ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 1 я2ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ я2Системы счисления и способы перевода чисел я2из одной системы в другую. Системой счисления называют систему приемов и правил, позво-
ляющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым
числом и его представлением в виде совокупности конечного числа
символов. Множество символов, используемых для такого представле-
ния, называют цифрами. В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр
системы счисления делятся на я1позиционныея0 и я1непозиционныея0. В я1непозиционныхя0 системах любое число определяется как неко-
торая функция от численных значений совокупности цифр, представ-
ляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соот-
ветствуют некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной
системы - римская система счисления. В вычислительной технике не-
позиционные системы не применяются. Систему счисления называют я1позиционнойя0, если одна и та же
цифра может принимать различные численные значения в зависимости
от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих
заданное число. Пример такой системы - арабская десятичная систе-
ма счисления. В позиционной системе счисления любое число записывается в
виде последовательности цифр: A = я7+я0 aя4m-1я0 aя4m-2я0 ... aя4kя0 ... aя40я0 , aя4-1я0 ... aя4-lя0 (I) Позиции, пронумерованные индексами k (-l < k < m-1) называ-
ются разрядами числа. Сумма m+l соответствует количеству разрядов
числа (m - число разрядов целой части числа, l - дробной части). Каждая цифра aя4kя0 в записываемой последовательности может при-
нимать одно из N возможных значений. Количество различных цифр
(N), используемых для изображения чисел в позиционной системе
счисления, называется основанием системы счисления. Основание N
указывает, во сколько раз единица k+1 -го разряда больше единицы
k -го разряда, а цифра aя4kя0 соответствует количеству единиц k -го
разряда, содержащихся в числе. Таким образом, число может быть представлено в виде суммы:
(A)я4Nя0 = я7+я0(aя4m-1я0Nя5m-1я0 + aя4m-2я0Nя5m-2я0 +...+ aя40я0 + aя4-1я0Nя5-1я0 +...+ aя4-lя0Nя5-lя0) (II) Основание позиционной системы счисления определяет ее назва-
ние. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная,
десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно
указать используемую систему счисления, будем заключать число в
скобки и в индексе указывать основание системы счисления.
. - 2 - В двоичной системе счисления используются только две цифры:
0 и 1. Любое двоичное число может быть представлено в следующей
форме: (A)я42я0 = я7+я0(aя4m-1я02я5m-1я0 + aя4m-2я02я5m-2я0 + ... + aя40я0 + aя4-1я02я5-1я0 + ... + aя4-lя02я5-lя0) Например, двоичное число
(10101,101)я42я0 = 1*2я54я0+0*2я53я0+1*2я52я0+0*2+1+1*2я5-1я0+0*2я5-2я0+1*2я5-3я0 = (21,625)я410 В восьмеричной системе счисления для записи чисел использу-
ется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7), а в шестнадцатеричной - шест-
надцать (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).
Таблица для перевода чисел из одной системы счисления в другую.
ДДДДДДДДДДДДДДВДДДДДДДДДДДДДДДДДДВДДДДДДДДДДДДДДВДДДДДДДДДДДДДДДД Двоичные і Восьмеричные і Десятичные і Шестнадцате- числа і числа і числа і ричные числа
ДДДДДДДДДДДДДДЕДДДДДДДДДДДДДДДДДДЕДДДДДДДДДДДДДДЕДДДДДДДДДДДДДДДД 0,0001 і 0,04 і 0,0625 і 0,1 0,001 і 0,1 і 0,125 і 0,2 0,01 і 0,2 і 0,25 і 0,4 0,1 і 0,4 і 0,5 і 0.8 1 і 1 і 1 і 1 10 і 2 і 2 і 2 11 і 3 і 3 і 3 100 і 4 і 4 і 4 101 і 5 і 5 і 5 110 і 6 і 6 і 6 111 і 7 і 7 і 7 1000 і 10 і 8 і 8 1001 і 11 і 9 і 9 1010 і 12 і 10 і A 1011 і 13 і 11 і B 1100 і 14 і 12 і C 1101 і 15 і 13 і D 1110 і 16 і 14 і E 1111 і 17 і 15 і F 10000 і 20 і 16 і 10
ДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДД Для хранения и обработки данных в ЭВМ используется двоичная
система, так как она требует наименьшего количества аппаратуры по
сравнению с другими системами. Все остальные системы счисления
применяются только для удобства пользователей. В двоичной системе очень просто выполняются арифметические и
логические операции над числами.
. - 3 - Таблица сложения: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Таблица умножения: 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 Многоразрядные числа складываются, вычитаются, умножаются и
делятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Перевод числа из одной системы в другую выполняется по уни-
версальному алгоритму, заключающемуся в последовательном я2делении
я1целойя0 части числа и образующихся я1целых частныхя0 ная2 основаниея0 новой
системы счисления, записанное я2в исходной я0системея2 я0счисления, и в
последующем я2умножениия0 я1дробнойя0 части и я1дробных частейя0 получающихся
я1произведенийя0 на то же основание, записанное я2вя0 я2 исходной я0системе
счисления. При переводе я1целойя0 части получающиеся в процессе последова-
тельного деления остатки представляют цифры целой части числа в
новой системе счисления, записанные цифрами исходной системы
счисления. Последний остаток является я2старшейя0 цифрой переведенно-
го числа. При переводе я1дробнойя0 части числа я2целыея0 части чисел, получаю-
щихся при умножении, не участвуют в последующих умножениях. Они
представляют собой цифры дробной части исходного числа в новой
системе счисления, изображенные числами старой системы. Значение
первой целой части является я2первойя0 цифрой после запятой переве-
денного числа.
.. - 4 - Пример перевода числа 30,6 из десятичной системы в двоичную: я1Перевод целой части Перевод дробной части Последовательное Остатки Целые части - Последовательное деление разряды пере- умножение веденной дроби 0, 6 X 2 30 / 2 0 ДДДДДДї ДДДДДДДДДДДДДДДДДДД 15 / 2 1 ДДДДДїі ЪДДДД 1, 2 7 / 2 1 ДДДДїіі і X 3 / 2 1 ДДДїііі і 2 1 / 2 1 ДДїіііі і ДДДДДДДДДДДДДДДДДДД 0 ііііі іЪДДД 0, 4 ііііі іі X ііііі іі 2 ііііі іі ДДДДДДДДДДДДДДДДДДД ііііі ііЪДД 0, 8 ііііі ііі X ііііі ііі 2 ііііі ііі ДДДДДДДДДДДДДДДДДДД ііііі іііЪД 1, 6 ііііі іііі Результат: 11110,1001 Если при переводе дробной части получается периодическая
дробь, то производят округление, руководствуясь заданной точ-
ностью вычислений.
Пример перевода числа 111110,01 из двоичной системы в десятичную. я1Перевод целой части Перевод дробной части 0, 0100 X 1010 _111110|я_1010я. ДДДДДДДДДДДДДДДДДДД я_1010 я. |110 ДДДДДДДДї ЪДДДДД 10, 1000 1011 і і X я_1010я. і і 1010 10 ДДДДДДДДДДДДЕї і ДДДДДДДДДДДДДДДДДДД іі іЪДДД 101, 0000 іі іі Результат: 62,25
. - 5 - Примечание 1: 1010 - основание десятичной системы счисления
в двоичной записи. Примечание 2: десятичные эквиваленты разрядов искомого числа
находим по таблице. При переводе чисел из любой системы счисления в десятичную
удобнее пользоваться непосредственно формулой (II): (775)я48я0 = 7*8я52я0 + 7*8 + 5 = (509)я410 Для осуществления автоматического перевода десятичных чисел
в двоичную систему счисления необходимо вначале каким-то образом
ввести их в машину, Для этой цели обычно используется двоично-де-
сятичная запись чисел или представление этих чисел в кодах ASCII. При двоично-десятичной записи каждая цифра десятичного числа
заменяется четырехзначным двоичным числом (тетрадой): (983,65)я410я0 = (1001 1000 0011, 0110 0101)я42-10 При записи чисел в кодах ASCII цифрам от 0 до 9 поставлены
в соответствие восьмиразрядные двоичные коды от 00110000 до
00111001. ЭВМ, предназначенные для обработки экономической информации,
например IBM AT, позволяют производить арифметические операции в
десятичной системе счисления над числами, представленными в дво-
ично-десятичных кодах и кодах ASCII. Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления использу-
ются только программистами и операторами ЭВМ, так как представле-
ние чисел в этих системах более компактное, чем в двоичной, и пе-
ревод из этих систем в двоичную и обратно выполняется очень прос-
то (основания этих систем представляют собой целую степень числа
2). Для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно каж-
дый восьмеричный разряд представить тремя двоичными (триадой), а
для перевода шестнадцатиричного числа - четырьмя (тетрадой): (376,51)я48я0 = (011 111 110, 101 001)я42 (1AF8)я416я0 = (0001 1010 1111 1000)я42 ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 2 я2ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ я2Формы представления чисел в ЭВМ. Разряд двоичного числа представляется в ЭВМ некоторым техни-
ческим устройством, например, триггером, двум различным состояни-
ям которого приписываются значения 0 и 1. Группа таких устройств,
предназначенная для представления в машине многоразрядного числа,
называется регистром. Структура двоичного регистра, представляющего в машине
n-разрядное слово: ЪДДДВДДДВДДДВДДДВДДДї іn-1іn-2і...і 1 і 0 і АДДДБДДДБДДДБДДДБДДДЩ Отдельные запоминающие элементы пронумерованы от 0 до n-1.
Количество разрядов регистра определяет точность представления
чисел. Путем соответствующего увеличения числа разрядов регистра
может быть получена любая точность вычислений, однако это сопря-
жено с увеличением количества аппаратуры (в лучшем случае зависи-
мость линейная, в худшем - квадратичная). В ЭВМ применяются две основные формы представления чисел:
полулогарифмическая с плавающей запятой и естественная с фиксиро-
ванным положением запятой. При представлении чисел с фиксированной запятой положение
запятой закрепляется в определенном месте относительно разрядов
числа и сохраняется неизменным для всех чисел, изображаемых в
данной разрядной сетке. Обычно запятая фиксируется перед старшим
разрядом или после младшего. В первом случае в разрядной сетке
могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1,
во втором - только целые числа. Для кодирования знака числа используется старший ("знако-
вый") разряд. При выполнении арифметических действий над правильными дро-
бями могут получаться двоичные числа, по абсолютной величине
больше или равные единице, что называетсяя1 переполнением разрядной
я1сетки.я0 Для исключения возможности переполнения приходится масшта-
бировать величины, участвующие в вычислениях. Диапазон представления правильных двоичных дробей: 2я5-(n-1)я0 я7,я0 і(A)ія7 ,я0 1 - 2я5-(n-1)я0 .
