рефераты

Рефераты

рефераты   Главная
рефераты   Краткое содержание
      произведений
рефераты   Архитектура
рефераты   Астрономия
рефераты   Банковское дело
      и кредитование
рефераты   Безопасность
      жизнедеятельности
рефераты   Биографии
рефераты   Биология
рефераты   Биржевое дело
рефераты   Бухгалтерия и аудит
рефераты   Военное дело
рефераты   География
рефераты   Геодезия
рефераты   Геология
рефераты   Гражданская оборона
рефераты   Животные
рефераты   Здоровье
рефераты   Земельное право
рефераты   Иностранные языки
      лингвистика
рефераты   Искусство
рефераты   Историческая личность
рефераты   История
рефераты   История отечественного
      государства и права
рефераты   История политичиских
      учений
рефераты   История техники
рефераты   Компьютерные сети
рефераты   Компьютеры ЭВМ
рефераты   Криминалистика и
      криминология
рефераты   Культурология
рефераты   Литература
рефераты   Литература языковедение
рефераты   Маркетинг товароведение
      реклама
рефераты   Математика
рефераты   Материаловедение
рефераты   Медицина
рефераты   Медицина здоровье отдых
рефераты   Менеджмент (теория
      управления и организации)
рефераты   Металлургия
рефераты   Москвоведение
рефераты   Музыка
рефераты   Наука и техника
рефераты   Нотариат
рефераты   Общениеэтика семья брак
рефераты   Педагогика
рефераты   Право
рефераты   Программирование
      базы данных
рефераты   Программное обеспечение
рефераты   Промышленность
      сельское хозяйство
рефераты   Психология
рефераты   Радиоэлектроника
      компьютеры
      и перифирийные устройства
рефераты   Реклама
рефераты   Религия
рефераты   Сексология
рефераты   Социология
рефераты   Теория государства и права
рефераты   Технология
рефераты   Физика
рефераты   Физкультура и спорт
рефераты   Философия
рефераты   Финансовое право
рефераты   Химия - рефераты
рефераты   Хозяйственное право
рефераты   Ценный бумаги
рефераты   Экологическое право
рефераты   Экология
рефераты   Экономика
рефераты   Экономика
      предпринимательство
рефераты   Юридическая психология

 
 
 

Применение графиков в решении уравнений


Применение графиков в решении уравнений
Основная часть: Применение графиков в решении уравнений.
I)Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;
Перепишем его так:x
2
=-px-q.(1)
Построим графики зависимостей:y=x
2 и y=-px-q.
График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х
2
, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.
Примеры:
1.Решить уравнение:4x
2
-12x+7=0
Представим его в виде x
2
=3x-7/4.
Построим параболу y=x
2 и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x
1
=0.8 и x
2
=2.2 (см. рисунок 1).
2.Решить уравнение : x
2
-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x
2
=x-1.
Построив параболу у=х
2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
Рисунок 2.
Проверим это. Вычислим дискриминант: D=(-1)2-4=-3<0,
А поэтому уравнение не имеет корней.
3. Решить уравнение: x
2
-2x+1=0
Рисунок 3.
Если аккуратно начертить параболу у=х
2
и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением). II)
Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х
2
2 –парабола, уравнения х
2
+у
2
=4 – окружность, и т.д..
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения. Пример1:решить систему ⌠ x
2
+y
2
=25 (1) ⌠y=-x
2
+2x+5 (2)
Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):
Построим в одной системе координат графи) х
2
+у
2
=25 и у=-х
2
+2х+5
Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения: х1≈-2,2 , у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5; х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.
Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными. III)Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.
Рисунок5.
Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5)
Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π
/2+2π
k,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.
Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями) Применение графиков в решении неравенств.
1)Неравенства с модулем.
Пример1.
Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.
На интеграле(-1;-∞) по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.
На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.
Рисунок 7.
На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)
II)Неравенства с параметрами.
Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например, неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения. Пример1:
Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций. Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2<x<b/2,так как при этих значениях переменной кривая y=|x+a|+|x-a| расположена под прямой y=b.
Ответ:Если b<=2|a| , то решений нет, Если b>2|a|, то
x ˆ
(-b/2;b/2). III)
Тригонометрические неравенства:
При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a, sin x<a, sin x<=a.
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ. Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим это неравенство на отрезке[-π
/2;3π/2]. Π
ассмотрим его левую часть – отрезок [-π
/2;3π/2].Η
десь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-
π/6; ΰ функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<=x<= -
π
/6, то
sin x<=sin(-π/6)=-1/2
, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=
π
/2 то sin x>sin(-
π
/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке [π
/2;3π/2] τ
ункция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<=x<7
π
/, то sin x>sin(7
π
/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є[7
π
/6;3
π
/2] имеем sin x<= sin(7
π
/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π
/2;3π/2] ε
сть интеграл (-π
/6;7π/6).
В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-
π/6+2πn;7π/6 +2πn),n
Z, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются .
Ответ: -π
/6+2π
n<x<7
π
/6+2
π
n, где nЄZ.
Применение графиков к решению неравенств первой степени с одним неизвестным. Как используя рисунок определить какая из систем уравнений не имеет решений. Приминение графикоф к решению неравенств первой степени с одним неизвестным. Графический способ решения уравнений неравенств систем с двумя переменными. Уравнение множество решений уранений график уравнения с двумя переменными. Прешите квадратно неравеннство используя соответсвующий рисунок параболы. Построить области изменения переменной х удовлетворяющей неравенствам. Презентация по теме Неравенства с двумя переменными и их системы кл. Графический способ решения систем уравнений самостоятельная работа. Программа для решения уравнений с параметрами графическим способом. Реферат на тему применение высшей математики в инженерной графике. По графику скорости тела записать уравнение и начертить график и. Уравнение прямой наилучшим образом приближающей множество точек. Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными. Презентация по теме графическое решение систем уравнений класс.
© 2011 Рефераты