рефераты

Рефераты

рефераты   Главная
рефераты   Краткое содержание
      произведений
рефераты   Архитектура
рефераты   Астрономия
рефераты   Банковское дело
      и кредитование
рефераты   Безопасность
      жизнедеятельности
рефераты   Биографии
рефераты   Биология
рефераты   Биржевое дело
рефераты   Бухгалтерия и аудит
рефераты   Военное дело
рефераты   География
рефераты   Геодезия
рефераты   Геология
рефераты   Гражданская оборона
рефераты   Животные
рефераты   Здоровье
рефераты   Земельное право
рефераты   Иностранные языки
      лингвистика
рефераты   Искусство
рефераты   Историческая личность
рефераты   История
рефераты   История отечественного
      государства и права
рефераты   История политичиских
      учений
рефераты   История техники
рефераты   Компьютерные сети
рефераты   Компьютеры ЭВМ
рефераты   Криминалистика и
      криминология
рефераты   Культурология
рефераты   Литература
рефераты   Литература языковедение
рефераты   Маркетинг товароведение
      реклама
рефераты   Математика
рефераты   Материаловедение
рефераты   Медицина
рефераты   Медицина здоровье отдых
рефераты   Менеджмент (теория
      управления и организации)
рефераты   Металлургия
рефераты   Москвоведение
рефераты   Музыка
рефераты   Наука и техника
рефераты   Нотариат
рефераты   Общениеэтика семья брак
рефераты   Педагогика
рефераты   Право
рефераты   Программирование
      базы данных
рефераты   Программное обеспечение
рефераты   Промышленность
      сельское хозяйство
рефераты   Психология
рефераты   Радиоэлектроника
      компьютеры
      и перифирийные устройства
рефераты   Реклама
рефераты   Религия
рефераты   Сексология
рефераты   Социология
рефераты   Теория государства и права
рефераты   Технология
рефераты   Физика
рефераты   Физкультура и спорт
рефераты   Философия
рефераты   Финансовое право
рефераты   Химия - рефераты
рефераты   Хозяйственное право
рефераты   Ценный бумаги
рефераты   Экологическое право
рефераты   Экология
рефераты   Экономика
рефераты   Экономика
      предпринимательство
рефераты   Юридическая психология

 
 
 

