рефераты

Рефераты

рефераты   Главная
рефераты   Краткое содержание
      произведений
рефераты   Архитектура
рефераты   Астрономия
рефераты   Банковское дело
      и кредитование
рефераты   Безопасность
      жизнедеятельности
рефераты   Биографии
рефераты   Биология
рефераты   Биржевое дело
рефераты   Бухгалтерия и аудит
рефераты   Военное дело
рефераты   География
рефераты   Геодезия
рефераты   Геология
рефераты   Гражданская оборона
рефераты   Животные
рефераты   Здоровье
рефераты   Земельное право
рефераты   Иностранные языки
      лингвистика
рефераты   Искусство
рефераты   Историческая личность
рефераты   История
рефераты   История отечественного
      государства и права
рефераты   История политичиских
      учений
рефераты   История техники
рефераты   Компьютерные сети
рефераты   Компьютеры ЭВМ
рефераты   Криминалистика и
      криминология
рефераты   Культурология
рефераты   Литература
рефераты   Литература языковедение
рефераты   Маркетинг товароведение
      реклама
рефераты   Математика
рефераты   Материаловедение
рефераты   Медицина
рефераты   Медицина здоровье отдых
рефераты   Менеджмент (теория
      управления и организации)
рефераты   Металлургия
рефераты   Москвоведение
рефераты   Музыка
рефераты   Наука и техника
рефераты   Нотариат
рефераты   Общениеэтика семья брак
рефераты   Педагогика
рефераты   Право
рефераты   Программирование
      базы данных
рефераты   Программное обеспечение
рефераты   Промышленность
      сельское хозяйство
рефераты   Психология
рефераты   Радиоэлектроника
      компьютеры
      и перифирийные устройства
рефераты   Реклама
рефераты   Религия
рефераты   Сексология
рефераты   Социология
рефераты   Теория государства и права
рефераты   Технология
рефераты   Физика
рефераты   Физкультура и спорт
рефераты   Философия
рефераты   Финансовое право
рефераты   Химия - рефераты
рефераты   Хозяйственное право
рефераты   Ценный бумаги
рефераты   Экологическое право
рефераты   Экология
рефераты   Экономика
рефераты   Экономика
      предпринимательство
рефераты   Юридическая психология

 
 
 

Доказательство теорем


Доказательство теорем
1.
*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x
1
<x
2 из (a,b) справедливо неравенство f(x
1
)Ј f(x
2
) (f(x
1
)і f(x
2
)).
*2. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на (a,b), если x
1
<x
2 из (a,b) справедливо неравенство f(x
1
)<f(x
2
) (f(x
1
)>f(x
2
)). В этом случае функцию называют монотонной на (a,b).
Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не убывает (не возрастает) на (a,b), когда fў (x)і 0 (Ј 0) при любом xО (a,b).
Док-во: 1) Достаточность. Пусть fў (x)і 0 (Ј 0) всюду на (a,b). Рассмотрим любые x
1
<x
2 из (a,b). Функция f(x) дифференцируема (и непрерывна) на [x
1
,x
2
]. По теореме Лагранжа: f(x
2
)-f(x
1
)=(x
2
-x
1
)fў (a), x
1
<a<x
2
. Т.к. (x
2
-x
1
)>0, fў (a)і 0 (Ј 0), f(x
2
)-f(x
1
)і 0 (Ј 0), значит, f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x) не убывает на (a,b), xО (a,b), x+D xО (a,b), D x>0. Тогда (f(x+D x)-f(x))/D xі 0. Переходя к приделу при D xа 0, получим fў (x)і 0. Теорема доказана.
Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы fў (x)>0 (<0) при любом xО (a,b). Док-во: Тоже что и в Т2.
Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если f(x) возрастает (убывает) на (a,b), то не всегда fў (x)>0 (<0) при любом xО (a,b).
*3. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функций y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений
или
равно +Ґ или –Ґ .
Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.
*4. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xа +Ґ (–Ґ ), если f(x)=kx+b+a (x), где
Т3. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xа +Ґ (–Ґ ), тогда и только тогда, когда существуют
,
, причем при xа +Ґ (–Ґ ) наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во: Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b при xа +Ґ , т.е. имеет место равенство f(x)=kx+b+a (x). Тогда
. Переходя к пределу при xа +Ґ , получаем
. Далее из f(x)=kx+b+a (x)а b=f(x)-kx-a (x). Переходя к пределу при xа +Ґ , получаем
. Докажем обратное утверждение. Пусть пределы, указанные в теореме, существуют и конечны. Следовательно, f(x)–kx=b+a (x), где a (x)а 0, при xа +Ґ (–Ґ ). Отсюда и получаем представление f(x)=kx+b+a (x). Теорема доказана.
Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при xа +Ґ (–Ґ ) – правой (левой).
2.
*1. Точку х
0 назовем стандартной для функции f(x), если f(x) дифференцируема в точке x
0 и fў (x
0
)=0.
*2. Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет в точке x
0 локальный экстремум, то либо x
0 – стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x
0
.
Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным.
Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x
0
, кроме, быть может, самой точки x
0
, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x
0 слева направо fў (x) меняет знак с + на –, то точка x
0 является точкой максимума, при перемене знака с – на + точка x
0 является точкой минимума. Док-во: Пусть xО (a,b), x№ x
0
, (a,b) – достаточно малая окрестность точки x
0
. И пусть, например, производная меняет знак с + на –. Покажем что f(x
0
)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x
0
] или [x
0
,x]) f(x)–f(x
0
)=(x- x
0
)fў (a ), где a лежит между x
0 или x: а) x< x

