рефераты

Рефераты

рефераты   Главная
рефераты   Краткое содержание
      произведений
рефераты   Архитектура
рефераты   Астрономия
рефераты   Банковское дело
      и кредитование
рефераты   Безопасность
      жизнедеятельности
рефераты   Биографии
рефераты   Биология
рефераты   Биржевое дело
рефераты   Бухгалтерия и аудит
рефераты   Военное дело
рефераты   География
рефераты   Геодезия
рефераты   Геология
рефераты   Гражданская оборона
рефераты   Животные
рефераты   Здоровье
рефераты   Земельное право
рефераты   Иностранные языки
      лингвистика
рефераты   Искусство
рефераты   Историческая личность
рефераты   История
рефераты   История отечественного
      государства и права
рефераты   История политичиских
      учений
рефераты   История техники
рефераты   Компьютерные сети
рефераты   Компьютеры ЭВМ
рефераты   Криминалистика и
      криминология
рефераты   Культурология
рефераты   Литература
рефераты   Литература языковедение
рефераты   Маркетинг товароведение
      реклама
рефераты   Математика
рефераты   Материаловедение
рефераты   Медицина
рефераты   Медицина здоровье отдых
рефераты   Менеджмент (теория
      управления и организации)
рефераты   Металлургия
рефераты   Москвоведение
рефераты   Музыка
рефераты   Наука и техника
рефераты   Нотариат
рефераты   Общениеэтика семья брак
рефераты   Педагогика
рефераты   Право
рефераты   Программирование
      базы данных
рефераты   Программное обеспечение
рефераты   Промышленность
      сельское хозяйство
рефераты   Психология
рефераты   Радиоэлектроника
      компьютеры
      и перифирийные устройства
рефераты   Реклама
рефераты   Религия
рефераты   Сексология
рефераты   Социология
рефераты   Теория государства и права
рефераты   Технология
рефераты   Физика
рефераты   Физкультура и спорт
рефераты   Философия
рефераты   Финансовое право
рефераты   Химия - рефераты
рефераты   Хозяйственное право
рефераты   Ценный бумаги
рефераты   Экологическое право
рефераты   Экология
рефераты   Экономика
рефераты   Экономика
      предпринимательство
рефераты   Юридическая психология

 
 
 

Двойной интеграл в полярных координатах


Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos j , y = r sin j . (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки D S
i с помощью координатных линий r = r
i (окружности) и j = j
i (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
D r
j = r
j+1 - r
j
,
D j
i = j
i+1 - j
i
Так как окружность перпендикулярна
(ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки D S
i
с точностью до бесконечно малых
высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями r
jD j i и D r
j
; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
D S
i = r
j D j i D
r
j (3)
Что касается ячеек D S
ij
неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки M
ij $ S
ij для простоты выберем вершину ячейки D S
ij с полярными координатами r
j и j
i
. Тогда декартовые координаты точки M
ij равны:
x
ij = r
j cos j
i
, y
ij = r
j sin j
i
.
И следовательно,
f(x
ij
,y
ij
) = f(r
j cos j
i
, r
j sin j
i
) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'),
получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек D S
ij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины j
i и r
j суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Oj
r
. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cosj , r sinj )r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами D j
i и D r
i
. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r
1
(j ), r
1
(j ) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a ,b ]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,j ) = rf(r cosj , r sinj )
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: j =0, j =p /4, r cosj =1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями заданными уравнениями в полярных координатах. Пример нахождения с помощью двойных интегралов площадь плоской фигуры ограниченной линиями. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь плоской фигуры. Вычислить площадь фигуры ограниченнойлиниями заданныи вполярной системе координат. Вычисление площади фигуры расположенной в первой четверти ограниченной линиями. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры. Вычисление площади фигуры ограниченной линиями в полярной системе координат. Вычисление площади фигуры ограниченной линиями с помощью двойного интеграла. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями с помощью двойного интеграла. Вычислить с помощью двойного интеграла площадьобласти ограниченной линиями. С помощью двойных интегралов площадь плоской фигуры ограниченной линиями. Нахождение площади с помощью двойного интеграла в полярных координатах. Решение вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах. Вычисление площад с помощью двойного интеграла в полярных координатах. Вычислить площадь фигуры ограниченной линией в полярных координатах.

© 2011 Рефераты