|
Рефераты Главная Краткое содержаниепроизведений Архитектура Астрономия Банковское делои кредитование Безопасностьжизнедеятельности Биографии Биология Биржевое дело Бухгалтерия и аудит Военное дело География Геодезия Геология Гражданская оборона Животные Здоровье Земельное право Иностранные языкилингвистика Искусство Историческая личность История История отечественногогосударства и права История политичискихучений История техники Компьютерные сети Компьютеры ЭВМ Криминалистика икриминология Культурология Литература Литература языковедение Маркетинг товароведениереклама Математика Материаловедение Медицина Медицина здоровье отдых Менеджмент (теорияуправления и организации) Металлургия Москвоведение Музыка Наука и техника Нотариат Общениеэтика семья брак Педагогика Право Программированиебазы данных Программное обеспечение Промышленностьсельское хозяйство Психология Радиоэлектроникакомпьютеры и перифирийные устройства Реклама Религия Сексология Социология Теория государства и права Технология Физика Физкультура и спорт Философия Финансовое право Химия - рефераты Хозяйственное право Ценный бумаги Экологическое право Экология Экономика Экономикапредпринимательство Юридическая психология |
Отображения в пространстве R(p1,p2)Отображения в пространстве R(p 1 ,p 2 ) §1. Пространство R(p 1 ,p 2 ). А 1 - аффинная прямая. Отнесем прямую А 1 к подвижному реперу r = {a, ` e}, где а и ` e соответственно точка и вектор. Деривационные формулы репера r имеют вид: d a= q ` e , d ` e= W ` e (1), причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства : D q = q Ù W , DW=W Ù W=0. Пусть e* - относительная длина вектора e* = ` e + d ` e + 1/2d 2 ` e + 1/6d 3 ` e +... по отношению к вектору ` е. Тогда ` e* =e* ` e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора ` e* , близкого к ` e , по отношению к ` e. Пусть R(p 1 ,p 2 ) – пространство всех пар (p 1 ,p 2 ) точек p 1 ,p 2 прямой А 1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р 1 р 2 , а конец вектора ` е – в точку р 1 ; при этом р 2 совместится с концом вектора - ` е. Условия стационарности точек р 1 и р 2 в таком репере имеют соответственно вид: W+ q =0, -W+ q =0. Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р 1 ,р 2 ) являются формы Пфаффа : W+ q , -W+ q . Очевидно, что dim R(p 1 ,p 2 ) =2. Заметим ,что в репере r форма 2 W является дифференциалом относительной длины отрезка р 1 *р 2 * , близкого к р 1 р 2 ,по отношению к р 1 р 2 . § 2. Отображение f. А 2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={ p, ` e j }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А 2 имеют соответственно вид : dp = W j e j ; d ` e j = W j k ; DW j = W k ^ W k j ; DW j = W j y ^ W y k . Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А 2 в пространстве R(p 1 ,p 2 ):f:A 2 ® R(p 1 ,p 2 ). Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1) Поместим начало Р репера R в точку f -1 (p 1 ,p 2 ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде : Q + W= l j W j ; Q-W= m j W j (2) Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f -1 : R(p 1 ,p 2 ) ® A 2 обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f -1 имеют вид : W j = l j (Q+W)+ m j (Q-W) (3) Из (2) и (3) получаем : l k l j + m k m j = d j k l j l j =1 m j m j =1 (*) l j m j =0 m j l j =0 Указанную пару { r;R } реперов пространств А 1 и А 2 будем называть репером нулевого порядка отображения f . §3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f. Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f. D(λ j W j -W-Q)=0 , получаем : dλ j =λ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +λ jk W k D(μ j W j +W-Q)=0 получаем : dμ j =μ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +μ jk W k Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид: Q+W=λ j W j Q-W=μ j W j dλ j =λ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +λ jk W k dμ j =μ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +μ jk W j Из этих уравнений вытекает, что система величин Г 1 = {λ j ,μ j } является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) : dλ k ^W j k +λ k dW j k +1\4(λjμ k -λ k μ j )^W k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )dW k +dλ jk ^W k +λ jk dW k =0 . получим: (dλ jt -λ kt W j k -λ jk W t k +1\4(λ k μ jt -μ k λ jk )W k +1\16λ t μ k (λ j -μ j )W k )^W t =0 dμ k ^W j k +μ k dW j k +1\4d(λ j μ k -λ k μ j )^W k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )dW k +dμ jk ^W k +μ jk dW k =0 получим: (dμ jt -μ kt W j k -μ jt W t k +1\4(λ k μ jt -μ k λ jt )W k +1\16λ t μ k (λ j -μ j )W k )^W t =0 обозначим: λ j =dλ j -λ t W j t μ j =dμ j -μ t W j t λ jk =dλ jk -λ tk W k t -λ jt W k t μ jk =dμ tk W j t -μ jt W k t Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид: Q+W=λ j W j Q-W=μ j W j dλ j =λ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +λ jk W k dμ j =μ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +μ jk W k (4) λ jk =(1\4(μ α λ jk -λ α μ jk )+1\16λ k μ α (μ j -λ j )+λ jkα )W α μ jk =(1\4(μ α λ jk -λ α μ jk )+1\16λ k μ α (μ j -λ j )+μ jkα )W α Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г 2 = {λ j ,μ j ,λ jk ,μ jk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г Р порядка р : Г Р = {λ j ,μ j ,λ j1j2 ,μ j1j2 ,...,λ j1j2...jp ,μ j1j2...jp }. § 4. Векторы и ковекторы первого порядка. Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ j },{μ j } образует подобъекты геометрического объекта Г 1 . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые: λ j X j =1 ; μ j X j =1 (6) не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λ j ,μ j } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ j ,μ j } охватываются объектом Г 1 . Из (*) получаем: dλ j =-λ k W k j -1\4(λ j +μ j )μ t W t -λ kt λ k λ t W t -μ kt W t ^λ k μ j dμ j =-μ k W k j -λ kt μ k λ j W t -μ kt μ k μ j W t +1\4λ t (λ j +μ j )W t Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г 1 . Будем называть их основными векторами 1-го порядка. Предположение 1.Конец вектора v 1 =λ j e j (вектора v 2 =μ j e j ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями: λ j X j =0 , μ j X j = 0 (7). Предположение 2. Основные векторы {λ j } и {μ j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке: λ j X j =1 V 2 V 1 μ j X j =1 Система величин ρ j =λ j -μ j образует ковектор: dρ j =ρ k W j k +(μ jk -λ jk )W k . Определяемая им прямая ρ j X j =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) . Пусть W -однородное подмногообразие в R(p 1 ,p 2 ) содержащее элементы (р 1 ,р 2 ) определяемое условием: (р 1 * ,р 2 * )∈W↔p 1 * p 2 * =p 1 p 2 . Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W) многообразия W при отображении f . Доказательство: ] (p 1 * ,p 2 * )∈W и p 1 * =p 1 +dp 1 +1\2d 2 p 1 +... , p 2 * =p 2 +dp 2 +1\2d 2 p 2 +... . Тогда в репере Г: p 1 * p 2 * =e p 1 p 2 , где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р 1 * р 2 * по отношению к р 1 р 2 . Таким образом, (р 1 * р 1 * )∈W↔W=0 . Из (2) получим: W=ρ 1 W j Следовательно, (р 1 * р 2 * )∈W равносильно ρ j W j =0 (9) Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения. При фиксации элемента (р 1 ,р 2 )∈R(p 1 p 2 ) определяется функция h : (p 1 * p 2 * )∈h(p 1 p 2 )→e∈R , так, что р 1 * р 2 * =е р 1 р 2 В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f -1 (W) является линией уровня функции h . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f -1 (W) . ]W 1 ,W 2 - одномерные многообразия в R(p 1 p 2 ) , содержащие элемент (р 1 р 2 ) и определяемые соответственно уравнениями: (p 1 * ,p 2 * )єW 1 ↔p 2 * =p 2 . (p 1 * ,p 2 * )єW 2 ↔p 1 * =p 1 . Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1. Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W 2 (многообразия W 1 ) при отображении f . Дифференциальные уравнения линии f -1 (W 1 ) и f -1 (W 2 ) имеют соответственно вид: λ j W j =0 μ j W j =0 . Пусть W 0 - одномерное подмногообразие в R(p 1 p 2 ) , содержащее (р 1 р 2 ) и определяемое условием: (p 1 * p 2 * )єW 0 ↔Q*=Q ,где Q* середина отрезка р 1 * р 2 * . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1. Предложение 3. Прямая (λ j +μ j )X -j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W 0 ) многообразия W 0 при отображении f . Дифференциальное уравнение линии f -1 (W 0 ) имеет вид: (λ j +μ j )W j =0 . Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f -1 (W 1 ), f -1 (W 2 ) , f -1 (W), f -1 (W 0 ) составляют гармоническую четверку. Доказательство вытекает из (7),(8),(10). §5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f. Рассмотрим отображения: П 1 : (р 1 ,р 2 )∊R(p 1 ,p 2 )→p 1 ∊A 1 (5.1) П 2 : (р 1 ,р 2 )∊R(p 1 ,p 2 )→p 2 ∊A 1 (5.2) Отображение f: A 2 →R(p 1 ,p 2 ) порождает точечные отображения: φ 1 =П 1 ∘f: A 2 →A 1 (5.3) φ 2 =П 2 ∘f: A 2 →A 1 (5.4) В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ 1 и φ 2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г 1,2 ={ λ j ,λ jk } и Г 2,2 = {μ j ,μ jk } объекта Г 2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ 1 и φ 2 . В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид: x=1+λ j X j +1/2λ jk X j X k +1/4λ y ρ k X j X k +<3>, (5.5) y=-1+μ j X j +1/2μ jk X j X k +1/4μ y ρ k X j X k +<3>, (5.6) Введем системы величин: Λ jk =λ jk +1/4(λ j ρ k +λ k ρ j ), Μ jk =μ jk +1/4(μ j ρ k +μ k ρ j ) Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид: x=1+λ j X j +1/2Λ jk X j X k +<3> (5.7) y=-1+μ j X j +1/2Μ jk X j X k +<3> (5.8) В <4> доказано, что существует репер плоскости А 2 , в котором выполняется: λ 1 λ 2 1 0 = μ 1 μ 2 0 1 Этот репер является каноническим. Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей. Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид: x=1+X 1 +1/2Λ jk X j X k +<3> (5.9), y=-1+X 2 +1/2Μ jk X j X k +<3> (5.10). §6. Инвариантная псевдориманова метрика. Рассмотрим систему величин: G jk =1/2(λ j μ k +λ k μ j ) Из (3.1) получим: dG jk =1/2(dλ j μ k +λ j μ k +dλ k μ j +λ k dμ j )=1/2(μ k λ t W j t +1/4λ j μ k μ t W t -1\4μ k μ t λ t W t +μ k λ jt W t +λ j μ t W k t + +1/4λ j λ k μ t W t -1/4μ j λ k μ t W t -1/4μ j λ t μ k W t +μ j λ kt W t +λ k μ t W j t +1/4λ k λ j μ t W t -1/4λ k λ t μ j W t + +λ k μ jt W t ), dG jk =1/2(μ k λ t + λ k μ t )W j t +1/2(λ j μ t +λ t μ j )W k t +G jkt W t , где G jkt =1/2(μ k λ jt +λ y μ kt +μ j λ kt +λ k μ jt -1/2μ j μ k λ t +1/2λ j λ k μ t -1/4λ j μ k λ t +1/4λ j μ k μ t +1/4μ j λ k μ t - -1/4μ j λ k λ t ) (6.3). Таким образом, система величин {G jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А 2 инвариантную метрику G : dS 2 =G jk W j W k (6.4) Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS 2 =θ 2 -W 2 (6.5) в R(p 1 ,p 2 ). Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой. Асимптотические направления определяются уравнением G jk W j W k =0 или λ j W j μ k W k =0 (6.6) Предложение : Основные векторы V 1 и V 2 определяют асимптотические направления метрики G. Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU ) Теорема : Метрика dS 2 =θ 2 -W 2 совпадает с метрикой Розенфельда . Доказательство: В репере r имеем для координат точек p 1 ,p 2 ,p 1 +dp 1 ,p 2 +dp 2 Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W . Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем dS 2 =θ 2 -W 2 Следствие : Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований. В работе <3> был построен охват объекта Г l jk =1/2G tl (G tkj +G jtk -G jkt ) псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г 2 = {λ j ,μ j ,λ jk ,μ jk }. Он определяется формулой: Г l jk =λ j Λ jk +μ l Μ jk -λ l λ t λ k +μ l μ t μ k . §7. Инвариантная риманова метрика. Рассмотрим систему величин: g jk =λ j λ k +μ j μ k (7.1) Из (3.1) получаем: dg jk =dλ j λ k +dλ k λ j +dμ j μ k +dμ k μ j =λ k λ t W j t +1/4λ k λ j μ t W t -1/4λ j λ t μ j W t +λ k λ jt W t +λ j λ t W k t + +1/4λ j λ k μ t W t -1/4λ j λ t μ k W t +λ j λ kt W t +μ k μ t W j t +1/4μ k λ j μ t W t -1/4μ k λ t μ j W t +μ k μ jt W t + +μ j μ t W k t +1/4μ j λ k μ t W t -1/4μ j λ t μ k W t +μ j μ kt W t . dg jk =(λ k λ t +μ k μ t )W j t +(λ j λ t +μ j μ t )W k t +g jkt W t , (7.2) где g jkt =1/2λ j λ k μ t -1/2μ j μ k λ t -1/4λ k λ t μ j -1/4λ j λ t μ k +1/4λ j μ k μ t +1/4μ j λ k μ t +λ k λ jt +λ j λ kt + +μ k μ jt +μ j μ kt (7.3) Таким образом, система величин {g jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А 2 инвариантную метрику g : dS 2 =g jk W j W k (6 .4) Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6 .4) соответствует при отображении f метрике: dS 2 =2(θ 2 +W 2 ) (6 .5) в R(p 1 ,p 2 ) Из (6 .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой. Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением: GjkXjXk=1 (6 .6) или (λ j X j ) 2 +(μ j X j ) 2 =1 (6 .7) Из (6 .7) вытекает: Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам. Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g . V 1 V 2 рис.3. Пусть g jk =λ j λ k +μ j μ k (6.8) В силу (2.7) имеем: g jt g tk =(λ j λ t +μ j μ t )(λ t λ k +μ t μ k )=λ j λ k +μ j μ k =δ k j (6 .9) Таким образом, тензор g jk является тензором взаимных к g jk . Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот. Предложение 7.2: Поле основного вектора {λ j } (вектора {μ j } ) соответствует в метрике g полю основного ковектора {λ j } (ковектора {μ j } ). Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g . Доказательство: λ j λ k g jk =λ j λ k λ j λ k +λ j λ k μ j μ k =1 , μ j μ k g jk =μ j μ k λ j λ k +μ j μ k μ j μ k =1 , λ j μ k g jk =λ j μ k λ j λ k +λ j μ k μ j μ k =0 . Таким образом, f задает на А 2 структуру риманова пространства (A 2 ,g f ). В работе <2> был построен охват объекта γ jk l =1/2g tl (g tkj +g jtk -g jkt ) римановой связности γ фундаментальным объектом Г 2 = {λ j ,μ j ,Λ jk ,Μ jk } Он определяется формулой: γ jk l =λ l Λ jk +μ l M jk +G jk (λ l -μ l )+1/2(λ l +μ l )(μ j μ k -λ j λ k ) , где G jk =1/2(λ j μ k +λ k μ j ). |
|