|
Рефераты Главная Краткое содержаниепроизведений Архитектура Астрономия Банковское делои кредитование Безопасностьжизнедеятельности Биографии Биология Биржевое дело Бухгалтерия и аудит Военное дело География Геодезия Геология Гражданская оборона Животные Здоровье Земельное право Иностранные языкилингвистика Искусство Историческая личность История История отечественногогосударства и права История политичискихучений История техники Компьютерные сети Компьютеры ЭВМ Криминалистика икриминология Культурология Литература Литература языковедение Маркетинг товароведениереклама Математика Материаловедение Медицина Медицина здоровье отдых Менеджмент (теорияуправления и организации) Металлургия Москвоведение Музыка Наука и техника Нотариат Общениеэтика семья брак Педагогика Право Программированиебазы данных Программное обеспечение Промышленностьсельское хозяйство Психология Радиоэлектроникакомпьютеры и перифирийные устройства Реклама Религия Сексология Социология Теория государства и права Технология Физика Физкультура и спорт Философия Финансовое право Химия - рефераты Хозяйственное право Ценный бумаги Экологическое право Экология Экономика Экономикапредпринимательство Юридическая психология |
Векторная алгебраВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число. Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами: a+b=b+a (коммутативность) (а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность) a + 0=a (наличие нулевого элемента ) a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента), где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a. Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами: l*(a+b)= l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения векторов) (l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел) l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность) 1*a=a (умножение на единицу) Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство: aa+bb+…gc=0. (1) Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов. Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы: a=a1e1+a2e2+a3e3. Числа a1,a2,a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}. Два вектора a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} ,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1=lb1,a2=lb2,a3=lb3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3} и c={c1,c2,c3} является равенство : | a1 a2 a3 | | b1 b2 b3| = 0 | c1 c2 c3 | Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны суммам соответствующих координат: a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l : lа= {lа1,la2, la3}. Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними: (а, b) = | а |*| b | cosj. За j принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами: (a, b)= (b, а) (коммутативность), (a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов), l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно умножения на число), (a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b. Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов : a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле: (a,b)=a1b1+a2b2+a3b3 Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} может быть вычислен по формуле: где и Косинусы углов вектора a={a1,a2,a3} с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а: , , . Направляющие косинусы обладают следующим свойством: cos2a+cos2b+cos2g=1 Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами: Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b (аддитивность), Пр. е a = Пр. е la (однородность). Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса. В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными. b b c c a a правило левой руки правило правой руки Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой . Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k: aVb=| a || b |*sinj Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами: aVb=-bVa (антикоммутативность), aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов), l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число), aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны. Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1,a2} {b1,b2}, то : aVb=a1b1-a2b2. |
|