой вектор из En, тогда из (1) имеем (4) Так как Dj – симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица Dj1/2, такая, что Dj = Dj1/2Dj1/2. Пусть a = Dj1/2x и b = Dj1/2qj. Тогда xTDjx = aTa, qjTDjqj = bTb и xTDjqj = aTb. Подставляя эти выражения в (4), получаем : (5) По неравенству Шварца имеем (aTa)(bTb) ³ (aTb)2. Таким образом, чтобы доказать, что xTDj+1x ³ 0, достаточно показать, что pjTqj > 0 и bTb > 0. Из (2) и (3) следует, что pjTqj = ljdjT[f(yj+1) – f(yj)]. (6) По предположениюf(yj) ¹ 0, и Dj положительно определена, так что f(yj)TDjf(yj) > 0. Кроме того, dj – направление спуска, и, следовательно, lj > 0. Тогда из (6) следует, что pjTqj > 0. Кроме того, qj ¹ 0, и , следовательно, bTb= qjTDjqj > 0. Покажем теперь, что xTDj+1x > 0. Предположим, что xTDj+1x = 0. Это возможно только в том случае, если (aTa)(bTb) = (aTb)2 и pjTx = 0. Прежде всего заметим, что (aTa)(bTb) = (aTb)2 только при a = lb, т.е. Dj1/2x = lDj1/2qj. Таким образом, x = lqj. Так как x ¹ 0, то l ¹ 0. Далее, 0 = pjTx = l pjTqj противоречит тому, что pjTqj > 0 и l ¹ 0. Следовательно, xTDj+1x > 0, т.е. матрица Dj+1 положительно определена. Поскольку f(yj+1) ¹ 0 и Dj+1 положительно определена, имеем f(yj+1)Tdj+1 = –f(yj+1)T Dj+1f(yj+1) < 0. Отсюда по теореме 1 следует, что dj+1 – направление спуска. Лемма доказана. Квадратичный случай. В дальнейшем нам понадобиться : Теорема 2. Пусть f(x) = cTx + 1 xTHx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n. Рассмотрим Н - сопряженные векторы d1, , dn и произвольную точку x1. Пусть lk для k=1,…,n-оптимальное решение задачи минимизации f(xk + ldk) при l Î Е1 и xk+1 = xk + ldk. Тогда для k = 1, …, n справедливы следующие утверждения : 1. f(xk+1)Tdj = 0, j = 1, …, k; 2. f(x1)Tdk = f(xk)Tdk; 3. xk+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при условии x - x1 Î L(d1, …, dk), где L(d1, …, dk) – линейное подпространство, натянутое на векторы d1, , dk, то есть В частности, xn+1 – точка минимума функции f на Еn. Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d1, …, dn, генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица Dn+1, полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице ГессеН. Теорема 3. Пусть Н – симметричная положительно определенная матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = cTx + 1 xTHx при условии x Î En. Предположим, что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y1 и начальной положительно определенной матрице D1. В частности, пусть lj, j = 1, , n, – оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0 и yj+1 = yj + ljdj, где dj = -Djf(yj), а Dj определяется по формулам (1) – (3). Если f(yj) ¹ 0 для всех j, то направления d1, …, dn являются Н - сопряженными и Dn+1 = H-1. Кроме того, yn+1 является оптимальным решением задачи. Доказательство. Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1 £ j £ n, справедливы следующие утверждения : 1. d1, …, dj линейно независимы. 2. djTHdk = 0 для i ¹ k; i, k £ j. 3. Dj+1Hpk, или, что эквивалентно, Dj+1Hdk = dk для 1 £ k £ j, pk = lkdk. Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства Hpk = H(lkdk) = H(yk+1 - yk) = f(yk+1) –f(yk) = qk. (7) В частности, Hp1 = q1. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем , т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1. Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j £ n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 diTf(yj+1) = 0 для i £ j. По индуктивному предположению di = Dj+1Hdi, i £ j. Таким образом, для i £ j имеем 0 = diTf(yj+1) = diTHDj+1f(yj+1) = –diTHdj+1. Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1. Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1. Полагая k £ j+1, имеем . (8) Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что Dj+2Hpj+1 = pj+1. Теперь пусть k £ j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то pj+1THpk = lklj+1dj+1THdk = 0. (9) По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем . (10) Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем . Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1. Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что . Умножая это равенство на и учитывая, что утверждение 2 справедливо для j+1, получаем, что . По условию теоремы , а по лемме 1 матрица положительно определена, так что . Так как H положительно определена, то и, следовательно, . Отсюда следует, что , и так как d1, , dj линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d1, …, dj+1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d1, …, dn следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n. Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d1, …, dn, то . Так как D имеет обратную, то , что возможно только в том случае, если . Наконец, является оптимальным решением по теореме 2. Теорема доказана. Список литературы. 1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982. 2. Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975. |
|