.. - 2 - Числа, которые по абсолютной величине меньше единицы младше-
го разряда разрядной сетки, называются я2машинным нулемя0. Диапазон представления целых двоичных чисел со знаком в
n-разрядной сетке: 0 я7,я0 і(A)ія7 ,я0 2я5n-1я0 - 1 . Использование представления чисел с фиксированной запятой
позволяет упростить схемы машины, повысить ее быстродействие, но
представляет определенные трудности при программировании. В нас-
тоящее время представление чисел с фиксированной запятой исполь-
зуется как основное только в микроконтроллерах. В универсальных ЭВМ основным является представление чисел с
плавающей запятой. Представление числа с плавающей запятой в об-
щем случае имеет вид: A = я7+я0m * Nя5+pя0 , где N - основание системы счисления, p - целое число, называемое порядком числа A, m - мантисса числа A (іmі [A]я4пря0 = 1 - (-0,110111) = 1,110111 Прямой код целого числа получается по формуле: я7( я72я0 я5 я0 A, если Aя7.я00, [A]я4пря0 =я7 * я72я010я5n-1 я0-я5 я0A, если A [A]я4пря0 = 00110111 A = -110111 --> [A]я4пря0 = 10000000 - (-110111) = 10110111 В ЭВМ прямой код применяется только для представления поло-
жительных двоичных чисел. Для представления отрицательных чисел.
применяется либо дополнительный, либо обратный код, так как над
. - 4 -
отрицательными числами в прямом коде неудобно выполнять арифмети-
ческие операции. Формула для образования дополнительного кодая4 я0дроби: [A]я4допя0 = 10 + A. Формула для образования обратного кодая4 я0дроби: [A]я4обря0 = 10 - 10я5-(n-1)я0 + A.
Например, при n = 8, для A = -0,1100001
[A]я4допя0 = 10 + (-0,1100001) = 1,0011111
[A]я4обря0 = 10-10я5-7я0+(-0,1100001) = 1,1111111-0,1100001 = 1,0011110. Формула для образования дополнительного кодая4 я0целого числа: [A]я4допя0 = 10я5nя0 + A. Формула для образования обратного кодая4 я0целого числа: [A]я4обря0 = 10я5nя0 - 1 + A.
Например, при n = 8, для A = -1100001
[A]я4допя0 = 100000000 + (-1100001) = 10011111
[A]я4обря0 = 100000000-1+(-1100001) = 11111111-1100001 = 10011110. Таким образом, правила для образования дополнительного и об-
ратного кода состоят в следующем: - для образования дополнительного кода отрицательного числа
необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые
разряды инвертировать (заменить 1 на 0, а 0 - на 1), после чего
прибавить 1 к младшему разряду; - для образования обратного кода отрицательного числа необ-
ходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые раз-
ряды инвертировать. Примечание: при данных преобразованиях нужно учитывать раз-
мер разрядной сетки. Прямой код можно получить из дополнительного и обратного по
тем же правилам, которые служат для нахождения дополнительного и
обратного кодов. Замена вычитания двоичных чисел Aя41 я0-я4 я0Aя42я0 сложением с дополне-
ниями [Aя41я0]я4пр я0+я4 я0[-Aя42я0]я4допя0 или [Aя41я0]я4пр я0+я4 я0[-Aя42я0]я4обря0 позволяет опериро-
вать со знаковыми разрядами так же, как и с цифровыми. При этом
перенос из старшего знакового разряда, если он возникает, учиты-
вается по разному для обратного и дополнительного кодов: - при использовании дополнительного кода единица переноса из
. - 5 -
знакового разряда отбрасывается; - при использовании обратного кода единица переноса из зна-
кового разряда прибавляется к младшему разряду суммы (осуществля-
ется так называемый циклический перенос). Пример: складываем числа Aя41я0=0,10010001 и Aя42я0=-0,01100110
При использовании обратного кода получим: [Aя41я0]я4пр я0 = 0,10010001 + [Aя42я0]я4обря0 = 1,10011001 ДДДДДДДДДДД 10,00101010 АДДДДДДД +1 ДДДДДДДДДДД Результат: 0,00101011
При использовании дополнительного кода получим: [Aя41я0]я4пр я0 = 0,10010001 + [Aя42я0]я4допя0 = 1,10011010 ДДДДДДДДДДД Результат: 0,00101011 Если знаковый разряд результата равен нулю, то в получено
положительное число, которое представлено в прямом коде. Если в
знаковом разряде единица, то результат отрицательный и представ-
лен в обратном или дополнительном коде. Для того, чтобы избежать ошибок при выполнении бинарных опе-
раций, перед переводом чисел в обратные и дополнительные коды не-
обходимо выравнивать количество разрядов прямого кода операндов. При сложении чисел, меньших единицы, в машине быть получены
числа, по абсолютной величине большие единицы. Для обнаружения
переполнения разрядной сетки в ЭВМ применяютсяя2 модифицированные
прямой, обратный и дополнительный коды. В этих кодах знак кодиру-
ется двумя разрядами, причем знаку "плюс" соответствует комбина-
ция 00, а знаку "минус" - комбинация 11. Правила сложения для модифицированных кодов те же, что и для
обычных. Единица переноса из старшего знакового разряда в модифи-
цированном дополнительном коде отбрасывается, а в модифицирован-
ном обратном коде передается в младший цифровой разряд. Признаком переполнения служит появление в знаковом разряде
суммы комбинации 01 при сложении положительных чисел (положитель-
ное переполнение) или 10 при сложении отрицательных чисел (отри-
цательное переполнение). Старший знаковый разряд в этих случаях
. - 6 -
содержит истинное значение знака суммы, а младший является стар-
шей значащей цифрой числа. Для коррекции переполнения число нужно
сдвинуть в разрядной сетке на один разряд вправо, а в освободив-
шийся старший знаковый разряд поместить цифру, равную новому зна-
чению младшего знакового разряда. После корректировки переполне-
ния мантиссы результата необходимо увеличить на единицу порядок
результата. ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 3 я2ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ я2Формы представления чисел в ЭВМя0 я2(продолжение) Система вещественных чисел, применяемая при ручных вычисле-
ниях, предполагается бесконечной и непрерывной, т.е. не существу-
ет никаких ограничений на диапазон используемых чисел и точность
их представления. Однако в компьютерах реализация такой системы на аппаратном
уровне была бы нецелесообразной, хотя программно может быть реа-
лизована любая точность вычислений. Нецелесообразность аппаратной
реализации вычислений с произвольной точностью вызвана тем, что
такие вычисления требуют неоправданно большого расхода основных
машинных ресурсов: памяти и процессорного времени. Во всех компьютерах размеры регистров и ячеек памяти фикси-
рованы, что ограничивает систему представления чисел. Ограничения
касаются как диапазона, так и точности представления чисел, т.е.
система машинных чисел оказывается конечной и дискретной. В любой универсальной ЭВМ существует несколько различных
форматов представления как для чисел с фиксированной, так и для
чисел с плавающей запятой. На некоторые из форматов имеются меж-
дународные стандарты, и поэтому такие форматы являются общими для
ЭВМ, построенных различными фирмами на различной элементной базе.
Следует отметить, что нестандартные форматы обычно являются неяв-
но специализированными для определенных областей применения, при-
чем разработчики аппаратуры могут не указать в документации, для
чего был предназначен тот или иной формат. С точки зрения программиста важно, какие из форматов данных
обрабатываются аппаратными средствами данной ЭВМ, а какие - толь-
ко программными средствами. Операции над данными любого формата,
который не поддерживается аппаратурой, выполняются очень медлен-
но. Любой формат данных, который превышает размер регистров про-
цессора, не пригоден для быстрых вычислений. Для представления я2целых чиселя0 в ЭВМ обычно применяются 8-,
16-, 32- и 64-битовый стандартные форматы, причем интерпретация
чисел как знаковых или беззнаковых обычно возлагается на програм-
миста или на компиллятор с языка высокого уровня.
.. - 2 - Для представленияя2 чисел с плавающей запятойя0 также существует
несколько стандартных форматов, различающихся по точности, но
имеющих одинаковую структуру следующего вида: n-1 n-2 0 ЪДДДТДДДВДДДВДДДДДВДДДТДДДВДДДВДДДДДВДДДї і є і і ... і є і і ... і і АДДДРДДДБДДДБДДДДДБДДДРДДДБДДДБДДДДДБДДДЩ і АДДДДДДДДТДДДДДДДДЩАДДДДДДДДТДДДДДДДЩ і смещенный модуль знак порядок мантиссы мантиссы Порядок p задается в так называемой смещенной форме: если
для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению
порядка прибавляют смещение, равное (2я5k-1я0 - 1). Использование
смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как
над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложе-
ния и вычитания порядков. Кроме того, использование смещенного
порядка упрощает операцию сравнения нормализованных чисел с пла-
вающей запятой, сводя ее к операции сравнения целых чисел. Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной ман-
тиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые
числа, т.е. любое двоичное целое число, содержащее не более m
разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный
формат. я2Форматы представления чисел в ПЭВМ IBM AT Рассмотрим стандартные и нестандартные форматы, используемые
для представления чисел в ПЭВМ IBM AT. В дальнейшем будем использовать на диаграммах следующие
обозначения: S - знаковый разряд; E - поле порядка; M - поле мантиссы; X - неиспользуемая область; D - цифра упакованного десятичного целого числа, представ-
ленная в двоично-десятичном коде. Примечание: основной процессор эффективен только при опера-
циях с целыми числами, разрядность которых не превышает разряд-
ности его внутренних регистров; в остальных случаях более эффек-
тивен математический сопроцессор.