x- x
0
<0, fў (a )>0Ю f(x)–f(x
0
)<0Ю f(x
0
)>f(x); б) x>x

x–x
0
>0, fў (a )<0Ю f(x)–f(x
0
)<0Ю f(x
0
)>f(x).
Замечание 2. Если fў (x) не меняет знака при переходе через точку х
0
, то х
0 не является точкой экстремума.
Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x
0 – стационарная точка функции y=f(x), которая имеет в точке x
0 вторую производную. Тогда: 1) fў ў ( x
0
)>0Ю f имеет в точке x
0 локальный минимум. 2) fў ў ( x
0
)<0Ю f имеет в точке x
0 локальный максимум.
3.
*1. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги.
*2. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги.
Т1. Пусть y=f(x) имеет на (a,b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1) fў ў (x)>0, " xО (a,b)Ю график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз; 2) ) fў ў (x)<0, " xО (a,b)Ю график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вверх
*3. Точка (c,f(с)) графика функций f(x) называется точкой перегиба, если на (a,c) и (c,b) кривая y=f(x) имеет разные направления выпуклости ((a,b) – достаточно малая окрестность точки c).
Т2. (Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке (c, f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую производную, то fў ў (c)=0.
Замечание1. Необходимое условие перегиба не является достаточным.
Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать.
Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет вторую производную на cО (a,b), fў ў (c)=0. Если fў ў (x) имеет на (a,c), (c,b) разные знаки, то (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).
Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную третью производную и fў ў (c)=0, а fў ў ў (c)№ 0, тогда (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).
4.
*1. Первообразная от функции f(x) в данном интервале называется функция F(x), производная которой равна данной функции: Fў (x)=f(x).
T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F(x) и Ф(х) – две первообразные от f(x), тождественно не равные между собой. Имеем Fў (x)=f(x), Фў (х)=f(x). Вычитая одно равенство из другого, получим [F(x)–Ф(х)]ў =0. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от F(x)–Ф(х)) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная; Ю F(x)–Ф(х)=С.
*2. Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех его первообразных
,где Fў (x)=f(x).
5.
Свойства неопределенного интеграла:
Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению:
;
. Док-во:
;
НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:
. Док-во: Обозначим
. На основании первого св-ва:
, откуда
, т.е.
.
НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:
, где u, v, …,w-функции независимой переменной х. Док-во:
Постоянный множитель можно выносить за знак НИ:
, где с – константа. Док-во
Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть т f(x)dx=F(x)+C – какая-либо известная формула интегрирования и u=ф(х) – любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда т f(u)du=F(u)+C. Док-во: Из того, что т f(x)dx=F(x)+C, следует Fў (x)=f(x). Возьмем функцию F(u)=F[ф(x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF(u)=Fў (u)du=f(u)du. Отсюда т f(u)du=т dF(u)=f(u)+C.
6.
Метод замены переменных.
1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема, пусть также существует f(x)=f(j (t)) тогда если функция f(x) имеет первообразную то справедлива формула:
формула замены переменных. Док-во: пусть F(x) для функции f(x), т.е. Fў (x)=f(x). Найдем первообразную для f(j (t)), [F(j (t))]ў
t
=Fў (x)(j (t)) j ў (t)=Fў (x) j ў (t)=f(x) j ў (t). т f(x) j ў (t)dt=f(j (t))+C. F(j (t))+C=[F(x)+C]|
x=j (t)
=т f(x)dx|
x=j (t)
.
Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x=j (t), а в виде t=j (x).
2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g(j (x)) j ў (x)dx=g(u)du. т f(x)dx=т g(j (x)) j ў (x)dx=т g(u)du.
