|
Рефераты Главная Краткое содержаниепроизведений Архитектура Астрономия Банковское делои кредитование Безопасностьжизнедеятельности Биографии Биология Биржевое дело Бухгалтерия и аудит Военное дело География Геодезия Геология Гражданская оборона Животные Здоровье Земельное право Иностранные языкилингвистика Искусство Историческая личность История История отечественногогосударства и права История политичискихучений История техники Компьютерные сети Компьютеры ЭВМ Криминалистика икриминология Культурология Литература Литература языковедение Маркетинг товароведениереклама Математика Материаловедение Медицина Медицина здоровье отдых Менеджмент (теорияуправления и организации) Металлургия Москвоведение Музыка Наука и техника Нотариат Общениеэтика семья брак Педагогика Право Программированиебазы данных Программное обеспечение Промышленностьсельское хозяйство Психология Радиоэлектроникакомпьютеры и перифирийные устройства Реклама Религия Сексология Социология Теория государства и права Технология Физика Физкультура и спорт Философия Финансовое право Химия - рефераты Хозяйственное право Ценный бумаги Экологическое право Экология Экономика Экономикапредпринимательство Юридическая психология |
Двойной интеграл в полярных координатахДвойной интеграл в полярных координатах Пусть в двойном интеграле (1) при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos j, y = r sin j. (2) Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1). Введем обозначения: Drj = rj+1 - rj, Dji = ji+1 - ji Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна: DSi = rj Dji Drj (3) Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать. В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны: xij = rj cos ji, yij = rj sin ji. И следовательно, f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3') Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем: (4) где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции f(r cosj, r sinj)r, соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно (5) Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно (6) Выражение dS = r dj dr называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7). Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2). Имеем (8) Где F(r,j) = rf(r cosj, r sinj) Пример 1. Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3). Так как то применяя формулу (6), получим Область S определена Неравенствами Поэтому на основании формулы (8) имеем Пример 2. В интеграле (9) перейти к полярным координатам. Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4). В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: j=0, j=p/4, r cosj=1 и, следовательно, область S определяется неравенствами Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что имеем Краснодарский Колледж Электронного Приборостроения РЕФЕРАТ Выполнил студент группы 60-5ЭВТ Немцев Михаил Краснодар 1998г. Двойной интеграл в полярных координатах примеры двойной интеграл в полярных координатах. Полярные координаты вычисление площади в полярных координатах в определенных интегралах. Расчитать при помощи двойного интеграла площадь фигуры в полярных координатах. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры. Математика методичка двойной интеграл в полярных координатах площадь фигуры. Как вычислить двойной интеграл в полярных координатах Москва Россия Москве. Повторный интеграл в полярных координатах для заданной области имеет вид. Переход в двойных интегралах от декартовой системы координат к полярной. Схема перехода в двойном интеграле от декартовых координат к полярным. Вычислить двойной интеграл с помощью перехода к полярным координатам. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольных координатах. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных и полярных координатах. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПЛОЩАДЕЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ. Пример вычисления площади фигуры переходя к полярным координатам. |
|