.. - 3 - я1Форматы представленияя0 я1двоичных целых чисел 1) 8-разрядное целое число без знака (поддерживается всеми
процессорами серии 80x86) 7 0 ЪДДДДДДДДДДДДДДДї і і АДДДДДДДДДДДДДДДЩ 2) 7-разрядное целое число со знаком (поддерживается всеми
процессорами серии 80x86) 7 6 0 ЪДВДДДДДДДДДДДДДї іSі і АДБДДДДДДДДДДДДДЩ 3) 16-разрядное целое число без знака (поддерживается всеми
процессорами серии 80x86) 15 0 ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї і і АДДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДЩ 4) Word Integer (целое слово) - 15-разрядное целое число со
знаком (поддерживается всеми процессорами серии 80x86 и математи-
ческим сопроцессором) 15 0 ЪДВДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї іSі і АДБДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДЩ 5) 32-разрядное целое число без знака (поддерживается всеми
процессорами серии 80x86, но операции с этим форматом выполняются
эффективно только 32-разрядными микропроцессорами, т.е. начиная с
i386SX)
31 0
ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї

АДДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДЩ 6) Short Integer (короткое целое) - 31-разрядное целое число
со знаком (поддерживается всеми процессорами серии 80x86 и мате-
матическим сопроцессором, но операции с этим форматом выполняются
эффективно только 32-разрядными микропроцессорами)
.. - 4 -
31 0
ЪДВДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї
Sі і
АДБДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДЩ 7) 64-разрядное целое число без знака (частично поддержива-
ется 32-разрядными микропроцессорами)
64 0
ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї

АДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДЩ 8) Long Integer (длинное целое) - 63-разрядное целое число
со знаком (поддерживается математическим сопроцессором и частично
поддерживается 32-разрядными микропроцессорами)
64 0
ЪДВДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї
Sі і
АДБДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДЩ я1Форматы представленияя0 я1десятичных целых чисел 1) Неупакованное 1-разрядное десятичное целое число без зна-
ка в двоично-десятичном коде (поддерживается всеми процессорами
серии 80x86) 7 4 3 0 ЪДДДДДДДВДДДДДДДї і0 0 0 0і D і АДДДДДДДБДДДДДДДЩ 2) 1-разрядное десятичное целое число без знака в коде ASCII
(поддерживается всеми процессорами серии 80x86) 7 4 3 0 ЪДДДДДДДВДДДДДДДї і0 0 1 1і D і АДДДДДДДБДДДДДДДЩ 3) Packed Decimal - упакованное 2-разрядное десятичное целое
без знака (поддерживается всеми процессорами серии 80x86) 7 4 3 0 ЪДДДДДДДВДДДДДДДї і Dя41я0 і Dя40я0 і АДДДДДДДБДДДДДДДЩ 4) Packed Binary Coded Decimal - упакованное 18-разрядное
десятичное целое число со знаком (поддерживается математическим
сопроцессором)
. - 5 - 79 0 ЪДВДДДДВДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї іSі X іDя417я0Dя416я0 ... Dя41я0 Dя40я0і АДБДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДЩ я1Форматы представления вещественных чисел 1) Single Format (обычный формат) я1 я0или я1 я0Short Real (короткое
вещественное) - короткое вещественное нормализованное число со
знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой
(так как старший бит мантиссы нормализованного числа всегда равен
1, то он не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для
хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).
31 30 23 22 0
ЪДВДДДДДДДДДДДДДДДВДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї
Sі E і M і
АДБДДДДДДДДДДДДДБДБДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДЩ 2) Double Format(двойной формат) или Long Real (длинное ве-
щественное) - длинное вещественное нормализованное число со
знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой
(так как старший бит мантиссы нормализованного числа всегда равен
1, то он не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для
хранения мантиссы, составляет только 52 разряда).
63 62 52 51 0
ЪДВДДДДДДДДДВДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї
Sі E і M і
АДБДДДДДБДДДБДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДЩ 3) Extended Format (расширенный формат) или я1 я0Single Extended
(обычный расширенный формат) - вещественное число в расширенном
формате со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной
мантиссой. Этот формат позволяет хранить ненормализованные числа
и соответствует стандарту IEEE 754. 79 78 64 63 0 ЪДВДДДДДДДДДВДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї іSі E і M і АДБДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДБДДДДДЩ ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 4 я2ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ УЗЛОВ ЭВМ я2Физические формы представления информации Вся информация в ЭВМ кодируется совокупностью цифр. В свою
очередь цифры отображаются квантованными по двум уровням сигнала-
ми. Следует отметить, что в цифровых устройствах сигналы изменя-
ются не непрерывно, а в дискретные моменты времени, обозначаемые
целыми числами (t = 0, 1, ... n). Временной интервал между сосед-
ними моментами дискретного времени называетсяя2 тактомя0. Эти интер-
валы являются одинаковыми для синхронных устройств и неодинаковы-
ми для асинхронных устройств. На физическом уровне сигналы могут быть представлены одним
из трех основных способов: потенциальным, импульсным или динами-
ческим. При я2потенциальномя0 способе 0 соответствует низкий уровень
напряжения, а 1 - высокий. Потенциальный сигнал характеризуется
амплитудами низкого (Uя40я0) и высокого (Uя41я0) уровней напряжения, а
также временами нарастания и спада сигнала, которые именуются пе-
редним (tя4пя0) и задним (tя4зя0) фронтами соответственно. При я2импульсномя0 способе 0 и 1 соответствуют импульсы различ-
ной полярности, либо 0 соответствует отсутствие, а 1 - наличие
импульса. Импульсный сигнал характеризуется амплитудой импульса
Uя4mя0, шириной (продолжительностью импульса по основанию) tя4ия0, и пе-
редним tя4пя0 и задним tя4зя0 фронтами импульса. В идеальном случае им-
пульсные сигналы должны появляться в тактовые моменты. В действи-
тельности имеет место запаздывание импульсного сигнала относи-
тельно тактового момента на времяя7 tя0. Прия2 динамическомя0 способе представления информации двум воз-
можным значениям переменной соответствует наличие либо отсутствие
серии импульсов. В электронных схемах и устройствах, входящих в состав ЭВМ,
применяется потенциальный способ представления информации, а для
передачи информации между ЭВМ, а также при работе с магнитными
носителями информации применяются импульсный и динамический спо-
собы. я2Математические модели схем ЭВМ Наиболее общей моделью любой схемы, узла или устройства ЭВМ
является многополюсный черный ящик с я2lя0 входами и я2mя0 выходами. На
входы модели поступают, а на выходах появляются сигналы, кванто-
ванные по двум уровням.
.. - 2 - ЪДДДДДДДДДДї xя41я0 ДДДДДґ ГДДДДД yя41 xя42я0 ДДДДДґ ГДДДДД yя42 . і Черный і . . і ящик і . . і і . xя4lя0 ДДДДДґ ГДДДДД yя4m АДДДДДДДДДДЩ где xя4iя0 (i = 1, 2, ..., l) - входные сигналы, yя4jя0 (j = 1, 2, ..., m) - выходные сигналы. Множество значений, которые может принимать переменная xя4iя0,
называютя2 алфавитомя0 переменной xя4iя0. В современных ЭВМ алфавит вход-
ных и выходных сигналов состоит из двух букв: 0 и 1. На входы модели поступают в каждый тактовый момент упорядо-
ченные наборы букв, называемыея2 словамия0. Множество всех допустимых
наборов слов называется я2входным алфавитомя0 X данной схемы. Анало-
гично множество всех допустимых комбинаций, образуемых выходными
сигналами, называется я2выходным алфавитомя0 Y. Математические модели отражают зависимость между входными и
выходными переменными схемы посредством системы уравнений: yя4jя0(t) = f{xя41я0(t),xя42я0(t)...,xя4lя0(t), qя41я0(t),qя42я0(t),,...,qя4sя0(t)} (I)
где j = 1,2,...,m, а переменные qя41я0,qя42я0,...,qя4sя0 отражают внутренние
состояния схемы. Если переменные yя4iя0 не зависят от внутреннего состояния схе-
мы, то одинаковым наборам входных переменных соответствует один и
тот же набор выходных переменных. Такие схемы называются я2комбина-
я2ционнымия0. При этом система уравнений может быть записана в виде: yя4jя0(t) = f{xя41я0(t),xя42я0(t)...,xя4lя0(t)}, где j = 1,2,...,m. (II) Функции такого вида могут принимать только конечное число
значений, и зависят от аргументов, также принимающих конечное
число значений. Такие функции называютсяя2 переключательнымия0. В дальнейшем мы будем рассматривать переключательные функ-
ции, которые могут принимать только два значения - 0 и 1, и аргу-
менты которых также могут принимать только одно из этих двух зна-
чений. Такие переключательные функции получили названиея2 булевых
я2функцийя0. Если выходные переменные yя4iя0(t) зависят не только от входных
переменных, но и от внутреннего состояния схемы, то для полного
ее описания необходимо указать еще одну систему уравнений:
. - 3 -
qя4nя0(t+1) = я7fя0{xя41я0(t),xя42я0(t)...,xя4lя0(t), qя41я0(t),qя42я0(t),,...,qя4sя0(t)}, (III)
где n = 1,2,...,s. Эта система отражает зависимость внутреннего состояния схемы
в (t+1) такте от ее состояния и входных сигналов в такте t. Схемы, описываемые уравнениями I и III, получили название
я2цифровых автоматовя0. Для задания цифрового автомата должны быть указаны: 1) входной алфавит слов X; 2) выходной алфавит слов Y; 3) алфавит внутренних состояний Q; 4) начальное состояние автомата qя40я0; 5) функция переходов A(q,x); 6) функция выходов B(q,x). я2Функция переходовя0 определяет зависимость состояния автомата
q(t+1) в момент времени t+1 от состояния автомата q(t) и входного
сигнала x(t) в момент t. я2Функция выходовя0 определяет зависимость выходного сигнала
y(t) от состояния автомата q(t) и входного сигнала x(t). Автомат, описываемый системой уравнений я7( я72я0 q(t+1) = A{q(t),x(t)}, я7* я72я0 y(t) = B{q(t),x(t)} я79 называется я2автоматом Милия0. Автомат, выходной сигнал которого y(t) в тактовый момент t
зависит только от состояния автомата q(t) и не зависит от входно-
го сигнала, называетсяя2 автоматом Мурая0 и описывается системой: я7( я72я0 q(t+1) = A{q(t),x(t)}, я7* я72я0 y(t) = B{q(t)}. я79 ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 5 я2ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ УЗЛОВ ЭВМ Если для двух любых состояний qя4iя0 и qя4jя0 автомата имеется вход-
ной сигнал, переводящий автомат из состояния qя4iя0 в qя4jя0, то такой
автомат называется автоматом с я2полной системой переходовя0. Автомат
Мура имеет я2полную систему выходовя0, если выходные сигналы различны
для всех его состояний. При построении схем ЭВМ в качестве элементов памяти исполь-
зуются элементарные автоматы. я2Элементарный автоматя0 - это автомат
Мура с двумя внутренними состояниями, двумя различными выходными
сигналами и несколькими входами, обладающий полными системами пе-
реходов и выходов. я2ТЕОРИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Булевыми функциями называют переключательные функции, кото-
рые так же, как и их аргументы, принимают только два значения:
0 и 1. Булевы функции могут быть заданы в виде формул или таблиц.
