рефераты

Рефераты

рефераты   Главная
рефераты   Краткое содержание
      произведений
рефераты   Архитектура
рефераты   Астрономия
рефераты   Банковское дело
      и кредитование
рефераты   Безопасность
      жизнедеятельности
рефераты   Биографии
рефераты   Биология
рефераты   Биржевое дело
рефераты   Бухгалтерия и аудит
рефераты   Военное дело
рефераты   География
рефераты   Геодезия
рефераты   Геология
рефераты   Гражданская оборона
рефераты   Животные
рефераты   Здоровье
рефераты   Земельное право
рефераты   Иностранные языки
      лингвистика
рефераты   Искусство
рефераты   Историческая личность
рефераты   История
рефераты   История отечественного
      государства и права
рефераты   История политичиских
      учений
рефераты   История техники
рефераты   Компьютерные сети
рефераты   Компьютеры ЭВМ
рефераты   Криминалистика и
      криминология
рефераты   Культурология
рефераты   Литература
рефераты   Литература языковедение
рефераты   Маркетинг товароведение
      реклама
рефераты   Математика
рефераты   Материаловедение
рефераты   Медицина
рефераты   Медицина здоровье отдых
рефераты   Менеджмент (теория
      управления и организации)
рефераты   Металлургия
рефераты   Москвоведение
рефераты   Музыка
рефераты   Наука и техника
рефераты   Нотариат
рефераты   Общениеэтика семья брак
рефераты   Педагогика
рефераты   Право
рефераты   Программирование
      базы данных
рефераты   Программное обеспечение
рефераты   Промышленность
      сельское хозяйство
рефераты   Психология
рефераты   Радиоэлектроника
      компьютеры
      и перифирийные устройства
рефераты   Реклама
рефераты   Религия
рефераты   Сексология
рефераты   Социология
рефераты   Теория государства и права
рефераты   Технология
рефераты   Физика
рефераты   Физкультура и спорт
рефераты   Философия
рефераты   Финансовое право
рефераты   Химия - рефераты
рефераты   Хозяйственное право
рефераты   Ценный бумаги
рефераты   Экологическое право
рефераты   Экология
рефераты   Экономика
рефераты   Экономика
      предпринимательство
рефераты   Юридическая психология

 
 
 

История открытия комплексных чисел


"Помимо и даже против воли того
или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и
лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они
получают более и более широкое распространение"  Ф. Клейн.
Автор:  Соловьев Алексей 12а.
 
ревнегреческие математики
считали "настоящими" только натуральные числа. Постепенно
складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
 В III веке
Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с
натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа
долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до
н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат
измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения
таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил,
что "… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом
является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен
открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата
несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей
недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.
Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра
теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью
опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.           
 Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение
отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до
н. э. Отрицательные
числа применяли в III
веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними,
а в VII
веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие
числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом
описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из
положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из
отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа
, чтобы .
 В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось
необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для
решения кубических уравнений вида  кубические и квадратные корни: .
 Эта формула безотказно действует в случае, когда
уравнение имеет один действительный корень (), а если
оно имеет  три действительных корня (), то под
знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь
к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из
отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени,
математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже
XVIII и XIX
веков доказал, что буквенное уравнение
пятой степени  нельзя
решить алгебраически; точнее: нельзя
выразить его корень через буквенные величины a,
b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение,
вычитание, умножение, деление, возведение в степень,  извлечение корня).
 В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение,
степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически.    Тем не менее всякое уравнение n-й степени
имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом
математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных
случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая
теорема была доказана Гауссом.
Итальянский алгебраист Дж.
Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система
уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел,
имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими
выражениями по правилам обычной алгебры и считать что .
Кардано называл такие величины "чисто отрицательными" и даже "софистически отрицательными",
считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью
таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни
изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского
алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила
арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них
кубических корней. Название "мнимые
числа" ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в
1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву
французского слова imaginaire
(мнимый) для обозначения числа  (мнимой единицы). Этот символ вошел во
всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .  Термин
"комплексные числа"  так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово
комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий,
предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
 В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы
мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. 
 Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На
рубеже XVII
и XVIII веков
была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых
комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.
Муавра (1707):
. С
помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов
кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : ,  которая связывала воедино показательную
функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить
число e в
любую комплексную степень. Любопытно, например, что
. Можно находить sin
и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел,
то есть строить теорию функций комплексного переменного.
 В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что
математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел
научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например,  в теории колебаний материальной точки в
сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял
комплексные числа для решения интегралов.
 Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие
вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией,
гидродинамикой и т. д.,
однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому
французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью
мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь
после подтверждения прямыми доказательствами.
 "Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых
при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только
алгебраические формы иероглифы нелепых количеств" Л. Карно.
 В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование
комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс
независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число  точкой
 на
координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не
самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком
истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же
операции над векторами. Вектор  можно
задавать не только его координатами a и b, но так же 
длиной r и
углом j,  который он
образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом
,  и
число z принимает
вид , который называется тригонометрической формой
комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z
и обозначают . Число  называют
аргументом z и
обозначают ArgZ.
Заметим, что если , значение ArgZ
не определено, а при
 оно
определено с точностью до кратного . Упомянутая
ранее формула Эйлера позволяет записать число
z в виде  (показательная
форма комплексного числа).
 Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить
многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило
область их применения.
 Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где
имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на
плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
 После создания теории комплексных чисел возник вопрос о
существовании "гиперкомплексных" чисел - чисел с несколькими
"мнимыми" единицами. Такую систему вида , где , построил в
1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их
"кватернионами". Правила действия над кватернионами напоминает
правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством
коммутативности  (переместительности):
например, , а .
Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь
упоминаю об их существовании.
 Большой вклад в развитие теории функций комплексного
переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее
применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и
гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам
квантовой теории поля.
Список используемой литературы:
"Энциклопедический словарь юного
математика"
"Школьный словарь иностранных
слов"
"Справочник по элементарной
математике" М. Я Выгодский
 
Презентация урока математики по теме развитие понятия о целом числе. Реферат по математике на тему множество история изучения вопросов. История возникновения целых и рациональных чисел реферат онлайн. Правило извлечения квадратного корня из отрицательных чисел. Действия с отрицательными и положительными числами реферат. Учебник богомолова тема история развития комплексных чисел. Сообщение на тему комплексные числа история возникновения. Сообщение о возникновение и применения комплексных чисел. Реферат на тему история возникновения комплексных чисел. История одного открытия с презентацие об этом открытии. Презентация положительные и отрицательные числа класс. Презентация действительные числа и действия над ними. История возникновения и развития комплексных чисел. Сообщение на темуистория возникновения математики. Развитие понятия о числе в математике презентация.

© 2011 Рефераты