dx=d(x+b), где b=const;
dx=1/ad(ax), a№ 0;
dx=1/ad(ax+b), a№ 0;
фў (х)dx=dф(x);
xdx=1/2 d(x
2
+b);
sinxdx=d(-cosx);
cosxdx=d(sinx);
Интегрирование по частям: т udv=uv-т vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Ю udv=d(uv)-vduЮ (интегрируем) т udv=т d(uv)-т vdu или т udv=uv-т vdu.
7.
Интегрирование по частям: т udv=uv-т vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Ю udv=d(uv)-vduЮ (интегрируем) т udv=т d(uv)-т vdu или т udv=uv-т vdu.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
Первый интеграл табличного вида: т du/u
k
:
Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a=
, q-p
2
/4>0
рекуррентная формула.
Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму простейших дробей, где A
i
, B
i
, C
i – постоянные, а именно: каждому множителю (x-a)
k в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа
а каждому множителю (x
2
+px+q)
t соответствует сумма t простейших дробей типа
. Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые.
Правила интегрирования рациональных дробей:
Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.
Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.
Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.
8.
Интегрирование тригонометрических функций:
1 Интеграл вида:
R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.
R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.
R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.
1
Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin
2
x=1/2(1-cos2x); cos
2
x=1/2(1+cos2x).
т tg
m
xdx и т ctg
m
xdx, где m-целое положительное число. tg
2
x=sec
2
x-1 или ctg
2
x=cosec
2
x –1.
т tg
m
xsec
n
xdx и т ctg
m
xcosec
n
xdx, где n – четное положительное число. sec
2
x=1+tg
2
x или cosec
2
x=1+ctg
2
x.
т sinmx*cosnxdx, т cosmx*cosnxdx, т sinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));
9.
Интегрирование иррациональных функций:
1 т R(x,
,
,…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=t
k
, dx=kt
k–1
dt
т R(x,,
)dx,
, x=
, dx=
1 Вынести 1/Ц a или 1/Ц -a. И выделим полные квадраты.
Разбить на два интеграла.
1
1)p-целое число x=t
S
, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bx
n
=t
S
; 3) p+(m+1)/n-целое число: a
-n
+b=t
S и где s- знаменатель дроби p.
10.
Определенный интеграл:
интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x
0
<x
1
<…<x
n–1
<x
n
=b;
Значение функции f(x
I
) в какой нибудь точке x

[x
i
x
i–1
] умножается на длину этого интервала x
i
x
i–1
, т.е. составляется произведение f(x
i
)(x
i
x
i–1
);
, где x
i
x
i–1
=D x
i
;
I=
этот предел (если он существует) называется определенным интегралом, или интегралом от функции f(x) на интервале [a,b], обозначается
*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы
при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что предел существует).
Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует, т.е. функция f(x) интегрируема не [a,b], то f(x) ограничена на этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле:
Доказательство высказывания конфуция легче зажечь одну маленькую свечу чем клясть темноту. Инвариантность формулы интегрирования доказательство. Необходимое условие точки перегиба с доказательством. Доказательство существования наклонной асимптоты. Теорема об инвариантности формул интегрирования. Теорема об интегрировании рациональной функции. Теорема инвариантности формул интегрирования. Разбить сложную дробь на простые множители. Доказательство формул основных интегралов. Доказательства теоремы производной суммы. Доказательство формулы интегрирования. Доказазатльство теарем по математике. Доказательство табличных интегралов. Доказательство табличного интеграла. Доказательство теоремы об отражении.

© 2011 Рефераты