Формулы позволяют представлять функции в более компактном виде,
чем таблицы, так как таблица для функции от n аргументов будет
содержать 2я5nя0 строк (или столбцов, в зависимости от формы табли-
цы). С другой стороны, таблицы дают наглядное представление для
простых функций. Приведем в качестве примера наиболее часто встречающиеся
функции от одной и двух переменных: 1) Переменная x: f(x) = x 2) Инверсия переменной x (функция НЕ): я4_ f(x) = x 3) Константа нуля: f(x) = 0 4) Константа единицы: f(x) = 1
.. - 2 - 5) Дизъюнкция (функция ИЛИ): f(xя41я0,xя42я0) = xя41я0 V xя42 Может встречаться другое обозначение: f(xя41я0,xя42я0) = xя41я0 | xя42я0. Таблица истинности (соответствия) для этой функции имеет вид: ЪДДДДДВДДДДДВДДДДДДДДДї і xя41я0 і xя42я0 і xя41я0 V xя42я0 і ГДДДДДЕДДДДДЕДДДДДДДДДґ і 0 і 0 і 0 і і 0 і 1 і 1 і і 1 і 0 і 1 і і 1 і 1 і 1 і АДДДДДБДДДДДБДДДДДДДДДЩ 6) Конъюнкция (функция И): f(xя41я0,xя42я0) = xя41я0 я5.я0 xя42 Может встречаться другое обозначение: f(xя41я0,xя42я0) = xя41я0 & xя42я0. Таблица истинности для этой функции имеет вид: ЪДДДДДВДДДДДВДДДДДДДДДї і xя41я0 і xя42я0 і xя41я0 я5.я0 xя42я0 і ГДДДДДЕДДДДДЕДДДДДДДДДґ і 0 і 0 і 0 і і 0 і 1 і 0 і і 1 і 0 і 0 і і 1 і 1 і 1 і АДДДДДБДДДДДБДДДДДДДДДЩ 7) Функция ИЛИ-НЕ: я4_______ f(xя41я0,xя42я0) = xя41я0 V xя42 Таблица истинности для этой функции имеет вид: ЪДДДДДВДДДДДВДДДДДДДДДї і xя41я0 і xя42я0 і xя41я0 V xя42я0 і ГДДДДДЕДДДДДЕДДДДДДДДДґ і 0 і 0 і 1 і і 0 і 1 і 0 і і 1 і 0 і 0 і і 1 і 1 і 0 і АДДДДДБДДДДДБДДДДДДДДДЩ
.. - 3 - 8) Функция И-НЕ: я4_______ f(xя41я0,xя42я0) = xя41я0 я5.я0 xя42 Таблица истинности для этой функции имеет вид: ЪДДДДДВДДДДДВДДДДДДДДДї і xя41я0 і xя42я0 і xя41я0 V xя42я0 і ГДДДДДЕДДДДДЕДДДДДДДДДґ і 0 і 0 і 0 і і 0 і 1 і 1 і і 1 і 0 і 1 і і 1 і 1 і 1 і АДДДДДБДДДДДБДДДДДДДДДЩ 9) Функция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (сумма по модулю 2): f(xя41я0,xя42я0) = mod2(xя41я0,xя42я0) Таблица истинности для этой функции имеет вид: ЪДДДДДВДДДДДВДДДДДДДДДДДДДї і xя41я0 і xя42я0 і mod2(x1,x2) і ГДДДДДЕДДДДДЕДДДДДДДДДДДДДґ і 0 і 0 і 0 і і 0 і 1 і 1 і і 1 і 0 і 1 і і 1 і 1 і 0 і АДДДДДБДДДДДБДДДДДДДДДДДДДЩ я2Аксиомы алгебры логики В алгебре логики определено отношение эквивалентности (=) и
три операции: дизъюнкция, конъюнкция и отрицание. Отношение эквивалентности удовлетворяет следующим свойствам:
x=x - рефлексивность; если x=y, то y=x - симметричность; если x=y
и y=z, то x=z - транзитивность. Из отношения эквивалентности сле-
дуетя2 принцип подстановкия0: если x=y, то в любой формуле, содержа-
щей x, вместо x можно подставить y, и будет получена эквивалент-
ная формула. Алгебра логики определяется следующей системой аксиом: x = 0, если x я7-я0 1я7 ) я78я0 (1) x = 1, если x я7-я0 0я7 0 1 V 1 = 1я7 ) я78я0 (2) 0я5 .я0 0 = 0я7 0
. - 4 - 0 V 0 = 0я7 ) я78я0 (3) 1 я5.я0 1 = 1я7 0 0 V 1 = 1 V 0 = 1я7 ) я78я0 (4) 0я5 .я0 1 = 1я5 . я00 = 0я7 0 я4_ 0 = 1я7 ) я4_я0 я78я0 (5) 1 = 0я7 0 Аксиома (1) утверждает, что в алгебре логики рассматриваются
только двоичные переменные, аксиомы (2)-(4) определяют операции
конъюнкции и дизъюнкции, а аксиома 5 - операцию отрицания. Если в аксиомах (2)-(5), заданных парами утверждений, произ-
вести взаимную замену операций дизъюнкции и конъюнкции, а также
элементов 0 и 1, то из одного утверждения пары будет получено
другое. Это свойство называется принципом двойственности. я2Теоремы алгебры логики С помощью аксиом алгебры логики можно доказать целый ряд те-
орем и тождеств. Одним из эффективных методов доказательства тео-
рем являетсяя2 метод переборая0 всех значений переменных: если теоре-
ма истинна, то при подстановке любых значений переменных в обе
части выражения, формулирующего утверждение теоремы, должно полу-
читься тождество. Методом перебора можно убедиться в справедливости следующих
теорем:
идемпотентные законы x V x = xя7 ) я78 x я5.я0 x = xя7 0
коммутативные законы x V y = y V xя7 ) я78 x я5.я0 y = y я5.я0 xя7 0
ассоциативные законы (x V y) V z = x V (y V z)я7 ) я78 (x я5.я0 y) я5.я0 z = x я5.я0 (y я5.я0 z)я7 0
.. - 5 -
дистрибутивные законы x я5.я0 (y V z) = x я5.я0 y V x я5.я0 zя7 ) я78 x V y я5.я0 z = (x V y)я5.я0(x V z)я7 0
законы отрицанияя4 _ x V x = 1я7 ) я4_я0 я78 x я5.я0 x = 0я7 0 0 V x = xя7 ) я78 1 я5.я0 x = xя7 0 1 V x = 1я7 ) я78 0 я5.я0 x = 0я7 0
законы двойственности (теоремы де Моргана) я4_____ _ _ x V y = x я5. я0yя7 ) я4_____я0 я4_я0 я4_я0 я78 x я5.я0 y = x V yя7 0
закон двойного отрицанияя4 я0 я4 _____ я7(я0 я4_я7 ) я72я0 xя7 2я0 = x я79 0
законы поглощения x V x я5.я0 y = xя7 ) я78 xя5.я0(x V y) = xя7 0
операции склеиванияя4 _ x я5.я0 y V x я5.я0 y = xя7 я0 я7) я4_я0 я78 (x V y)я5.я0(x V y) =я7 я0x я70
операции обобщенного склеивания я4_ _ xя5.я0y V xя5.я0z V yя5.я0z = xя5.я0y V xя5.я0z я5 я7) я4_я0 я5 я4_я5 я0 я78 (x V y)я5.я0(x V z)я5.я0(y V z) =я7 я0(x V y)я5.я0(x V z) я70 я4_ x V x я5.я0 y = x V yя7 ) я4_я0 я78 xя5.я0(x V y) = xя7 я5.я0 y я70 ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 6 я2МЕТОДЫ УПРОЩЕНИЯ (МИНИМИЗАЦИИ) БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Сложные булевы функции могут быть построены из более прос-
тых. я2Элементарными функциямия0 называются функции, образованные пу-
тем использования однотипных логических операций: только операции
И, только операции ИЛИ и т.д. Для представления сложных логических функций можно использо-
вать не все элементарные функции, а только ту или иную часть их,
называемую системой. Система элементарных функций fя41я0, ..., fя4kя0 на-
зывается функционально полной, если любую сложную булеву функцию
можно записать в виде формулы через функции fя41я0, ..., fя4kя0. Так, любую функцию можно представить с помощью одних только
операций И-НЕ или только операций ИЛИ-НЕ. В цифровых устройствах часто применяется в качестве базовой
система из трех функций: И, ИЛИ и НЕ. Используя законы алгебры логики, можно упрощать сложные ло-
гические выражения. Упрощение заключается в уменьшении количества
букв и количества отрицаний в выражении, что позволяет упростить
схему устройства с жесткой логикой или программу устройства с
программируемой логикой. Такое упрощение позволяет уменьшить се-
бестоимость и увеличить быстродействие устройства. Рассмотрим функцию я4_________ я7( я4_я7 )я4 _ f(a,b.c) = aя5.я72я0b V aя5.я0cя72я0 V aя5.я0b я79 0 Используя законы алгебры логики, можно привести эту функцию
к виду: я4_ я0 я5 я0 я4_ я0 я4 _ я0 я4_ __ _ я0 я4_ _ f(a,b.c) = aя5.я0(bя5.я0(aя5 я0Vя5 я0c)) V aя5.я0b = ab V abc V ab = ab V ab я4применяем я0 я4 я0 я4 применяем я4законы де Моргана я0 я4 закон поглощения Одной и той же логической функции может быть поставлено в
соответствие неограниченное количество различных эквивалентных
формул. Наиболее удобными для практического использования являют-
ся так называемые я2нормальные формыя0 представления сложных логичес-
ких функций. я2Элементарной конъюнкциейя0 Q называется логическое произведе-
ние переменных и их отрицаний, причем каждая переменная должна
встречаться в произведении только один раз.