Задача Дирихле


Задача Дирихле
1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа : (x,y)D;
u
|
Г
=xy
2
=f(x,y) ;
область D ограничена линиями: x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ; (x
0
, y
0 ) = (3, 5) .
Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y : h=0.2, потом с шагом h=0.1 . Точность решения СЛАУ =0.01 .
2.ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток , разработанный для численного решения задачи Дирихле для уравнений эллептического типа.
Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.
1. На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область D
h путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу: y
i
=y
0
 ih, x
j
=x
0  ih , i,j=0,1,2…. PР. Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D. Получается множество точек (x
i
,y
j
). 2. За область D
h
принимают те точки множества (x
i
,y
j
) , которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками. 3.Во всех точках области D
h вычисляются значения функции f(x
i
,y
j
) . 4. За область D
h
* принимаются все внутренние точки области D
h
, т.е. удовлетворяющие требованию: (x
i
,y
j
) D
h
* , если (x
i+1
,y
j
)  D
h
, (x
i-1
,y
j
) D
h , (x
i
,y
j+1
) D
h , (x
i
,y
j-1
) D
h
. 5. Во всех точках области D
h
* вычисляется функция F
(N)
*[i,j] ( индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление): F
(N)
*[i,j]=(f(x
i+1
,y
j
) + f(x
i-1
,y
j
) + f(x
i
,y
j+1
)f(x
i
,y
j-1
))/4 6. Теперь если max | F
(N+1)
*[i,j] - F
(N)
*[i,j]|< ,взятый по всем точкам области D
h
* ,то задача решена; если нет , то выполнять шаг 5 ( пересчитывать функцию F
(N)
*[i,j] через значения F
(N-1)
*[i,j]) до тех пор, пока не выполнится указанное условие.
3.ТЕКСТ ПРОГРАММЫ
#include <stdio.h>
#include <fstream.h>
#include <conio.h>
#include <iostream.h>
#include <math.h> int i,j,k; // Variables float h,x,y,tmp,E1; struct point {
float xx;
float yy;
int BelongsToDh_;
int BelongsToDh;
float F;
float F_;
} p0,arrayP[13][33]; float arrayX[13]; float arrayY[33]; float diff[500]; void CreateNet(void); // Procedure Prototypes int IsLineFit(float Param); void CrMtrD(void); void RegArrayX(); void RegArrayY(); void CreateDh_(); int IsFit(point Par); void FillF(); void CreateDh(); int IsInner(int i,int j); void FillF_(); void CountDif(); void MakeFile(); void main(void) //MAIN { clrscr(); p0.xx = 3; p0.yy = 5; h = 0.2; p0.BelongsToDh_=1; p0.BelongsToDh=1; CreateNet(); RegArrayX(); RegArrayY(); CrMtrD(); CreateDh_(); FillF(); CreateDh(); FillF_(); CountDif(); while (E1>=0.005) {
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].F_;
FillF_();
CountDif();
} cout<<(0-arrayP[7][17].F_); MakeFile(); getchar(); } //MAIN END int IsLineFit(float par,char Axis) // does the line belong to the defined area { switch(Axis) else return 0;
}
void CreateNet(void) // Creation of Net (area D ) { x = p0.xx; i=0; arrayX[i]=x; while (!IsLineFit(x,'x'))
{
x += h;
i++;
arrayX[i] = x;
} x = p0.xx-h; i++; arrayX[i]=x; while (!IsLineFit(x,'x'))
{
x -= h;
i++;
arrayX[i] = x;
}
for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]); }
printf("\n"); y = p0.yy; i = 0; arrayY[i]=y; while (!IsLineFit(y,'y'))
{
y += h;
i++;
arrayY[i] = y;
} y = p0.yy - h; i++; arrayY[i]=y; while (!IsLineFit(y,'y'))
{
y -= h;
i++;
arrayY[i] = y;
}
for(i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]);}
printf("\n");
} // end CreateNet void RegArrayX() // Regulation of arrays X & Y
{
int LastUnreg = 13 ;
while (LastUnreg != 0) {
for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {
if (arrayX[i]>arrayX[i+1]) {double tmp=arrayX[i];
arrayX[i]=arrayX[i+1];
arrayX[i+1]=tmp;}}
LastUnreg=LastUnreg-1; }
for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]);
} printf("\n");
} void RegArrayY()
{
int LastUnreg = 33 ;
while (LastUnreg != 0) {
for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {
if (arrayY[i]>arrayY[i+1]) { tmp=arrayY[i];
arrayY[i]=arrayY[i+1];
arrayY[i+1]=tmp;}}
LastUnreg=LastUnreg-1; }
for (i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]); }
printf("\n");} // End of Regulation void CrMtrD(void) //Create general Matrix
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) {arrayP[i][j].BelongsToDh_=0;
arrayP[i][j].BelongsToDh=0;}
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) {
arrayP[i][j].xx=arrayX[i];
arrayP[i][j].yy=arrayY[j];
}
// printf("%g %g",arrayP[12][0].xx,arrayP[12][0].yy);
// printf("\n");
} int IsFit(point Par) //does point belong to area D?
{
if ((Par.xx<=4) && (Par.xx>=1.99) && (Par.yy>=Par.xx)
&& (Par.yy<=Par.xx+4)) return 1;
else return 0;
}
void CreateDh_(void) //Create area Dh_
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++)
if (IsFit(arrayP[i][j])) arrayP[i][j].BelongsToDh_=1;
cout << arrayP[1][1].BelongsToDh_<< "\n";
cout << arrayP[1][1].xx << " " << arrayP[1][1].yy<<"\n";
} void FillF(void) // calc function F(x,y) at area Dh_
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++)
if (arrayP[i][j].BelongsToDh_==1)
arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].xx*pow(arrayP[i][j].yy,2);
else arrayP[i][j].F=0;
} int IsInner(int i,int j) //Is point inner?
{
if ((arrayP[i-1][j].BelongsToDh_==1) &&
(arrayP[i+1][j].BelongsToDh_==1) &&
(arrayP[i][j+1].BelongsToDh_==1) &&
(arrayP[i][j-1].BelongsToDh_==1)) return 1;
else return 0;
} void CreateDh(void) //Create area Dh
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++)
if ((arrayP[i][j].BelongsToDh_==1) &&
IsInner(i,j))
arrayP[i][j].BelongsToDh=1;
} void FillF_() //calc new appr. values of F
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) {
if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1)
arrayP[i][j].F_=(arrayP[i-1][j].F+arrayP[i+1][j].F+
arrayP[i][j-1].F+arrayP[i][j+1].F)/4;
else arrayP[i][j].F_=0; }
} void CountDif() // find maximal difference abs(F-F_)
{
k=0;
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++)
{ if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) {
diff[k]=fabs(arrayP[i][j].F_-arrayP[i][j].F);
k++;}}
E1=diff[0];
for (k=1;k<500;k++) {
if (diff[k]>E1) E1=diff[k];}
} void MakeFile() {
ofstream f;
FILE *f1=fopen("surf.dat","w1"); fclose(f1);
f.open("surf.dat",ios::out,0);
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) {
f<<arrayP[i][j].xx<<" "<<arrayP[i][j].yy<<
" "<<arrayP[i][j].F_<<"\n";}}
f.close() ;
}
4.ВЫВОД
Функция f(x,y) является неотрицательной в области D. Полученное решение лежит целиком над плоскостью XOY . Для данного решения выполняется принцип максимума.
© 2011 Рефераты