.. - 2 - я4_ _ Пример элементарной конъюнкции: Q = xя41я0xя42я0xя43я0xя44я0xя46я0. Аналогично я2элементарной дизъюнкциейя0 В называется логическая
сумма переменных и их отрицаний, причем каждая переменная должна
встречаться в сумме только один раз. я4_ Пример элементарной дизъюнкции: D = xя41я0 V xя43я0 V xя44я0. Формула, эквивалентная заданной и представляющая собой логи-
ческую сумму элементарных конъюнкций, называется я2дизъюнктивной
я2нормальной формойя0 (ДНФ) заданной формулы. Дизъюнктивная нормаль-
ная форма существует для любой логической функции. Аналогично считается, что логическая функция задана своей
я2конъюнктивнойя0 я2нормальной формойя0 (КНФ), если она выражена посредс-
твом логического произведения элементарных дизъюнкций. КНФ также
существует для любой логической функции. Например, для функции я4_________ я7( я4_я7 )я4 _ f(a,b.c) = aя5.я72я0b V aя5.я0cя72я0 V aя5.я0b я79 0
ДНФ будет иметь вид я4_ _ f(a,b.c) = ab V ab,
КНФ будет иметь вид я4_ _ f(a,b.c) = (a V b)(b V c). Одна и та же функция путем эквивалентных преобразований мо-
жет быть представлена различными КНФ и ДНФ. Из всей совокупности
нормальных форм, представляющих данную функцию, выделяют одну КНФ
и одну ДНФ, именуемые совершенными. я2Минтермомя0 (m) n аргументов называется логическое произведе-
ние этих аргументов, причем каждый аргумент может входить в про-
изведение в прямой или инверсной форме. Минтермы могут быть пронумерованы, причем номер минтерма оп-
ределяется как десятичный эквивалент двоичного числа, образован-
ного из значений переменных, входящих в данный набор: если пере-
менная входит в прямой форме, то ей соответствует единица, если в
инверсной - ноль. я2Макстермомя0 (M) n аргументов называется логическая сумма этих
аргументов, причем каждый аргумент может входить в сумму в прямой
или инверсной форме. Номер макстерма задается аналогично номеру
минтерма.
.. - 3 - Рассмотрим в качестве примера случай двух аргументов: ЪДДДДДВДДДДДВДДДДДДДДДДДДДВДДДДДДДДДДДДДДї і a і b і минтерм і макстерм і ГДДДДДЕДДДДДЕДДДДДДДДДДДДДЕДДДДДДДДДДДДДДґ і і і я4_я0 я4_я0 і я4_я0 я4_я0 і і 0 і 0 і mя40я0 = aя5.я0b і Mя40я0 = a V b і і і і я4_я0 і я4_я0 і і 0 і 1 і mя41я0 = aя5.я0b і Mя41я0 = a V b і і і і я4_я0 і я4_я0 і і 1 і 0 і mя42я0 = aя5.я0b і Mя42я0 = a V b і і і і я4 я0 і і і 1 і 1 і mя43я0 = aя5.я0b і Mя43я0 = a V b і АДДДДДБДДДДДБДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДЩ Минтермы и макстермы можно геометрически представить на кар-
тах (диаграммах) Вейча. Так, для двух переменных карта Вейча бу-
дет представлять собой квадрат, причем левая половина квадрата
определяется переменной a, а верхняя половина квадрата - перемен-
ной b. Это означает, что леваяя4_я0 половина квадрата соответствует
значению переменной a, правая - a, верхняя половина соответствует я4_
b, нижняя b. Карта Вейча для двух переменных: я4_ я2a a ЪДДДДДВДДДДДї і і я4_я0 і я2b я0і aя5.я0b і aя5.я0b і і і і ГДДДДДЕДДДДДґ я4_я0 і я4_я0 і я4_я0 я4_я0 і я2b я0і aя5.я0b і aя5.я0b і і і і АДДДДДБДДДДДЩ
.. - 4 - Карта Вейча дляя5 я0трех переменных: я4_ я2a a я5ЪДДДДДДБДДДДДДї ЪДДДДДДБДДДДДДї ЪДДДДДДДВДДДДДДДВДДДДДДДВДДДДДДДї і я4_я0 і і я4_я0 і я4_я0 я4_я0 і я2b я0і aя5.я0bя5.я0c і aя5.я0bя5.я0c і aя5.я0bя5.я0c і aя5.я0bя5.я0c і і і і і і ГДДДДДДДЕДДДДДДДЕДДДДДДДЕДДДДДДДґ я4_я0 і я4_я0 я4_я0 і я4_я0 і я4_я0 я4_я0 і я4_я0 я4_я0 я4_я0 і я2b я0і aя5.я0bя5.я0c і aя5.я0bя5.я0c і aя5.я0bя5.я0c і aя5.я0bя5.я0c і і і і і і АДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДБДДДДДДДЩ я4_я0 я5АДДДДДДВДДДДДДЩя4 _ я2cя0 я2c c я2Свойства минтермов и макстермов: 1) Минтерм является инверсией некоторого макстерма и наобо-
рот:я4 _ mя4iя0 = M 2я5nя0-1-i я4_ Mя4iя0 = m 2я5nя0-1-i я4_ Пример: mя41я0 =я4 я0Mя42я0 (заштрихованная площадь соответствует макс-
терму, незаштрихованная - минтерму). я1ЪВВВя0Вя1ДДя0Дї я1ГЕЕЕґ і я1ГЕЕЕя0Ая1ВВВя0ґ я1ГЕЕЕЕЕЕЕґ я1АБББББББЩ 2) Логическая сумма всех минтермов для любого заданного чис-
ла переменных равна 1. 2я5nя0-1 V mя4iя0 = 1. i=0 3) Логическое произведение всех макстермов для любого задан-
ного числа переменных равно 0. 2я5nя0-1 я7Lя0 Mя4iя0 = 0. i=0
. - 5 - 4) Два неодинаковых минтерма или макстерма имеют хотя бы од-
ну переменную, входящую в один из них в прямой, а в другой - в
инверсной форме, следовательно mя4iя5.я0mя4jя0 = 0, если i я7-я0 j; Mя4iя0 V Mя4jя0 = 1, если i я7-я0 j. я2Основная теорема алгебры логикия0: любую булеву функцию от n
переменных можно выразить логической суммой минтермов, которая
называетсяя2 совершенной нормальной дизъюнктивной формойя0, или логи-
ческим произведением макстермов, которое называетсяя2 совершенной
я2нормальной конъюнктивной формойя0. Логические функции отражают не только принцип работы некото-
рых частей ЭВМ, но и их состав, если каждой элементарной функции
соответствует реальный физический элемент. Любая сложная логичес-
кая функция может быть реализована некоторой частью ЭВМ, если эта
часть построена с помощью такого набора элементов, который реали-
зует все функции одной из функционально полных систем. Такой на-
бор называется функционально полным набором логических элементов Поскольку каждая функция может быть представлена в виде раз-
личных логических уравнений, каждая функция может быть реализова-
на при помощи различных логических схем. Очевидно, что более
простому логическому уравнению соответствует более простая схема.
Упрощение (минимизация) функции сводится к получению ее минималь-
ной дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы, т.е. такой
формы, при которой функция содержит наименьшее число переменных и
знаков логических операций. Существует несколько методов минимизации. В дальнейшем мы
рассмотрим метод непосредственных преобразований и метод диаграмм
Вейча. ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 7 я2МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ я2Метод непосредственных преобразований Суть данного метода заключается в том, что минимизация ис-
ходной логической функции производится путем применения к отдель-
ным членам или группам членов формулы, выражающей данную логичес-
кую функцию, основных законов алгебры логики с целью получения
минимальной формы функции, т.е. такой, которая не содержит лишних
переменных или членов. Лишними переменными или членами являются те, которые не вли-
яют на значение преобразуемой формулы. Пример: я4_ я5 я4_ xя41я5.я0xя42я5.я0xя43я0 V xя41я5.я0xя42я5.я0xя43я0 = xя42я5.я0xя43я5.я0(xя41я5 я0Vя5 я0xя41я0) = xя42я5.я0xя43я5.я01 = xя42я5.я0xя43
т.е. в исходной формуле лишней являлась двоичная переменная xя41я0. Примечание: произведенная операция называется "склеиванием"
членов формулы. Действия, отвечающие методу непосредственных преобразований,
обычно проводятся в следующем порядке: 1) Выявляются группы двоичных переменных исходной формулы, к
которым можно применить операцию склеивания или другие законы ал-
гебры логики, приводящие выражение к более простой форме. 2) Упрощение исходной формулы путем применения к выявленным
группам соответствующих законов. 3) Преобразование промежуточной логической формулы с целью
образования таких групп переменных, к которым можно применить уп-
рощающие законы алгебры логики. Здесь могут проводиться: - группирование членов; - действия по раскрытию скобок и выносу за скобки; - добавление фиктивных членов, т.е. таких, совокупность ко-
торых тождественно равна нулю; - логическое умножение одного или нескольких членов на логи-
ческую сумму переменной и ее отрицания. 4) Упрощение преобразованной промежуточной логической форму-
лы с получением формы, близкой к минимальной, в виде некоторой
ДНФ. 5) Выявление и удаление из полученной предварительной формы
лишних членов, что дает минимальную форму исходной логической
функции. В качестве примера рассмотрим минимизацию следующей функции: я4_ _ _ _ f(a,b,c) = ab V bc V bc V ab =
. - 2 -
(используем метод умножения всех членов формулы на сумму тех пе-
ременных и их отрицаний, которые отсутствуют в данном члене;) я4_ _ _ _ _ _ _ _ = ab(cVc) V bc(aVa) V bc(aVa) V ab(cVc) =
(в результате, отбросив повторяющиеся члены, получаем СДНФ функ-
ции;) я4_я0 я4 __ я0 я4_я0 я4 _ _я0 я4 _я0 я4 __я0 я4 _я0 я4 _ _ = abc V abc V abc V abc V abc V abc V abc V abc = АДЩ ИНј АДЩ ИНј я4_ __ _ _ _ __ _ = abc V abc V abc V abc V abc V abc =
(перегруппировываем члены с целью их упрощения) я4_ я9 я4 _ _ _ _ _ = bя9cя0(aVa) V ab(cVc) V ac(bVb) =
(окончательно получим) я4_ _ _ = bc V ab V ac. Однако группирование членов после умножения можно провести и
несколько иначе: я4_ _ _ _ _ _ _ _ _ f(a,b,c) = ab(cVc) V bc(aVa) V ac(bVb) = ab V bc V ac. Следовательно, данная функция имеет две минимальные формы. Недостатком метода непосредственной минимизации является
трудность получения всех минимальных форм, если их несколько.
Кроме того, метод в целом весьма трудоемок, результат минимизации
в сильной степени зависит от квалификации и интуиции человека,
проводящего минимизацию. Поэтому данный метод применяется лишь
для минимизации простых логических формул. я2Метод минимизации с помощью карт Вейча Данный метод наиболее применим в инженерной практике благо-
даря своей простоте и легкости использования. Однако метод удобен
для упрощения функций, зависящих от небольшого числа переменных
(до 8). Преимущество этого метода состоит в том, что нет необхо-
димости приводить функцию к СДНФ. Рассмотрим изображение на карте Вейча функции я4__ _ _ _ __ _ __ _ f(a,b,c,d) = cd V abd V abc V abcd V abcd V bcd
. - 3 - При нанесении заданной функции на карту никаких предвари-
тельных преобразований не проводится. Каждый дизъюнктивный член
рассматривается в отдельности, и в соответствующие ему квадратики
вписывается 1 (т.е. дизъюнктивный член развертывается до минтер-
мов). Например, нанесение на карту вейча заданной функции выполня-
ется в следующей последовательности: a ЪДДДБДДДї ЪЪДДДВДДДВДДДВДДДї ЪДДДВДДДВДДДВДДДї ЪДДДВДДДВДДДВДДДї іі я_1я. і і і я_1я. і і я_1я. і я_1я. і і 1 і і 1 і 1 і і я_1я. і
b ґГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґї ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ іі і і і іі і і і і і і і і і я_1я. і АГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґГ d ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ і і і і іі і і і і і і і і і і ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґЩ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ і я_1я. і і і я_1я. і і 1 і і і 1 і і 1 і і і 1 і АДДДБДДДБДДДБДДДЩ АДДДБДДДБДДДБДДДЩ АДДДБДДДБДДДБДДДЩ АДДДВДДДЩ я4__я0 cя4 я0 я4 __ _ __ _ _ _ cd cd V abd cd V abd V abc ЪДДДВДДДВДДДВДДДї ЪДДДВДДДВДДДВДДДї ЪДДДВДДДВДДДВДДДї і 1 і 1 і і 1 і і 1 і 1 і і 1 і і 1 і 1 і і 1 і ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ і і і і 1 і і і і і 1 і і і і і 1 і ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ і і і і і і я_1я. і і і і і 1 і я_1я. і я_1я. і і ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ і 1 і і я_1я. і 1 і і 1 і і 1 і 1 і і 1 і і 1 і 1 і АДДДБДДДБДДДБДДДЩ АДДДБДДДБДДДБДДДЩ АДДДБДДДБДДДБДДДЩ я4__ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ cd V abd V abc V cd V abd V abc V cd V abd V abc V я4__ _ __ _ __ __ _ __ V abcd V abcd V abcd V abcd V abcd V bcd Следующий шаг заключается в нахождении на карте простых имп-
ликант, т.е. в склеивании минтермов. Нахождение простых импликант
является результатом последовательного применения теоремы: я4_ xя41я0xя42я0xя43я0...xя4nя0 V xя41я0xя42я0xя43я0...xя4nя0 = xя42я0xя43я0...xя4n Нахождение простых импликант производится на картах путем
группировки минтермов, отмеченных единицей. Рассмотрим правила группировки на диаграмме для четырех пе-
ременных, учитывая, что их легко обобщить на случай для любого
. - 4 -
числа переменных. Группирование выполняется в следующем порядке: а) группа из восьми членов может быть представлена одной пе-
ременной, если две смежные строки, либо два смежных столбца, либо
две крайние строки, либо два крайних столбца, соответствующих
этой переменной, заполнены единицами; б) группа из четырех членов может быть представлена посредс-
твом двух переменных всякий раз, когда единицами заполнены: - строка диаграммы, - столбец диаграммы, - квадрат из двух строк и двух столбцов, - концы двух смежных строк, - концы двух смежных столбцов, - четыре угла диаграммы; в) группа из двух членов может быть представлена посредством
трех переменных всякий раз, когда единицами заполнены: - два смежных квадратика, - два противоположных конца одной строки, - два противоположных конца одного столбца. При группировке единиц на диаграмме необходимо попытаться
сначала образовать члены, содержащие одну переменную, затем чле-
ны, содержащие две переменные, и, наконец, члены, содержащие три
переменные. Один и тот же минтерм может входитья2 несколько разя0 в
выражение функции, не изменяя ее значения. Поэтому единицу или
группу единиц можно несколько раз включать в различные комбина-
ции. В нашем случае минимизированная функция будет иметь вид: я4__ _ _ _ я0 я4_ _я0 ___ f(a,b,c,d) = cd V abd V abc V abd V bcd V abd. ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 8 я2МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (окончание) Обычно для проверки правильности результата, полученного с
помощью одного из методов минимизации, либо используют другой ме-
тод (хотя при наличии у функции нескольких минимальных форм могут
быть получены несовпадающие результаты), либо проверяют на тож-
дественность исходную и минимальную формы методом перебора всех
возможных комбинаций значений переменных (однако уже для 20 пере-
менных число возможных комбинаций превышает миллион). В качестве примера проведем минимизацию рассматривавшейся
ранее функции я4_ _ _ _ f(a,b,c) = ab V bc V bc V ab
с помощью карты Вейча. Как видно из диаграммы, возможны две мини-
мальные дизъюнктивные формы: a ЪДДДБДДДї ЪДДДВДДДВДДДВДДДї b і 1 і і я_1я. і я_1я. і ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ і 1 і я21я0 і я21я0 і і АДДДБДДДБДДДБДДДЩ АДДДВДДДЩ c я4_ _ я0 я4_ f(a,b,c) = ac V ab V bc a ЪДДДБДДДї ЪДДДВДДДВДДДВДДДї b і я_1я. і і я21я0 і я_1я. і ГДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ і 1 і 1 і я21я0 і і АДДДБДДДБДДДБДДДЩ АДДДВДДДЩ c я4_ _ я0 я4_ f(a,b,c) = bc V ac V ab
.. - 2 - я2ЭЛЕМЕНТЫ И УЗЛЫ ЭВМ ННННННННННННННННННН я2ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ Системой элементов ЭВМ называется функционально полный набор
логических элементов, использующий одинаковый способ представле-
ния информации и одинаковый тип межэлементных связей. Система элементов чаще всего избыточна по своему составу,
что позволяет строить схемы с более простой топологией межэле-
ментных связей и более экономные по количеству используемых эле-
ментов. Классификация логических элементов: 1) По способу представления информации и типу межэлементных
связей различают элементы импульсного, потенциального, импуль-
сно-потенциального и динамического типа. Примечание: в современных ЭВМ применяются потенциальные и
динамические элементы. 2) По функциональному назначению элементы принято разделять
на я2типовые и элементы специального назначенияя0. К я2типовымя0 относят-
ся логические, запоминающие и формирующие элементы. Логические
элементы предназначены для преобразования информации, запоминаю-
щие - для ее хранения, а формирующие элементы - для восстановле-
ния стандартизированных значений физических параметров сигналов,
изменяющихся во время прохождения сигналов по электрическим це-
пям. К элементамя2 специального назначенияя0 относятся усилители сла-
бых сигналов, генераторы токов и напряжений специальной формы и
другие элементы, не изменяющие информационного содержания сигна-
лов. 3) В зависимости от используемых физических явлений логичес-
кие элементы подразделяются на полупроводниковые, магнитополупро-
водниковые, электромагнитные и др. я2Основные характеристики логических элементов Общие технические характеристики: - температурный диапазон, - надежность, - стоимость. Специфические характеристики: - функциональные возможности элемента, - нагрузочная способность, - быстродействие,
. - 3 - - помехоустойчивость, - потребляемая мощность. Функциональные возможности логического элемента характеризу-
ются выполняемой им операцией и коэффициентами разветвления и
объединения, т.е. факторами, влияющими на структуры более сложных
схем, построенных с применением данного элемента. При этом под я2коэффициентом разветвленияя0 я2nя0 понимают число
входов последующих ячеек, которые могут управляться от выхода
данной ячейки, а под я2коэффициентом объединенияя0 я2mя0 - число входов,
которое может иметь ячейка. Величины m и n ограничиваются услови-
ями сохранения нормального электрического режима ячейки. я2Нагрузочная способностья0 в общем случае определяется током,
который может быть отдан ячейкой во внешние цепи (нагрузку). В
случае однородных нагрузок, создаваемых входами идентичных ячеек,
нагрузочная способность оценивается коэффициентом разветвления n. я2Быстродействиея0 логического элемента определяется скоростями
его перехода из состояния "0" в состояние "1" и обратно. Переход-
ные процессы изменения состояния элемента состоят из двух этапов:
задержки и формирования фронта или спада сигнала. Длительность
задержек и фронтов зависит от динамических свойств логического
элемента. Однако для оценки быстродействия часто используют обобщенную
характеристику -я2 среднее время задержкия0. В этом случае моментом
поступления сигнала на ячейку считают момент достижения входным
сигналом некоторого определенного уровня (например, 0,5 от уста-
новившегося значения). Моментом появления сигнала на выходе также
считают момент достижения выходным сигналом этого уровня. Так как длительности переходных процессов при включении и
выключении транзистора в общем случае не равны, то проводят обоб-
щение и говорят о среднем времени задержки сигнала на ячейку. Время задержки при формировании спада tя4сп tя5'я4зя5 я0= tя4з.сп я0+я4 я0ДДД , 2
а время задержки при формировании фронта tя4фр tя5"я4зя5 я0= tя4з.фр я0+я4 я0ДДД . 2 Среднее время задержки на один каскад схемы tя5'я4зя0 + tя5"я4з tя4з.сря0 = ДДДДДДДДДя5. 2
. - 4 - Одна из важнейших характеристик элемента - его я2помехоустой-
я2чивостья0. Различают статическую и динамическую помехоустойчивость.
При определении статической помехоустойчивости помеха рассматри-
вается как длительно действующий уровень потенциала, а при опре-
делении динамической помехоустойчивости - как импульс определен-
ной длительности. Устойчивость элемента к воздействию длительной
помехи меньше, чем к воздействию кратковременной помехи при оди-
наковых амплитудах. Устойчивость к воздействию динамической поме-
хи тем ниже, чем выше быстродействие элемента. С увеличением степени интеграции элементов ЭВМ все большую
роль начинает играть такой параметр, какя2 рассеиваемая мощностья0.
Следует отметить, что закрытому состоянию соответствует один уро-
вень рассеивания мощности (Pя4зя0), а открытому - другой (Pя4оя0). Обычно
предполагают, что схема половину времени находится в открытом
состоянии, а половину - в закрытом, и определяют среднюю рассеи-
ваемую мощность следующим образом: Pя4зя0 + Pя4о Pя4сря0 = ДДДДДДД . 2 Рассеиваемая мощность может зависеть как от нагрузки, так и
от схем, включенных на входе. я1Классификация логических элементов по типу радиокомпонентов, я1на которых реализуются логические функциия2. Можно выделить следующие наиболее часто употребляемые на
данный момент типы логических элементов: - транзисторно-транзисторная логика с диодами Шотки (ТТЛШ); - КМОП-логика (логика на базе комплементарных полевых тран-
зисторов со структурой металл-окисел-полупроводник); - КМДП-логика (логика на базе комплементарных полевых тран-
зисторов со структурой металл-диэлектрик-полупроводник); - интегральная инжекционная логика (ИИЛ, Ия52я0Л, Iя52я0L). Следует отметить также некоторые типы элементов, которые в
данный момент уже не применяются в новых разработках вследствие
низкого быстродействия или большой рассеиваемой мощности. - резисторно-транзисторная логика (РТЛ, RTL); - резисторно - конденсаторная транзисторная логика (РКТЛ,
RCTL); - диодно-транзисторная логика (ДТЛ, DTL); - транзисторно-транзисторная логика (ТТЛ, TTL); - транзисторная логика с эмиттерными связями (ЭСЛ, TECL). - транзисторная логика с непосредственными связями (DCTL). - МОП-логика; - МДП-логика (MDS). ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 9 я2ЭЛЕМЕНТЫ И УЗЛЫ ЭВМ ННННННННННННННННННН я2ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ Электронную схему, выполняющую какие либо операции над одним
машинным словом, называют я2узломя0 ЭВМ. Многие узлы ЭВМ строятся на
базе логических элементов. Общие требования к проектируемому устройству: - устройство должно полностью соответствовать своему функци-
ональному назначению, т.е. выполнять заданные в ТЗ функции; - быстродействие, энергопотребление, надежность, устойчи-
вость к вредному воздействию окружающей среды (температура, влаж-
ность, давление, вибрация, удары, статическое электричество,
внешние магнитные поля, электромагнитные помехи и пр.) должны со-
ответствовать заданным в ТЗ параметрам; - устройство должно быть максимально простым, чтобы обеспе-
чить высокое быстродействие и надежность, а также низкую себесто-
имость. Если устройство проектируется на базе нескольких различных
наборов логических элементов, особенно в случае различной техно-
логии изготовления (ТТЛ и ТТЛШ, ТТЛ и КМОП, ТТЛ и ЭСЛ и т.п.),
необходимо тщательно проверить эти наборы на совместимость во
всем рабочем диапазоне температур и на отсутствие состязаний в
спроектированной схеме. Требуется проверить: - соответствие по номинальному напряжению питания; - соответствие по входным и выходным характеристикам логи-
ческих элементов, особенно по уровням 0 и 1; - соответствие элементов по быстродействию; - соответствие по переходным процессам. я1Основные характеристики логических элементов я2Амплитудная передаточная характеристикая0 Uя4вых я0=я4 я0f(Uя4вхя0) опре-
деляет формирующие свойства логического элемента, его помехоус-
тойчивость, амплитуду и уровни стандартного сигнала. Вид характе-
ристики зависит от типа логического элемента (ЭСЛ, ТТЛ и т.д.) и
может изменяться в определенных пределах в зависимости от разбро-
са параметров схем, изменений напряжения питания, нагрузки и тем-
пературы окружающей среды. я2Входная характеристикая0 Iя4вхя0 = f(Uя4вхя0) и я2выходная характеристи-
я2кая0 Uя4выхя0 = f(Iя4выхя0) позволяют определить нагрузочную способность
элемента, режим его работы и способ согласования переходных про-
. - 2 -
цессов в линиях связи. я2Импульсная (динамическая) помехоустойчивостья0 - это зависи-
мость допустимой амплитуды импульсной помехи от ее длительности
Uя4помя0 = f(tя4помя0). я2ТРИГГЕРЫ Практически все устройства ЭВМ совмещают функции переработки
и хранения информации. Неотъемлемая часть таких устройств - эле-
мент памяти. В арифметических и логических устройствах для хране-
ния информации чаще всего используют элемент с двумя устойчивыми
состояниями - я2триггеря0. Структуру триггера можно представить в виде запоминающей
ячейки и схему управления: ЪД ДД ДД ДД ДД ДД ДД ДД ДД ї ЪДДДДДДДї я4Sя0 ЪДДДДДДДДї Eя41я0 ДДДБДґ Схема ГДДДДДґ Запоми-ГДБДДД Q C ДДДДДґ управ-і я4Rя0 і нающая і я4 _ Eя42я0 ДДДВДґ ления ГДДДДДґ ячейка ГДВДДД Q АДДДДДДДЩ АДДДДДДДДЩ АД ДД ДД ДД ДД ДД ДД ДД ДД Щ я4_я0 я2Запоминающая ячейкая0 - это схема, которая имеет два выхода Q
и Qя4,я0 сигналы на которых всегда противоположны (если на одном 0,
то на другом 1), и два входа - вход установки S (set) и вход
сброса R (reset). я2Переключающийя0 сигнал по входу S устанавливает запоминающую
ячейку в состояние "1", а по входу R - в состояние "0". В зависи-
мости от типа элементов, из которых построена запоминающая ячей-
ка, переключающим сигналом может являться либо "0", либо "1". За-
поминающую ячейку называют такжея2 асинхронным RS-триггеромя0. я2Схема управленияя0 преобразует информацию, поступающую на вхо-
ды Eя41я0 и Eя42я0 в сигналы, которые подаются на установочные входы за-
поминающей ячейки. В некоторых схемах выходные сигналы триггерра
поступают на вход схемы управления - на рисунке эти соединения
показаны пунктиром. Как правило, триггеры, применяемые в потенциальной системе
элементов, имеют еще один вход - вход для синхронизирующих сигна-
лов C. Импульсы, поступающие на вход C, не несут логической ин-
формации, но определяют момент приема триггером входной информа-
ции.
.. - 3 - я1Классификация триггеров В основу классификации триггерных устройств положены два ос-
новных признака: функциональный признак и способ записи информа-
ции в триггер. Функциональная классификация - это классификация триггеров
по типам схем управления. По функциональному признаку различают
RS, S, R, E, T, D, TV, DV, RST и JK триггеры. Классификация по способу записи информации характеризует
временную диаграмму работы триггера, т.е. определяет ход процесса
записи информации в триггер: ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї і Потенциальные триггеры і АДДДДДДДДДДДДВДДДДДДДДДДДЩ і ЪДДДДДДДДДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДї ЪДДДДДДБДДДДДДї ЪДДДДДБДДДДДДї і Асинхронные і і Синхронные і АДДДДДДВДДДДДДЩ АДДДДДВДДДДДДЩ і і ЪДДДДДДБДДДДДДї ЪДДДДДДБДДДДДДї ЪДДДДДДБДДДДДї ЪДДДДДБДДДДДї ЪДДДДДДБДДДДДї ЪДДДДДБДДДДДї іС внутреннейі іУправляемыеі іС внутреннейі іУправляемыеі і задержкой і іуровнем і і задержкой і іуровнем і АДДДДДДДДДДДДЩ івходного і АДДДДДДДДДДДДЩ ісинхроим- і ісигнала і іпульса і АДДДДДДДДДДДЩ АДДДДДВДДДДДЩ і ЪДДДДБДДДДї ЪДДДБДДДї ЪДДДБДДДї і Одно- і іМного- і ітактныеі ітактныеі АДДДДДДДЩ АДДДДДДДЩ я2Временная диаграммая0 - это диаграмма, отображающая зависи-
мость внутреннего состояния устройства, сигналов на его выходах и
протекающих в нем переходных процессов от времени и сигналов на
входах этого устройства. Отличительной особенностью я2асинхронныхя0 триггеров является
то, что запись информации в них осуществляется непосредственно в
момент поступления информационного сигнала на вход триггера. Запись информации вя2 синхронные тактируемыея0 триггеры осущест-
вляется только при подаче разрешающего импульса (я2синхроимпульсая0)
на синхронный вход C. Синхронные триггеры подразделяются на две
категории: триггеры, срабатывающие по переднему фронту синхроим-
пульса ("я2поя0 я2уровнюя0"), и триггеры, срабатывающие по заднему фронту
. - 4 -
синхроимпульса ("я2по спадуя0"). Синхронные триггеры могут быть однотактными и многотактными.
Многотактные триггеры характеризуются тем, что формирование ново-
го состояния триггера завершается с поступлением n-го синхроим-
пульса. Наибольшее распространение получили двухтактные синхрон-
ные триггеры. Законы функционирования триггеров задаются таблицами перехо-
дов или составленными в соответствии с этими таблицами логически-
ми уравнениями. Входы триггеров обозначаются следующим образом: C - вход синхронизации; S (set) - вход установки триггера в 1; R (reset) - вход сброса триггера в 0; D (delay) - "задержка"; T (trigger) - "защелка"; J - вход установки JK-триггера в 1; K - вход установки JK-триггера в 0; V - управляющий вход DV-триггера. я4_ Выходы триггеров: Q - прямой выход, Q - инверсный выход. я_Асинхронные триггеры Асинхронные триггеры редко непосредственно используются в
цифровых схемах, однако на базе асинхронных триггеров строятся
все триггерные схемы. я1Асинхронный RS-триггер RS-триггер имеет два информационных входа R и S. При поступ-
лении на эти входы сигналов S=1 и R=0 триггер принимает состояние
Q=1, при S=0 и R=1 состояние Q=0, а при S=0 и R=0 триггер сохра-
няет то состояние, в котором он находился до поступления на его
входы нулевых сигналов. Подача единичных сигналов на оба входа R
и S запрещена.
.. - 5 - Полная таблица переходов RS-триггера: ЪДДДДДДДДВДДДДДДДДВДДДДДДДДВДДДДДДДДДДї і Q(t) і R(t) і S(t) і Q(t+1) і ГДДДДДДДДЕДДДДДДДДЕДДДДДДДДЕДДДДДДДДДДґ і 0 і 0 і 0 і 0 і і 0 і 0 і 1 і 1 і і 0 і 1 і 0 і 0 і і 0 і 1 і 1 і X і і 1 і 0 і 0 і 1 і і 1 і 0 і 1 і 1 і і 1 і 1 і 0 і 1 і і 1 і 1 і 1 і X і АДДДДДДДДБДДДДДДДДБДДДДДДДДБДДДДДДДДДДЩ Минимизированная таблица переходов RS-триггера: ЪДДДДДДДДВДДДДДДДДВДДДДДДДДДДї і R(t) і S(t) і Q(t+1) і ГДДДДДДДДЕДДДДДДДДЕДДДДДДДДДДґ і 0 і 0 і Q(t) і і 0 і 1 і 1 і і 1 і 0 і 0 і і 1 і 1 і X і АДДДДДДДДБДДДДДДДДБДДДДДДДДДДЩ Логические уравнения RS-триггера имеют вид: я7(я4 ____ я72я0 Q(t+1) = S(t) V R(t)я5.я0Q(t) я7* я72я0 R(t)я5.я0S(t) = 0 я79 Асинхронный RS-триггер на элементах ИЛИ-НЕ: ЪДДДї R ДДДДДґ1 і і я7@я0ДДДВДД Q ЪДДґ і і і АДДДЩ і АДДДДДДДДДїі ЪДДДДДДДДДЕЩ і ЪДДДї і АДДґ1 і ія4 _ і я7@я0ДДБДДД Q S ДДДДДґ і АДДДЩ
.. - 6 - Условное графическое изображение такого триггера: ЪДВДДДї ДДґSіT ГДД і і і ДДґRі я7@я0ДД АДБДДДЩ Асинхронный RS-триггер на элементах И-НЕ: я4_я0 ЪДДДї S ДДДДДґ& і і я7@я0ДДДВДД Q ЪДДґ і і і АДДДЩ і АДДДДДДДДДїі ЪДДДДДДДДДЕЩ і ЪДДДї і АДДґ& і ія4 _ я4_я0 і я7@я0ДДБДДД Q R ДДДДДґ і АДДДЩ Условное графическое изображение такого триггера: ЪДВДДДї ДДя7@я0SіT ГДД і і і ДДя7@я0Rі я7@я0ДД АДБДДДЩ или ЪДВДДДї ія4_я0і я7 я0і ДДґSія7Tя0 ГДД і і і ія4_я0і і ДДґRі я7@я0ДД і і і АДБДДДЩ ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ N 10 я2ТРИГГЕРЫ я1Синхронный однотактный RS-триггер Синхронные RS-триггеры имеет на каждом входе дополнительные
схемы совпадения: я4_ ЪДДДї S ЪДДДї S ДДДДДДґ& я7@я0ДДДДДДґ& і і і і я7@я0ДДДВДД Q ЪДДґ і ЪДДґ і і і АДДДЩ і АДДДЩ і і АДДДДДДДДДїі C ДДДґ іі і ЪДДДДДДДДДЕЩ і ЪДДДї і ЪДДДї і АДДґ& і я4_я0 АДДґ& і ія4 я0 я4_ і і R і я7@я0ДДБДДД Q R ДДДДДДґ я7@я0ДДДДДДґ і АДДДЩ АДДДЩ Если на входе C "ноль", то на выходах схемы совпадения также
будут нулевые значения при любых сигналах на входах R и S. При
поступлении синхроимпульса на вход схемы совпадения информация с
входов R и S инвертируется и передается на входы асинхронного
триггера. Графическое обозначение синхронного однотактного RS-триггера: ЪДВДДДї ДДґSіT ГДД Q ДДґCі ія4 _ ДДґRі я7@я0ДД Q АДБДДДЩ
.. - 2 - Синхронный триггер может иметь дополнительные асинхронные
входы Rя4ая0 и Sя4ая0: я4_ Sя4ая0 ДДДДДДДДДДДДДДї я4_я0 і ЪДДДї ЪДДДї S АДДґ& і S ДДДДДДґ& я7@я0ДДДДДДґ я7@я0ДДДВДД Q і і ЪДДґ і і ЪДДґ і і АДДДЩ і і АДДДЩ АДДДДДДДДДїі C ДДДґ іі і ЪДДДї ЪДДДДДДДДДЕЩ АДДґ& і я4_я0 і ЪДДДї і і і R АДДґ& і ія4 _ R ДДДДДДґ я7@я0ДДДДДДґ я7@я0ДДБДДДД Q АДДДЩ ЪДДґ і я4_я0 і АДДДЩ Rя4ая0 ДДДДДДДДДДДДДДЩ Графическое обозначение синхронного однотактного RS-триггера
с асинхронными входами: я4_я0 ЪДВДДДї Sя4ая0 ДДя7@я0SіT ГДД Q ГДґ і ДДґSі і ДДґCі і ДДґRі і я4_я0 ГДґ ія4 _ Rя4ая0 ДДя7@я0Rі я7@я0ДД Q АДБДДДЩ я1Синхронныея0 я1двухтактные триггеры Синхронные двухступенчатые (двухтактные) триггеры построены
по принципу "master-slave" (ведущий-ведомый). Триггерная схема
состоит из двух частей-триггеров, одновременный прием информации
в которые запрещен. Для построения первой и второй ступеней ис-
пользуют однотактные синхронные триггеры. Информация передается
во вторую ступень только после ее приема в первую ступень и окон-
чания синхроимпульса, разрешающего запись информации в первую
ступень. Такая последовательность приема информации достигается
включением инвертора в цепь синхронизации для второй ступени.
.. - 3 - Все двухтактные триггеры имеют следующую общую структуру: ЪД ДД ДД ДД ДД ДД ДД ДД ДД Дї ЪДДВДДДДї ЪДВДДДДї Eя41я0 ДДДБДДДДґEя41я0іT ГДДДДДґSіT ГДБДДД Q C ДДДДДДВДґC і і ЪДДґCі ія4 _ Eя42я0 ДДДВДДЕДґEя42я0і ГДДЕДДґRі ГДВДДД Q і АДДБДДДДЩ і АДБДДДДЩ АД ЕД ДД ДД ДД ДЕ ДД ДД ДД ДЩ і ЪДДї і АДДДДґя51я0 я7@я0ДДДДЩ АДДЩ Наиболее широкое применение в устройствах вычислительной
техники находят двухтактные триггеры типов RS, T, D и JK. Рассмотрим в качестве приера схему двухтактного RS-триггера: ЪДДДї ЪДДДї Q' ЪДДДї ЪДДДї S ДДДДДДґ& я7@я0ДДДДДґ& я7@я0ДДВДДДДДДґ& я7@я0ДДДДДґ& я7@я0ДДВДДД Q ЪДДґ я41я0і ЪДДґ я44я0і і ЪДДґ я46я0і ЪДДґ я48я0і і і АДДДЩ і АДДДЩ і і АДДДЩ і АДДДЩ і і АДДДДДДДДїі і АДДДДДДДДїі C ДДДґ іі і іі і ЪДДДДДДДДЕЩ і ЪДДДДДДДДЕЩ і ЪДДДї і ЪДДДї і я4_я0 і ЪДДДї і ЪДДДї і ГДДґ& і АДДґ& і ія4 я0Q' ГДДґ& і АДДґ& і ія4 _ R ДДДЕДДґ я42я7@я0ДДДДДґ я45я7@я0ДБДДДДЕДДґ я47я7@я0ДДДДДґ я49я7@я0ДБДДДДя4 я0Q і АДДДЩ АДДДЩ я4_я0 і АДДДЩ АДДДЩ і ЪДДДї C і АДДДДДВДґ& я7@я0ДДДДДДДДДДДЩ АДґ я43я0і АДДДЩ Рассмотрим идеализированную временную диаграмму работы двух-
тактного RS-триггера (предполагаем форрму импульсов прямоугольной
и не учитываем разброс времени задержки элементов схемы):
.. - 4 - C і ЪДДДДДї ЪДДДДДї ЪДДДДДї ЪДДДДДї ГДДДДДЩ АДДДДДЩ АДДДДДЩ АДДДДДЩ АДДДДД АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t S і ЪДДДДДДДДДДДї ГДДДДДДДДДДДДДДЩ АДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДД АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t R і ЪДДДДДДДДДДДДДД ГДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДЩ АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t 1 ГДДДДДДДДДДДДДДДДДДї ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДД і АДДДДДЩ АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t 2 ГДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї ЪДДДД і АДДДДДЩ АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t Q' я4і ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДя0ДДї ГДДДДДя4ДДДДДДДДДДДДДДЩ я0 я4 я0Ая4ДДДДя0ДДДД АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t я4_ Q' ГДДДДДя4ДДДДДДя0ДДя4ДДДДДДДї я0 ЪДя4ДДДДДя0ДДД я4і я0 я4 АДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДя0Щ АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t я4_ C ГДДДДДДї ЪДДДДДї ЪДДДДДї ЪДДДДДї ЪДДДД і АДДДДДЩ АДДДДДЩ АДДДДДЩ АДДДДДЩ АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t 6 ГДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї ЪДДДДДї ЪДДДДДДДДД і АДДДДДЩ АДДДДДЩ АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t 7 і ЪДДДДДї ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї ГДДДДДДДЩ АДДДДДЩ АДДДДДДДДД АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t Q я4і я0 я4ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДя0ї ГДДДДДя4ДДДДДДДДя0ДДДДДДДДДДя4ДДДЩ я0 Ая4ДДДя0ДДДД АДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДЕДДДДДД t
лекци 11-20
Основные классы вычислительных машин форматы представления чисел элементарные автоматы. Перевод десятичной дроби из десятичного кода в восьмеричный. Машинные алгоритмы двухступенчатой непозиционной арифметики. Исследование триггера логическими элементами ИЛИ И НЕ. Условное изображение двухступенчатого Т триггера. Реферат на тему структуры вычислительной машины. Перевести в десятичную систему пример решения. ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ. Реферат способы представления чисел в эвм. В шеснадцатеричной системе счисления. Реферат первые вычеслительные машины. Первые вычислительные машины реферат. Форматы представления чисел в ПЭВМ. Задан дополнительный код число. Первые вычислительные машины.